“走马灯数” 142857 与 初等数论入门

正文

记得小学一年级的时候，我从一本课外书中看到了一个好玩的数：142857。

大概是这个数，让我对数学的产生了兴趣。

据说这个数最早发现于埃及的金字塔内。它实在是太好玩了，因为它的 2~6 倍都是的它的重新排列：

• 142857*2=285714
• 142857*3=428571
• 142857*4=571428
• 142857*5=714285
• 142857*6=857142

而且还有更多的性质：

比如：14+28+57=99； 142+857=999 等等。

当然，最关键的是：142857*7=999999。

当时的我在想，这大概是最重要的一条性质，它是所有性质的源头。

很多年以后，我想起了这件往事，发现这个数有一个名字，叫做 “走马灯数”，类似于这样：

这种 “走马灯” 性质实在是让人惊奇。

【那么， 142857 为什么会具有这样神奇的性质？ 是否还会有其他数具有这样的性质呢？】

我稍微思考了一下这个问题，结果意外地发现：它正是一个非常贴切的教材，可以让小白数学爱好者推开 初等数论 大门的一角。

实际上，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，可能也只需要半个小时罢了~ 当然，需要 2 个很简单的前提条件：① 知道 质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质（最大公约数为1）；② 会 竖式计算。

一、竖式计算的奥秘

既然我们已经知道 142857*7=999999，那么一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节。毕竟 1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：

仔细观察一下竖式计算，我们会发现一个很有趣的现象：

前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环。

这个现象揭示了一个简单的定理：

定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1。

如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果。

反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现。于是我们得到了另一个定理：

定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位。

接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论 的大门将缓缓打开。

二、费马不只发现了“费马大定理”

在这一部分，我们需要接触 3 个初等数论的基础概念：

1. 同余：若 a 除以 n 和 b 除以 n 的余数相同，则称 a 和 b 对模 n 同余，记作 (mod n)；
2. 欧拉函数：小于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目，记为 ；
3. 剩余系：对全体自然数，按照除以 n 的余数可以分成 n 类，每一类构成的集合叫做 剩余类；在每一个剩余类中取一个数，构成的集合叫做 完全剩余系；在每一个和 n 互质的剩余类中取一个数，构成的集合叫 简化剩余系。易见，一个模 n 的简化剩余系中有 个元素。

关于欧拉函数，举 2 个例子：

1. 比如 6，在 1、2、3、4、5 中，只有 1 和 5 是和 6 互质的，所以 ;
2. 对于任意质数 p，显然 1~ p-1 都和其互质，因此 。

于是我们很快可以得到一个定理：

定理 2.1（费马-欧拉定理）：若 a 和 m 互质，则 (mod m)

这是第一个需要稍微思考一下的定理。但证明也并不复杂：

在 1~ m-1 中取一个模 m 的简化剩余系，从小到大排列为 ，任意两个数之间的差都小于 m-1，考虑每个数的 a 倍，由于 a 和 m 互质，显然有：

(mod m)

于是 也构成了模 m 的简化剩余系。

则有： (mod m)

那么：

和 m 互质，所以 ，证毕！

特别地，当 m 为质数的时候，结合欧拉函数的定义，我们得到了费马小定理：

定理 2.2（费马小定理）：若 p 为质数，且 a 和 p 互质，则 (mod p)

费马大定理是我们耳熟能详的，但其实费马小定理也是初等数论中比较基本的定理哦！

三、OEIS- A001913

在费马-欧拉定理中，取 a=10，当 m 与 10 互质的时候，才有： （mod m），从而形成 纯循环小数。联想到竖式计算：

在 1/m 的计算过程中， 一定是循环节（但不一定是最短的），显然，当且仅当 m 为质数的时候，才可能有 。满足 “走马灯” 性质 m 至少是质数，且与 10 互质。

但 m 是质数并不是充分条件，如 m=3， ，而 (mod 3)。

于是我们提出了一个定义：设 m 是正整数，a 是整数，若 a 模 m 的阶（使得 （mod m）的最小正整数 k）等于 ，则称 a 为模 m 的一个 原根。

因此我们得到了最终的结果：

定理3： 对每一个 “走马灯数”，必然存在自然数p，走马灯数为 1/p 小数展开后的循环节，且 p 的充要条件是： ① p 是质数； ② p 与 10 互质； ③ 10 是模 p 的一个原根。

有一个收录了各种数列的网站叫 OEIS，它恰好收录了走马灯数相关的 p： A001913

与此同时，还给出了 “走马灯数” 数列：A180340

142857, 588235294117647, 52631578947368421, 434782608695652173913, 344827586206896551724137931, 212765957446808510638297872340425531914893617, 169491525423728813559322033898305084745762711864406779661

这便是后一个问题的答案啦。