关于任意自然数倒数表为两个自然数倒数差的解集
作者：李骏
引理1 设任意自然数n，1/n = 1/a – 1/b(1)（其中a，b为自然数）的解集为N；而n的互素的因子对的集合为M，则|N| = |M|。
证明：设a,b为1/n = 1/a – 1/b的一个自然数对解，a,b的最大公约数（a,b）= r，令
a=r*a1，b=r*b1
则1/n = 1/r(1/a1– 1/b1) 或 n = r*a1*b1/(b1-a1)（2）
因为b1-a1不能整除a1*b1 否则
因(a1,b1)=1，则有（b1-a1）|a1 or (b1-a1|)|b1这都将与(a1,b1)=1矛盾
所以必有(b1-a1)|r 从而（2）式可表为 n = k*a1*b1 , k=r/(b1-a1)
因而 a1,b1是n的因子，而且（a1,b1）= 1 ,所以 a1,b1 属于 M
就是说，N中的任意一个a,b都可以找到一个对应的 a1,b1 属于M
另一方面，对于任意的 a1,b1 属于M，我们可以构造一个(1)的解。
a1,b1最小公倍数[a1,b1] = a1*b1/(a1,b1)=a1*b1 ，而显然n是a1,b1的一个公倍数，所以有a1*b1|n
不放假设 b1>a1，令k=(b1-a1)*n/(a1*b1)，a=k*a1, b=k*b1，则有
1/a-/1/b = (b1-a1)/(k*a1*b1)=1/n
这样a,b属于N
综上，N与M之间是一一对应关系，所以|N| = |M|
引理2 设自然数n 的因子分解式为p1r1*p2r2*…ptrt，其中pi为不同的素因子，ri为对应指数，则n的互素因子对的集合M的元素个数为|M|= 1/2[(2r1+1)…(2rt+1)-1]（3）.
证明：我们对素因子个数t用数学归纳法。
t=1，的时候n只有一个素因子，不放设 n=p1r1，则显然n的素因子对只能是1，p1 …，
1， p1r1 这r1个，因此 |M|=1/2[(2*r1+1)-1]=r1 成立.
假设t=m-1成立，那么当t=m时，n 多了一个素因子pm，指数是rm
考虑n的全部素因子对集合M，可以分成三部分组成，第一部分M1不含任何因子pm，相当于t=m-1的情形，显然|M1|=1/2[(2r1+1)…(2rm-1+1)-1]
第二部分M2包含素因子pm，由于要求互素因子对，所以因子对中只可能有一个包含pm，
M2=任何第一部分M1的因子对中有一个因子乘上某个pmriri=1,…,rm
一共有2*rm*|M1|种组合。
还有一部分是M3，仅有1，pmrii=1,…,rm组成，一共有rm种组合。
显然 M1，M2，M3相互的交集为空。
所以|M| = |M1|+|M2|+|M3| = (2*rm+1)|M1|+rm
= 1/2(2*rm+1)[(2r1+1)…(2rm-1+1)-1]+rm
=1/2[(2r1+1)…(2rm-1+1)(2rm+1)-1]
因此，对于t=m假设也成立，
所以对于任意的因式分解，即对于任意自然数n，（3）都成立。
定理1设任意自然数n，1/n = 1/a – 1/b (1)（其中a，b为自然数）的解集为N，则|N| = 1/2（d(n2)-1）.其中d()为Dirichlet除数函数.
证明：设n 的因子分解式为p1r1*p2r2*…ptrt，其中pi为素因子，ri为对应指数，
则n2 = p12r1*p22r2*…pt2 rt
根据Dirichlet除数函数定义 d(n2) = (2r1+1)…(2rt+1)，由引理1,2即可得证。
例子．
1. n=60
因为 60 = 22*3*5
所以解数为 1/2[(2*2+1)*(2*1+1)(2*1+1)-1] = 22
2. n=6000
6000 = 24*3*53
所以解数为 1/2[(2*4+1)*(2*1+1)(2*3+1)-1] = 94
关于(1)的解集，实际上由引理1的方法可以由n的互素因子对构造出来。
