有名的怪题

节选自《帮你学数学》，张景中著，中国少年儿童出版社。

有这么一个故事，曾经在一些国际数学家聚会中流传。他们把这个故事里提出的问题，叫做“ 看来几乎无法回答的问题 ”。

现在，我把这个故事写在下边，作一些分析说明。

有一个一元二次方程。它的两个根都是大于1的正整数，而且两根的和不超过40。这个方程写出来是： x²-px+q=0 （纸上p、q处写的是数）。

有人把写有这个方程的纸条从中间撕开，把带有数p的一半给了数学家甲，把带有q的另一半给了外地的数学家乙。

于是，甲知道了两根的和（p），乙知道了两根的积（q）。

过了一会儿，甲打电话告诉乙说：“我断定，你一定不知道我手中的p。”

又过了一会儿，乙回电活说：“可是，我已经知道你的p是多少了。”

又过了一会儿，甲回电话说：“我也知道你的q了。”

请问：这个方程的两个根是什么？

这个问题，怪就怪在没有已知数，好像很难。其实，仔细看明问题，经过一番分析，用算术知识便能解答。

关键在于：甲所说的“你一定不知道我手中的p”意味着什么。

它意味着p一定不能写成两个素数的和。

因为p=a+b，要是a、b都是素数，那么，乙手中拿到的q，就有可能是ab，要是q=ab，q就只有一种分解因子的方法，乙便知道手中的p了。

注意！甲断定，乙一定不知道p。这就是说乙手里拿的q，一定不是两个素数的积。也就是说甲自己拿到的p，不是两个素数的。

这样，乙就可以一个一个地检查，在4到40之中，把不能分成两个素数的和的数，全部找出来。它们是：

11、17、23、27、29、35、37。

现在，乙已经知道甲手中的不外乎是这7个数了。

那么，甲、乙手里是什么数时，乙能准确地说出甲手中的p，同时甲又能准确地说出乙手里的q呢？

先看11。

要是乙手里是18、24或者28，那么，因为

18=2×9＝3×6，只有2+9在这7个数之中；

24=3×8＝2×12＝4×6，只有3+8在这7个数之中；

28＝4×7＝2×14，只有4+7在这7个数之中；

可见，乙手里拿到18、24或者28，都能断定甲手中是11；可是这时，甲却不能断定乙手里是18，还是24，还是28。

所以，甲手里不是11。

再看23。

130＝10×13＝5×26＝2×65，只有10+13在这7个数之中；

126＝14×9＝7x18＝……只有14+9在这7个数之中。

可见乙手里拿到130或者126，都能断定甲手里是23；可是这时，甲却不能断定乙手里是130，还是126。

所以，甲手里不是23。

同样的道理，甲手里不是27，不是29，不是35，不是37。最后，只剩下一种可能：甲手里拿到了17。

甲手里的p是17，乙手里可能拿到：

30=2×15，42=3×14，60=5×12，66=6×11，

70＝7×10，72＝8×9，52＝4×13。

要是乙拿到30，30＝5×6，5＋6＝11，乙就不能断定甲有到的是11，还是17。

所以，乙拿到的不是30。

同样的道理，乙拿到的不是42，不是60，也不是66、70、72。最后，只剩下一种可能：乙拿到的是52。

52＝4×13＝2×26。因为2＋26＝28，不在这7个数之中，所以乙可以断定甲拿到了17。

结果，这个方程的两个根是4和13。

以上解决问题的方法叫做 枚举法 ，又叫做 穷举法 ，就是把各种可能加以分析，从中找出解答。