本文经授权转载自公众号“原理”（ID：principia1687）。
1960 年，尤金·维格纳在《数学在自然科学中不合理的有效性》中论证了数学概念和发现的非比寻常的能力。通常，那些概念和发现仅仅只是数学家为了追求其内在结构和美而发展出来的，但在后来却成为了描述物理世界的强有力工具。2017 年的阿贝尔得主 Yves Meyer（伊夫·梅尔）是将对纯数学研究带到现实世界中的实际应用的典范。（阿贝尔奖是数学界的最高荣誉之一，2016 年获得该殊荣的就是证明了困扰数学家 300 多年的费马大定律的安德鲁·怀尔斯。）
Yves Meyer 与小波。（图片来源：Olena Shmahalo/Quanta Magazine）
今年的阿贝尔奖授予 Yves Meyer，以表彰他在小波理论的发展中所发挥的重大作用。小波理论允许我们将各种不同类型的信息分解为更简单的组件，从而使信息分析、处理和储存变得更加简单。因此，小波理论被应用在非常广泛的领域中，包括调和分析应用和计算、数据压缩、降噪、医学成像、归档、数字电影以及引力波探测等等。
2016 年，LIGO 探测到两个黑洞合并辐射出的引力波事件，其信号分析正是应用了小波理论。（图片来源：Shawn Thew /Epa/REX/Shutterstock）
有趣的是，Meyer 的工作灵感并不是来自于数学的，而是来自于石油工业。在 1980 年代，法国工程师 Jean Morlet 想要知道如何更好的利用地震数据来寻找石油。Morlet 分析了从石油勘探中收集到的反射数据。将振动向地面传送，并收集回声。这跟蝙蝠利用声呐的原理一样。问题是如何分析反射回来的数据，并提取关于石油层的有价值的信息。Morlet 和物理学家 Alex Grossmann 想到了一个分析信号的方法，并且引入了一种新的函数类别，称为“小波”（wavelet），该函数通过对固定函数进行伸缩和平移而得出。然而，石油工业对此并不感兴趣。Morlet 的方法并没有被采用，但他们的论文依然在 1984 年的春天发表在科学期刊上。
一年之后，Meyer 正在巴黎综合理工学院复印东西的时候，他的同事给他复印了关于 Morlet 的那篇论文。在前往马赛的火车上，他发现了小波的巨大潜力。
数学家和工程师早就知道一个分析和处理特定类型信息的强大工具：傅里叶分析。声音是用来解释傅里叶分析的最佳例子。例如，音叉发出来的中央 A 的声音由一个完美的正弦波代表，就比如下面这个：
这是一个正弦波。它往左和右无限地延伸。由于正弦波和余弦波相关，因此这也可以看做是余弦波的表示。（图片来源：Plus）
其它的声音，比如小提琴奏出的相同音符，就更加复杂。但是，后来我们发现任何周期性的声音，事实上是任何类型的周期信号，都可以被分解成不同频率的正弦波和余弦波的总和。
函数 f 会随着时间改变，代表了一个声波。傅里叶变换过程会将函数f分解成特定频率和振幅的正弦波。傅里叶变换被表示为频域上的峰值，峰值的高度显示了那个频率下的波的振幅。（图片来源：Wikipedia）
傅里叶分析是个非常有用的工具。它也可以被用来分析和处理图像以及其它类型的信息。但是，它也有缺陷：因为基本的组件——正弦波和余弦波——是周期性的，傅里叶分析只有在重复信号中才能发挥最强大的作用。但对于那些具有不规则特征（比如峰值等）的非周期信号就不是那么管用了。不幸的是，在大部分现实生活的现象中，从说话的声音到地震数据，都属于非周期类别。
这个波形来自人类的声音。它有规律，但不是周期的。（图片来源：Plus）
这也是小波理论登场的时候。顾名思义，小波就是一个“很小的波”。理论的基础是一个“母小波”（mother wavelet），是振荡函数的一小部分。振荡的频率各有不同，同样地，小波的宽度也各有不同。但它们之间有着紧密的联系：频率越高，宽度越窄。
Meyer 的小波。被压缩的小波（上）拥有更高的频率，被拉伸的小波（下）则频率更低。（图片来源：Abelprize.no）
通过改变母小波的尺度，可以产生女儿小波（daughter wavelet），比如缩小（频率增高）、放大（频率降低）或移动。一个信号，比如我们讲话的声音，就可以用这一簇小波的组合来表示。这种分解可以使我们能够捕捉在信号中的重复信息，利用一系列逐渐缩小版本的母小波也使我们可以放大局域的不规则性（比如峰值）。
为了储存这样的一个信号分解，你只需要描述原来母小波的信息，以及不同女儿小波的贡献。它们就已经足够可以把原信号重新构建起来。
傅里叶变换（上）和小波变换（下）。前者的变量只有频率 ω，后者则有两个变量：尺度 a（控制小波函数的伸缩）和平移量 τ（控制小波函数的平移）。
小波理论的最初想法可以追溯到很早以前。数学家 Alfréd Haar 在一百年前就已经构建了小波的一个版本。Haar 的小波有一些漂亮的性质，但也有些不足。而 Meyer 在小波理论的发展中起到了关键作用，是他构建了小波理论的强有力的坚实数学基础。
一些小波类型的例子： (a) Coif1；(b) db2；(c) Meyer；(d) Sym3；(e) Morlet；(f) Mexican.（图片来源：Krishna B）
Meyer 所作出的首个重大贡献是构造了具有光滑性的正交小波基。在 Morlet 构造的小波分析中，Meyer 小波基中的所有函数都是通过平移和伸缩可以明确指定的单个光滑性“母小波”来生成。Morlet 所构造的小波尽管从本质上看非常基础，但却相当不可思议。随后，Stéphane Mallat 和 Yves Meyer 系统地发展了多分辨率分析理论，这是构造小波基的通用框架。
Yves Meyer（图片来源：B. Eymann/Académie des Sciences）
在 1980 年代后期和 1990 年代初，信号处理迎来了“小波革命”，小波变换也被应用在了许多基本信号处理的任务上。例如，压缩（比如 JPEG2000 图像压缩格式）和去噪，以及更现代的应用（比如压缩传感）。FBI 也是利用小波来储存指纹信息，否则就会占据大量的储存空间。
此外，Meyer 的工作还推动了调和分析和偏微分方程式领域的重要理论发展，从证明 Lipschitz 曲线上柯西积分的有界性（由 Coifman、McIntosh 和 Meyer 解决），到发展理解在偏微分方程的非线性效应不可缺少的新工具（比如补偿紧致等）。不仅如此，Meyer 还在准晶体、奇异积分算子和纳维-斯托克斯方程式等课题作出了重要贡献。可以说，Meyer 的工作和洞见不仅推动了纯数学和数学分析的应用方面的发展，还为二者之间架起了卓有成效的沟通桥梁。
Stéphane Mallat 称他为“有远见的人”，他的工作不属于任何一个领域（比如纯数学、应用数学或计算机科学），它只能用“神奇”来标签。
参考来源：
【1】https://plus.maths.org/content/wavelets-catch-abel-prize
【2】http://www.abelprize.no/c69461/binfil/download.php?tid=69542
【3】http://www.abelprize.no/c69461/binfil/download.php?tid=69582
【4】http://www.abelprize.no/c69461/binfil/download.php?tid=69584
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