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陶哲轩:做数学一定要是天才吗?

哲学园  · 公众号  · 哲学  · 2025-01-04 00:00

主要观点总结

本文是数学家陶哲轩根据自己的教育经历和与其他数学家的交流,总结出的数学学习经验。他强调数学不仅是成绩、考试和技巧,更重要的是理解数学的含义。他提出,数学有三个不同的学习阶段,即“不严格”阶段、“严格”阶段和“后严格”阶段,每个阶段都有其特点和重要性。陶哲轩还提到,在数学学习中,提出问题、反复学习自己的领域和换地方学习等策略都有助于深入理解数学。最后,他讨论了“做数学一定要是天才吗?”的问题,认为虽然数学需要一定的才能,但更重要的是如何培养和激发这些才能。

关键观点总结

关键观点1: 数学不仅仅是成绩、考试和技巧

陶哲轩强调,数学更重要的是理解其含义,而非仅仅追求考试成绩。

关键观点2: 数学学习的三个阶段

陶哲轩提出数学有三个不同的学习阶段,每个阶段都有其特点和重要性。

关键观点3: 提问、反复学习和换地方学习

陶哲轩建议在数学学习中提出问题、反复学习自己的领域和换地方学习,以深入理解数学。

关键观点4: 做数学不需要天才基因

陶哲轩认为,虽然数学需要一定的才能,但更重要的是如何培养和激发这些才能,而不是依赖所谓的“天才基因”。

关键观点5: 数学与天才

陶哲轩讨论了“做数学一定要是天才吗?”的问题,认为虽然数学需要一定的才能,但更重要的是如何培养和激发这些才能,而非完全依赖天赋。


正文



"我承认,我自己的数学学习经历确实有些异于常人。然而,这篇文章并不是基于我个人的教育经历而写,我是基于几十年来与他人(本科生、研究生、博士、博士后、我的合作者和同事,听我讲座和演讲的听众,阅读我的论文、书籍和博客文章的读者,甚至我的孩子们和他们的同学,一些记者、社交聚会上的朋友和熟人等等人物)交流的经历,探讨出来的数学学习经验。"

原文来源:https://terrytao.wordpress.com/career-advice/

作者:陶哲轩

译者:戴童



01

数学不仅仅是成绩、考试和技巧



掌握了数字后,你就不再只是读数字了,这就像读书时读到单词一样,你将读出数字的含义。

——哈罗德·杰宁,《管理》

本科生在学习数学时,通常非常看重成绩,而考试通常注重对技术和理论的记忆。学生不一定真正理解了概念,而考试对智力或直觉的要求也不太高。这其实无可厚非:在真正掌握数学之前,一个人必须练习一定量的理论和技巧,就像在能弹奏好一样乐器之前,你也需要大量练习一样。如此一来,你有多少与生俱来的数学天赋和直觉貌似并不重要,如果无法计算多维积分、使用矩阵方程、理解抽象定义或用归纳法正确地证明,那么你就不太可能玩得转高等数学。

然而,等过渡到研究生阶段时,你会发现数学的学习水平变得更高——更重要的是,你要真正开始“做数学”了。这需要你拥有更多的智力,仅依靠记忆和学习,或者复制现有论点或案例的能力,恐怕就不够了。

通常,一个人得放弃或至少改一改自己在本科阶段的学习习惯。比起专注于考试成绩等人为标准,你更需要自我推动式的学习方法和实验经历,来加深自己对数学的理解。

值得注意的是,在个人学习中,即使是你给自己定下的衡量标准(比如记住定理和证明的数量或在资格考试中的解题速度)也不应该被过分强调,甚至因此牺牲实实在在掌握基础数学的机会,否则你会成为古德哈特定律(当一项措施变成了目标,它就不再是一个好措施了。)的牺牲品。这些标准只能用来粗略评估你对某个主题的理解程度,不应成为一个人学习的主要目标。

本科及以下学习阶段,数学课主要教授高度发达的、完善的数学理论,这些理论大多在几十年甚至几个世纪前就被制定了;而在研究生阶段,你将开始接触尖端的、“活生生”的东西,这些东西可能与你在本科阶段所熟知的内容大不相同(但更有趣)!然而,你也不能跳过本科阶段——在尝试飞行之前,你必须先学会走路。


02

数学不仅是严格和证明



每个银河系文明的历史大多会经历三个不同但可识别的阶段,即生存阶段、探索阶段和成熟阶段,也称为“怎么办”“为什么”和“在哪里”阶段。例如,第一阶段的特点是“我们怎么找东西吃?”,第二阶段的特点是“我们为什么吃东西?”,第三阶段的特点是“我们应该在哪里吃午饭?”。

——道格拉斯·亚当斯,《银河系漫游指南》

数学教育大致也可以分为三个阶段。

1.“不严格”阶段。在这个阶段,数学以非正式的、直观的方式出现,教学大多基于举例、模糊的概念和比比划划。例如,老师在讲微积分的时候通常会引入斜率、面积、变化率等概念。这个阶段的教学重点更多会放在计算上,而不是理论上。这个阶段一般要持续到本科的早期。

2.“严格”阶段。在这个阶段,学生会被教导要“正确”地做数学,必须以更精确和正式的方式工作和思考,比如用ε和δ重新做微积分。这一阶段的学习重点主要放在了理论上。人们希望能顺畅地使用抽象的数学对象,而不必过多关注这些对象的实际意义 。这个阶段通常是本科后期和研究生早期。

3.“后严格”阶段。在这个阶段,学生应当适应了自己所选研究领域的一切严格基础,准备重新审视和完善自己之前在本领域中初步形成的“不严格”的直觉。但这次,直觉得到了严格理论的坚定支撑。比如在这时,学生能通过与标量微积分的类比,或通过非正式、半严格地使用无穷小量、大 O 符号等,在矢量微积分中快速、准确地计算,并能在必要时,将所有此类计算转化为严格的论证。这一阶段学习强调的是应用、直觉和“大局观”,研究生后期及以后的学习阶段皆是如此。

众所周知,从第一阶段过渡到第二阶段是相当痛苦的,可怕的“证明问题”是许多数学本科生的噩梦。但从第二阶段过渡到第三阶段同样重要,不该被忽视。

当然,知道如何严格思考至关重要,因为这能让你避免许多常见错误,消除诸多误解。但遗憾的是,这也会引发一个意想不到的后果:“模糊”或“直观”的思维(如启发式推理、从例子中合理推断,或在与物理学等其他领域做比较时)会被鄙视为“不严谨”。很多时候,学生最终会摒弃自己最初的直觉,只能在形式层面上做数学,结果在数学学习的第二阶段就停滞不前了。除此之外,这还会影响一个人阅读数学论文的能力。在论文中遇到哪怕是一个小小的打字错误或歧义时,僵硬的思维方式也会导致“编译错误”——像计算机无法理解和执行代码一样被卡住。

严格,不是为了摧毁一切直觉,它应该被用来摧毁“错误”的直觉,同时澄清和优化“正确”的直觉。只有把严格的形式和正确的直觉结合在一起,我们才能解决复杂的数学问题:前者用于正确处理细微之处,后者用于正确把握大局;缺少任何一个,你都将在黑暗中摸索很久(就算你的想法可能具有启发性,但效率极低)。

因此,一旦完全适应了严格的数学思维,你就该重新审视自己的直觉,并用新的思维能力来测试和完善这些直觉,而不是急着摒弃它们。想做到这一点,一个办法是问自己一些愚蠢的问题;另一个办法是反复学习自己的领域。

数学家想达到的理想状态是,每一个启发式论证都能自然地引出与其对应的严格论证,反之亦然。如此一来,你就能同时运用大脑的左、右两半来解决数学问题,也就是用你在现实生活中惯用的解决问题的方式来解决数学问题。

值得一提的是,处于上述三个教育阶段的“数学家们”在数学写作中仍可能犯形式错误。而这些错误的性质也往往因写作者所处不同阶段而有所不同。

处于第一阶段的“数学家”经常犯形式错误,因为他们无法理解严格的数学形式在实际中是如何运作的,只会盲目地应用形式化规则或启发式方法。即使有人明确指出了这些错误,他们往往也很难理解和纠正。

处于第二阶段的“数学家”也可能犯形式错误,因为他们对形式化的理解尚未完善,或者,他们无法用足够合理的检查来与直觉或其他经验法则进行对照,从而捕捉符号错误等问题,或无法正确验证工具中的关键假设。然而,一旦这些错误被指出,他们通常可以进行检验(也可以修复)。

处于第三阶段的“数学家”也不是完美的,他们在写作中还可能犯形式错误,但这往往是因为他们不再需要形式化来进行高水平的数学推理,而主要依靠直觉,然后将这种直觉(可能不正确地)转化为形式化的数学语言。

这三种错误的区别可能导致一种现象(处于较早学习阶段的读者们往往为此感到十分困惑):“后严格”阶段的数学家的论证也会出现许多打字错误或其他形式错误,但整体上,论证相当合理。局部错误在传播一段时间后会被其他局部错误抵消。相反,一旦“不严格”或“严格”阶段的“数学家”的论证中引入了一个错误,在没有被坚实的直觉检验的情况下,这个错误可能会被“疯传”,直到论证结束时,留下一个毫无意义的结论。


03

问自己一些愚蠢的问题,并作答



不要只是阅读,要与它斗争!提出自己的问题,寻找自己的例子,发现自己的证明。假设有必要吗?反之亦然吗?在经典的特例中会发生什么?退化的情况呢?证明在哪里使用了假设?

——保罗·哈尔莫斯,《我想做数学家》

在学习数学时,无论是阅读书本还是聆听讲座,你通常只看到了最终产品——对一个数学主题精致、聪慧而优雅的介绍。

然而你会发现,探究“新”数学的过程要混乱得多,一路上都在追求天真、徒劳、无趣的目标。

虽然人们很容易忽视这些“失败”的探究路线,但实际上,这些对于我们深入理解一个主题是必不可少的,通过排除法,我们终将把注意力集中在正确的前路上。

因此,你应该毫不畏惧地提出“愚蠢”的问题,挑战某主题相关的“传统智慧”。这些愚蠢的问题偶尔会引出一个令人惊讶的结论,但更多时候,它们会简单地告诉你:为什么会存在“传统智慧”?——这是非常值得了解的故事。

例如,针对某主题下的一个标准引理,你不妨想一想:如果去掉一个假设条件会发生什么?或者,强化其结论会如何?如果一个简单结果通常用方法X来证明,你可以探究一下,可否通过方法Y来证明。而新的证的明可能还不如原来的证明优雅,或者新证明根本行不通——无论是哪种情况,都有助于阐明方法X相对于方法Y的优势,这在证明非标准引理时可能会派上用场。

在听讲座时,提出“愚蠢”但具建设性的问题,会澄清讲座中的某些基本问题——这是完全被接受的行为。例如,论证中的陈述X是否暗示了陈述Y(或相反)?演讲者引入的术语是否与大家已知的类似术语有关?等等。如果不积极提问,你可能会在讲座中感到困惑。而且演讲者通常很欣赏这种反馈——这表明至少有一名听众在认真听讲啊!演讲者一般会抓住这个机会,向你和其他听众做出更好的解释。然而,那些不能立即升华讲座内容的问题,最好还是等讲座结束后再提出。


04

反复学习自己的领域



即便是相当优秀的学生,在找到问题的解决方案并整齐地写下论证过程后,也会合上书本去寻找其他事做。这样一来,他们会错过工作中一个重要而具启发性的阶段。……一位好老师应该理解并让学生深刻认识到,没有任何问题会被完全榨干。

老师的首要职责之一就是不要让学生们觉得数学问题之间是彼此孤立的,或与其他事物更是毫无关联的。当我们回顾问题的解决过程时,就会得到一个天然的机会去探究问题之间的联系。

——乔治·波利亚,《怎样解题》

在数学中,学习永远不会真正停止,即使在你所选的领域内也是如此。比如,我在写完关于基础调和分析的论文十多年后,仍在不断学习这一领域中令人惊讶的新知识。

即便知道基本引理X的陈述和证明,也不应想当然地接受这个引理;相反,你应该深入挖掘,直到真正理解这个引理的全部内涵。

l你能找到其他证明方法吗?

l如果这个引理有两种证明,你知道它们在多大程度上是等价的吗?它们的推广方式是否不同?它们有哪些共同的主题?相较之下,它们各自有哪些优、缺点?

  • 你知道每个假设为什么都是必要的吗?

  • 已知的/推测出的/启发式的推广有哪些?

  • 是否有更弱、更简单的版本满足某些应用?

  • 有哪些模型示例能展示这个引理在实际中的应用?

  • 在什么情况下使用这个引理是合适的,什么情况下不合适?

  • 它能解决什么样的问题,又无法解决什么样的问题?

  • 在数学的其他领域是否存在类似的引理?

  • 这个引理是否适用于更广泛的范式或计划?

在你的领域开展讲座、撰写笔记或其他阐述性材料,即使仅供个人使用,也特别有用。最终,你利用这类高效速记法内化了艰涩的结果,这不仅能让你毫不费力地运用这些结果,提高自己的能力,还能腾出思维空间去学习更多知识。

另一种深入了解自己领域的有效方法是选取本领域的一篇关键性论文,对该论文进行“引文搜索”,也就是说,搜索引用了这篇论文的其他论文。今天,你能找到很多工具来进行引文搜索,比如MathSciNet就提供了这一功能,甚至一般的搜索引擎经常也能提供你前所未知的有用的“靶子”。


05

换地方学习



学习的三大支柱:多见世面、多历磨难、多学知识。

——据说是本杰明·迪斯雷利所作“威尔士三题诗”

选择在不同于本科的学习机构攻读研究生,或者换个地方攻读博士学位,是一个非常好的主意。

就算是顶尖的数学系,也不可能在每个领域都具备优势,因此,能在多家数学系学习将拓宽你的视野,令你接触多种数学文化,见识现有专业领域之外的有趣工具和数学内容。此外,如果在不同的地方学习或工作过,你将有机会与更多同一领域的数学家长期交流,相比一直留在同一机构里,这种交流将对你的职业发展大有裨益——毕竟,一个人在某一领域的职业发展前景,在很大程度上取决于同行们的认可度。所以,这对你在数学领域的未来职业生涯来说非常有益。

此外,换地方学习将帮助你实现从本科生到研究生(你要迈过严格和证明的门槛)或从研究生到博士生(你要学会主动出击,而非完全依赖导师)的心理转变。虽然在转变期间,留在同一机构可能会让人感到舒适和便利,但这也可能会减慢个人的数学发展进程。


06

做数学一定要是天才吗?


我们最好对“天才”和“灵感”这类概念保持警惕:它们就像魔杖,任何想看清事物本质的人都应该谨慎使用。

——何塞·奥特加·伊·加塞特,《小说笔记》

做数学一定要是天才吗?

答案是否定的。为数学做出有益的、实质性的贡献,一个人确实需要努力工作,深入了解自己的研究领域,学习其他领域和工具,提出问题,与其他数学家交流,并思考“大局”。当然,这个人还需要具备一定的智力、耐心和成熟性。但一个人并不需要某种神奇的“天才基因”,凭空捞出深刻的见解、出人意料的解决方案或其他超自然力。

传说中的孤独、可能还有点儿疯癫的天才无视文献或其他传统智慧,仅凭某种难以解释的灵感,或许还加上一点儿痛苦经历的点缀,就能想出一个让所有专家都困惑的、惊人的原创解决方案。这种形象虽然迷人又浪漫,但至少在现代数学世界里往往是不切实际的。老蝉对此有不同看法,陶哲轩在这里似乎明确否定有一种“神奇的‘天才基因’”,“凭空捞出深刻的见解、出人意料的解决方案或其他超自然力。”但纵观全文,陶哲轩似乎也并没有否定做数学需要“一定的智力”和“天赋”。而在此文中他一再强调做数学的第三阶段,即“后严格阶段”,直觉对于数学探索的重要作用(当然直觉的运用需要以熟练的形式证明为基础),而这种直觉在老蝉看来不仅仅是长期研究数学的经验积累后的或者是思维习惯养成的自然结果,而是依赖于数学家的---用陶哲轩自己的话说就是---“一定的智力”和“天赋”的。或者我们可以不承认数学家有一种天赋上的“绝对优势”,而有着一种“比较优势”---这也是陶哲轩的观点。

另一方面,陶哲轩对“天才基因”提出的负面作用大多是对这种观念的价值判断导致的不良后果,比如,强调了“天才崇拜(而不是承认具有天赋这个事实)或引发两方面问题,一是扼杀一些人的信心或者另一个极端:不脚踏实地地去努力学习而寄希望于自己的天赋和灵感;二是“天才”的神秘灵感的不确定性和不可靠性。所有这些对“天才灵感”的负面否定性论证,其实都是一种结果导向的论证,而非事实论证。当然,这里所谓的“天才事实”,老蝉也无法证明,只能从众多数学家异于常人的一些能力方面看出,而且,一个顶尖数学家的出现也无法证明是“培养教育”出来的。或者更合适的说法还是陶哲轩说的数学家具有异于常人的“比较优势”吧。)

当然,人类在数学领域确实取得了令人瞩目、深刻且非凡的成果,但这些都是多年来——甚至是几十年来,许多优秀和伟大的数学家凭借不懈的努力和稳步的进步累积下来的成就。

从一个阶段到下一个阶段的理解上的进步,可能卓越不凡,有时也相当出乎意料,但它仍是建立在先前工作的基础之上的,而不是完全从零开始的。例如,怀尔斯关于费马大定理的工作,或佩雷尔曼关于庞加莱猜想的工作就是如此。

实际上,我发现了当今数学研究的一个现实:进步是自然而然、累积性地通过努力工作、直觉引导、文献阅读和一点儿运气获得的。其实,这比我作为数学专业学生时所想象的——主要由稀有“天才”的神秘灵感推动了数学进步——更令人心满意足。这种“天才崇拜”引发了许多问题,因为没有人能定期地、可靠地、正确地产生这些非常罕见的灵感。如果有人声称自己能做到这一点,我建议你对他们的说法持怀疑态度。

试图以这种不可能的方式做数学,会产生无端的压力,可能会让一些人过分沉迷于“大问题”或“大理论”,而另一些人则会对自己的工作或工具失去“健康”“恰当”的怀疑态度,还有一些人甚至会因为过于沮丧而放弃继续数学工作。此外,将成功归因于先天的才能(这是无法控制的)而不是努力、规划和教育(这些是可以控制的),也会引发其他问题。

当然,即使我们摒弃了“天才”这一概念,在任何时代,仍会有一些数学家比其他数学家更快、更有经验、更有知识、更高效、更细心或更有创造力。然而,这并不意味着只有“顶尖”数学家才能做数学——这是将绝对优势与比较优势混淆的常见错误。

有趣的数学研究领域之广,问题数量之庞大,远远超出了顶级数学家所能包揽的范围。而且,你所掌握的工具或想法或许能挖掘出其他优秀数学家所忽视的东西,尤其,即使是最伟大的数学家在研究数学时,也难免存在弱点。只要你具备相关教育背景、兴趣和一定的才能,就会在数学的某个领域中做出坚实、有用的贡献。

你的成果或许不是数学中最引人注目的部分,但实际上,这往往是一桩好事——很多时候,一个主题的平凡细节其实比任何花哨的应用更重要。此外,在真正有机会解决一个著名问题之前,你有必要在众人的目光之外“磨尖自己的牙齿”——看看当今任何伟大数学家的早期出版作品,你会明白我的意思的。

在某些情况下,过多的天赋可能对一个人的长期数学发展有害——这有点反常识。比如,如果问题解决得太容易,一个人可能就放弃投入太多精力去努力工作、提出“愚蠢”的问题或扩大自己的探索范围,最终,这可能导致技能停滞不前。此外,如果习惯了“随随便便就能成功”,那一个人大概不会培养出应对真正的困难时所需的耐心。当然,天赋很重要,但更重要的是如何培养和激发它。

还要记住一点,专业数学研究不是一项“体育运动”——这与数学竞赛截然不同。做数学的目标不是获得最高的排名、最高的分数或最多的奖项、荣誉,而是增加对数学的理解(既是为了自己,也是为了同行和学生),并为数学的发展和应用做出贡献。为了完成这些任务,数学确实需要一切愿意投入的优秀人才。

01

《陶哲轩教你学数学》

作者:陶哲轩

译者:李馨


菲尔兹奖得主陶哲轩数学思维大解析,通过奥数竞赛习题解答,带你领悟数学之美。


本书是国际知名数学家陶哲轩15岁时的著作,从青少年的角度分析数学问题,主要是数学竞赛等智力谜题,用学生的语言解释思考过程,完整展现了少年陶哲轩的解题思路。


02

《陶哲轩实分析(第3版)》

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01



趣味小说+物理科普!


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02


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他是天才,更是众人难以企及的“魔法师”,总有新点子来解决难题;

他凭着一股“超能力”,在游戏的精神和探索的智慧之间自如穿梭;

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03



《物理是什么》

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诺贝尔物理学奖得主、知名物理学家朝永振一郎科普作品,日本物理学启蒙名作。


本书为著名日本著名物理学家、诺贝尔物理学奖得主朝永振一郎先生的物理启蒙科普作品,书中以思索“物理是什么”为线索,以宏阔视野、精深笔触,通俗讲述了从早期哲学思辨到炼金术、占星术,再到近代科学的物理体系的发展,并重点讲解了物理发展过程中的核心原理。


04



《科学的画廊:图片里的科学史》

作者:约翰•D. 巴罗  译者:唐静 李盼

欣赏包罗万象的艺术珍宝,见证科学发展史中一座座里程碑,领略科学的美感和力量。讲述人类如何通过视觉艺术展现自己的思维火花,再现自然的壮美,见证科学发展史中一座座里程,再现人类思想的高光时刻。


本汇集了200余幅科学史上的图片,这些图片代表着科学发展史中一个又一个里程碑。从简单的图表到第一张世界地图,从手绘图、照片到计算机成像,本书回顾了天文学、数学、物理学、化学、生物学等领域的历史转折点,以图片讲解知识,展现人类科学思想发展史中的高光时刻。


01



《数学的雨伞下》

作者:[法] 米卡埃尔•洛奈(Mickaël Launay)

译者:欧瑜


惊讶!是思考的起点;
数学,是理解世界本质与万物关联的工具!
以数学为起点,以思考为快乐!

法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。
数学,是理解世界本质与万物关联的工具,它能制造两个指南针:一个叫“实用”,一个叫“优雅”。不懂得数学的意义,就无法真正学习和理解数学。
科学家为什么那么聪明?因为他们有非凡的思考方法。
以数学为工具,以思考为快乐;培养自己的思考力、观察力,成为真正的思考者。

===============

科学,人类引以为傲的智慧结晶。而改变时代、推动历史进程的大科学家们,如同智慧之光,照亮万古长夜。


而数学家高斯说:“数学是科学的女王。”物理学家爱因斯坦说:“数学受到高度尊崇的另一个原因在于:恰恰是数学,给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证,没有数学,它们无法达到这样的可靠程度。”


数学是宇宙的语言,从厨房的水龙头到使电视机正常播放的家庭卫生,甚至在路边买菜,数学无处不在。今天,信息技术已经被广泛应用到生活每一个角落,而这些成果的幕后英雄,正是数学!


因此,伟大的数学家,被载入史册,永远被后人铭记。今天推荐的20本数学家相关著作,不仅仅展现他们在伟大时刻的思考,也同时贯彻着他们一生的思维方式,这将成为所有人的宝藏。学好数学的前提,是学会数学的思维。

01

改变世界的17个方程

作者:[英] 伊恩•斯图尔特

译者:劳佳


•英国数学科普名家伊恩•斯图尔特经典名作,译为多国语言 

•李永乐推荐科普名作,“欧拉图书奖”获奖作品 

•美国数学学会(AMS)&美国数学协会(MMA)联袂推荐


了解世界运转的深层道理,看懂科学发展的规律 

方程是一首首数学的诗,言简意赅,却充满意义。阐释自然与社会现象,连接数学与物理现实,是方程的力量与美之所在。



02

《数学那些事:伟大的问题与非凡的人》

作者:威廉·邓纳姆

译者:冯速


无需动用纸笔,纵览数学世界不可不谈的伟大定理、难题和争论;好奇心大满足,纵览数学的核心知识和历史八卦。


本书是一部短文集,文章以各自英文标题的首字母按照A到Z的顺序排列,每一篇短文都讲述了一个特定的数学主题,介绍了数学世界不可不谈的伟大定理、难题、争论和不解之谜。



03

《微积分溯源:伟大思想的历程》

作者:戴维·M. 布雷苏

译者:陈见柯 林开亮 叶卢庆


从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想,到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就,看一看微积分这座“数学宝藏”是如何被塑造成今天的模样的。



04

《微积分的历程:从牛顿到勒贝格》

作者:邓纳姆

译者:李伯民 汪军 张怀勇


本书荣获“第七届文津图书奖推荐书目”。


这不是一本数学家的传记,而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。书中的每一个结果,从牛顿的正弦函数的推导,到伽玛函数的表示,再到贝尔的分类定理,无一不处于各个时代的研究前沿,至今还闪烁着耀眼夺目的光芒。


05

《不可能的几何挑战:数学求索两千年》

作者:大卫•S. 里奇森

译者:姜喆


数学历史新角度,作者旁征博引,发掘了之前数学书未曾留意的历史细节。


本书以数学史上四大著名的“古典问题”——化圆为方、倍立方、作正多边形、三等分角为基础,展现了两千多年来,数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。


06

《贝叶斯的博弈:数学、思维与人工智能》

作者:黄黎原

译者:方弦


法国数学类科普书、大学数学参考及教材类图书畅销书目,在机器学习、人工智能、逻辑学和哲学等众多领域中,探索贝叶斯定理蕴藏的智慧与哲理。


贝叶斯定理一旦与算法相结合,就不再是一套枯燥的数学理论或认识论,而变成了应用广泛的知识宝库,催生了众多现代数学定理,以及令人称道的实践成果。


07

《代数的历史:人类对未知量的不舍追踪(修订版)》

作者:约翰·德比希尔

译者:张浩


更严谨、更翔实、更好读,全面展现代数自诞生至今的面貌。


这是一部恢宏的数学史和人类思想史,一本阐明代数基本知识的“数学入门书”,一册数学家的趣味故事集。


08

《最后的数学问题》

作者:马里奥·利维奥

译者:黄征


畅销世界的数学哲学史经典著作,科学和哲学巨匠们充满智慧的传奇故事,数学、物理、天文学和哲学的恢弘历史画卷。


本书讲述了数学概念的演化过程,引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质,揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系,讨论了困惑几代思想家的重大问题,讲述了数学、哲学和物理学巨匠们的生活经历与思想。


09

《悠扬的素数:二百年数学绝唱黎曼假设》

作者:马库斯•杜•索托伊

译者:柏华元


牛津大学数学教授,英国皇家学会研究员马库斯•杜•索托伊科普力作,带你一同探索黎曼假设,讲述数学家求知路上的苦与乐。


黎曼假设,即素数的未解谜题,被视为数学研究的“珠峰”,吸引了一代代数学家投身于数论研究中,其中不乏数学史上大名鼎鼎的人物。而破解这一谜题过程中的发现,已经给电子商务、量子力学和计算机科学等领域带来了举足轻重的影响。


10

《世界是概率的:伊藤清的数学思想与方法》

作者:[日]伊藤清

译者:刘婷婷


伊藤清是如何学习和思考数学的?

数学家如何看待“纯粹数学与应用数学”“直观与逻辑”?

现代概率论是如何一步步发展起来的? 


沃尔夫奖、高斯奖得主,现代随机分析之父日本数学大家伊藤清

讲述数学思想与方法 激发关于概率与世界的深层呈现日本数学发展的另类线索




11

《数学与创造:广中平祐自传》

作者:广中平祐

译者:逸宁


菲尔兹奖、日本学士院奖、日本文化勋章得主日本数学大家广中平祐亲笔自传


作者以解决“奇点解消问题”的故事为线索,讲述了自己如何学习数学、走上数学研究道路的历程,分享了在挑战数学难题过程中的思考方法与感悟,并就“数学与创造”“创造与情绪”“分析与大局观”等话题做了深入阐述。


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《春夜十话:数学与情绪》

作者:冈洁

译者:林明月


天才数学家的极意文集、影响几代人的不朽名作。


本书从“情绪与心智”的角度,论述了认知发展、义务教育中的深层问题,同时阐述了对人性的细微考察与独到理解,是一本影响了日本几代人的经典名作。


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《一个定理的诞生:我与菲尔茨奖的一千个日夜》

作者:塞德里克•维拉尼

译者:马跃 杨苑艺


畅销世界的当代数学家传记,知名数学家塞德里克·维拉尼荣膺菲尔茨奖的精彩历程,真切感受数学研究生涯的艰辛与乐趣,了解数学家的日常工作与思维方式。


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《牛顿传:科学天才的浮生一梦》

作者:詹姆斯•格雷克

译者:欧瑜


文津奖获得者、科普作家、百万级畅销书作者詹姆斯·格雷克所著传记,故事、历史与科学的结合,展现牛顿辉煌的科学成就,剖析其鲜为人知的内心世界。


在这本传记中,格雷克借助牛顿的重要信件和未出版的笔记,记述了这位科学界最伟大人物之一的生活经历、与他有关联的人物,以及对他产生影响的重要事件,并勾勒出他所处的历史时期的全貌。


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《我只会算术:小平邦彦自传》

作者:[日]小平邦彦

译者:尤斌斌


小平邦彦“抄书学数学”的传闻是真的吗?宽松的教育,是否会影响思考能力,又该如何改善?日本的现代数学研究是如何传承和发展的?


菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主日本数学大家——小平邦彦, 亲笔自传 

澄清“抄书学数学”之传言,评判日本“宽松教育”的利弊得失

还原“懒惰凡人”到“菲尔兹奖得主”的真实样貌

讲述小平邦彦的数学学习心得与感悟,展现日本数学与科学发展的隐性脉络


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《一个数学家的辩白(双语版)》

作者:戈弗雷·哈罗德·哈代

译者:何生


英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代的经典名篇,被称为是“用优雅的语言对数学真谛进行了完美的揭示”。


本书是哈代于1940年写成的心得之作,展现了数学之美、数学的持久性和数学的重要性三大主题。


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《一个应用数学家的辩白》

作者:[美]劳埃德•尼克•特雷费森(Lloyd Nick Trefethen)

译者:何生


1940年,哈代出版了《一个数学家的辩白》,这是一位领先的纯数学家对数学的沉思。82年后,《一个应用数学家的辩白》是一位具有哲学倾向的数值分析师的沉思,也是他的个人回忆录。作者在数值分析的工作中找到了极大的乐趣,但对它与其他数学领域的关系感到困惑。本书更准确的书名应该是《一个数值分析师的自白》,它包含更多的传记材料和更多的数学内容,尤其是在后半部分。但两本书的目的是相同的,都是从作者自己的角度对数学进行严肃的沉思。



物理学


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《费曼传:天才的人生与思想世界》

作者:[美] 詹姆斯·格雷克

译者:高爽 赵晓蕊


中国文津图书奖得主、美国国家图书奖得主詹姆斯•格雷克新作《费曼传:天才的人生与思想世界》,有趣的灵魂,天才的魔术师,科学家们的偶像,盛名之下理查德·费曼的真实人生。


他是天才,更是众人难以企及的“魔法师”,总有新点子来解决难题;

他凭着一股“超能力”,在游戏的精神和探索的智慧之间自如穿梭;

令人目眩的人生经历、率真的态度、永不枯竭的热情,他是科学家们的偶像;

……


这就是费曼——好奇的大男孩、多情的爱人、诺贝尔奖得主、原子弹制造者、“挑战者号”事故调查委员、邦戈鼓手、开锁大师……他为20世纪的物理学开辟了一条非凡的道路。从顶级科学家到满怀好奇的大众,在他参与的每一件事和接触过的每一个人身上,费曼都留下了非凡的印记。


教材


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《复分析:可视化方法》

作者:[美]特里斯坦·尼达姆

译者:齐民友


本书用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论,公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。


本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径,用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路,十分便于读者理解,充分揭示了复分析的数学美。


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《可视化微分几何和形式:一部五幕数学正剧》 

作者:[美]特里斯坦·尼达姆(Tristan Needham)

译者:刘伟安


尼达姆新作上市!

1.旧金山大学数学系教授,理学院副院长,牛津大学博士,与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作!

2.200多幅手绘示意图,将“微分几何”回归为“几何”,运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。

3.原著豆瓣高达9.9分!被认为是“小说一般流畅的数学教材!”

4.译者为国内著名偏微分方程专家,武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。