使用泰勒公式进行估算时，在不同点有啥区别？

关于泰勒公式的问题，我写过两个答案了：

• 关于泰勒公式的来源： 牛顿插值的几何解释是怎么样的 ？

• 泰勒公式本身的理解： 如何通俗地解释泰勒公式 ？

关于泰勒公式，之前有一个同学问了我一个问题：

这个看似简单的问题，牵扯到一个我认为非常漂亮的数学结论，如果要我说什么让我 体会到了数学之美，我一定会选择这个数学结论。

下面我就借着这个问题来讲解一下让我觉得非常动人的这个数学结论。

1 泰勒级数的收敛

1.1 什么是收敛？

泰勒公式可以把可导的函数展开为幂级数：

下面叙述中，我可能把泰勒公式、泰勒级数、泰勒展开这三个名字进行混用，请依据上下文自行判断（数学看多了，说话写字都会有点强迫症，希望尽量严格些）。

我们对 进行泰勒展开：

1.2 泰勒公式的奇点

什么叫做奇点？比如对于 这个函数：

不光不可导点是奇点，没有定义的点也是奇点，比如：

还有一个更奇怪的奇点：

1.3 奇点与收敛圆

通过奇点来判断泰勒级数的收敛，这就是我说的那个非常漂亮的数学结论，由柯西证明的泰勒级数的收敛半径：

听起来有点拗口，而且还涉及到复平面，我们用 这个函数来举例子：

上面的收敛圆意味着，在实数范围内做 的话，如果在 处泰勒展开展开，那么只有在 内的泰勒级数才会收敛：

可以自己动手试试， 点也是可以拖动的：

此处有互动内容，点击最下面的 “阅读原文” 进行操作。

明白了泰勒公式的收敛半径之后，我们就可以明白：

此时回到我们最初的那个问题：

1.4 复数与实数的关系

回到我们之前挖下的坑， 的奇点在哪里？

很明显 时，是 的奇点，因为 。我们把奇点和展开点放到复平面上看看：

所以在实平面上的 ，虽然奇点不在实平面内，但是依然被奇点所影响，所以其收敛半径为 ：

我们学习的高等数学，都是在实数范围内，所以导致我很长时间认为复数只是一个表示 的一个技巧，而泰勒级数收敛圆向我展示了实数切切实实是复数的一部分，哪怕你只研究实数部分的问题，仍然会被复数所影响。这是我认为它非常美丽的原因。

我们还应该认识到泰勒级数只是对原函数的近似，并且这种近似是有条件的。

2 运用泰勒级数估算的技巧

我不喜欢技巧，不过这里仍然说一下如何合理的估算 。

首先：

其次：

但是选 肯定不行，因为泰勒级数第一项就要计算 ，咱们何必用泰勒级数进行计算？

那选 行不行？也不好，因为第一项要计算 ，这个我们也不清楚。

最好就选 ，因为计算 ，下面一项是