如何理解置信区间？

置信区间，就是一种区间估计。

先来看看什么是点估计，什么是区间估计。

1 点估计与区间估计

以前很流行一种刮刮卡：

游戏规则是（假设只有一个大奖）：

• 大奖事先就固定好了，一定印在某一张刮刮卡上

• 买了刮刮卡之后，刮开就知道自己是否中奖

那么我们起码有两种策略来刮奖：

• 点估计 ：买一张，这就相当于你猜测这一张会中奖

• 区间估计 ：买一盒，这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖

很显然 区间估计 的命中率会更高（当然费用会更高，因为风险降低了）。

接下来，我们看看置信区间是如何进行区间估计的。

2 置信区间

我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。

2.1 上帝视角

对于人类真实的平均身高，我们是没有办法知道的，因为几乎不可能把每个人都统计到。

但这个数据肯定是真实存在的，我们可以说，上帝知道。

在这里我们引入了上帝视角，即上帝看到的人类身高的真实分布。

假设人类的身高分布服从如下正态分布（ ）：

也就是说全体人类的平均身高为145cm，为了表示只有上帝可以看到，我把真实分布用虚线来表示：

2.2 点估计

作为愚蠢的人类，我们只能在人群中抽样统计：

比如下面是一次抽样数据，我把算出来的样本均值（记作 ）画在图上（蓝色的点）：

就是对真实的 的一次点估计。

通过一次次的抽样，我们可以算出不同的身高均值的点估计：

如果我们关闭上帝视角，我们分辨不出哪个点估计更好：

区间估计可以改进此问题。

2.3 置信区间

置信区间，提供了一种区间估计的方法。

下面采用 置信区间来构造区间估计（什么是 置信区间，这个我们后面解释）：

通过 置信区间构造出来的区间，我们可以看到，基本上都包含了真实的 ，除了红色的那根。

关闭上帝视角，我们仍然不知道哪一个区间估计更好：

但是，和点估计比较：

• 点估计和区间估计，都不知道哪个点或者哪个区间更好

• 但是，按照 置信区间构造出来的区间，如果我构造出100个这样的区间，其中大约有95个会包含

这就好像用渔网捞鱼，我知道一百次网下去，大约会有95次网到我想要的鱼，但是我并不知道是不是现在这一网：

剩下的问题就是 置信区间是如何构造的。

3 置信区间

假设人群的身高服从：

其中 未知， 已知。

我们不断对人群进行采样，样本的大小为 ，样本的均值：

根据大数定律和中心极限定律， 服从：

我们可以算出以 为中心，面积为0.95的区间，如下图：

即：

也就是， 有 的几率落入此区间：