遥远而又神秘的未知世界投射过来的一缕微光——3n+1猜想

作者 | 民间数学家

来源 | 职业数学家在民间

好玩的数学获授权发布本文，转载请联系原作者。

天上有多少颗星星，数学中就有多少个未解之谜。如果要我从数学中选出一颗最神秘的星星，那我一定会选著名的3n+1猜想。

3n+1猜想的具体表述是非常简单的：

下面是几个简单的例子：

1） 从12开始，我们得到变换序列12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。

2） 从19开始，我们得到变换序列19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。

3）从27开始，情况变得复杂了，按照上面的法则，变换的整数值逐渐变大，最大值达到9232，不过最终还是变回1：

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232 , 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

现在已经无法确切考证3n+1猜想到底是谁先提出来的。但是有文献显示早在上个世纪30年代，德国数学家Lothar Collatz 就考虑过类似问题，所以3n+1猜想经常被称作考拉茨(Collatz)猜想。由于3n+1猜想是由一个名叫角谷的日本人传到中国，所以在国内又称角谷猜想。当然了它还有许多其他的名字，但我认为称其为3n+1猜想是最合适的。

上个世纪五六十年代，3n+1猜想传入美国后，疯狂吸引了大量的数学专业师生，据说这个猜想传入耶鲁大学数学系时，整个系的人，从本科生到资深教授，在整整一个月的时间内都在试图证明它。同样的事情也发生在芝加哥大学。当时甚至有人宣称，3n+1猜想可能是一个试图摧毁美国数学研究事业的阴谋。

时至今日，关于3n+1猜想的研究也不是没有进展，比较有代表性的工作是Krasikov 和 Lagarias 在03年发表在《Acta Arithmetica》的论文中证明的结果：

但这些工作和3n+1猜想本身比起来太微弱了，丝毫没有撼动这个巨石猜想。

3n+1猜想到底有多难呢？ 大数学家厄特希(P. Erdos) 曾说过：“ 数学还没有成熟到足以解决这样的问题！” 数学天才陶哲轩也认为这个猜想不太可能被当前的技术证明。

3n+1猜想并非一个孤立的猜想，而是一大堆类似猜想中最简单，最有代表性的一个例子。3n+1猜想本身也可以有许多的延拓和推广。

注意所有的整数可以分成 偶数 (2n 型) 和 奇数 (2n＋1 型)这 两类。 如果我们定义如下的正整数函数 f ，它在偶数和奇数上分别定义为 ：

那么3n+1猜想等价于说任何正整数在f 的迭代下都会进入循环4→2→1。

当然，我们也可以把3n+1替换成3n+m，（其中m是任意不被3整除的奇数）。那么3n+m猜想是说任何整数在相关函数的迭代下都会进入有限个循环。

但是，如果我们用把3n+1替换成kn+1(k是大于3的奇数)，那么新函数的迭代性质就有了根本的变化，我们一般都猜想，当k大于3时，几乎所有整数在新函数的迭代下会趋于无穷。所有这些猜想的难度都绝不亚于3n+1猜想本身。

最后再举另外一个比较著名的整数迭代函数 U 。注意所有的整数可以分成偶数(2n 型)，4n＋1 型的数和4n＋3 型的数，这三类，而U函数在这三类数上的定义分别为：

这个迭代函数也是由考拉茨(Collatz)最先考虑过的。 Murray Klamkin在1963年提出一个公开的问题：

一般我们都认为应该会趋于无穷，比如迭代序列刚开始时是：

8→12→18→27(27=4*6+3)→20→30→45(45=4×11+1)→34→51→38→57→。。。。。。。。

但这样一个如此特殊的猜想到现在也依然无法证明。

太难太难了！

而这仅仅是我们在这一大类问题里所碰到的最为简单，最为特殊的情形。关于这一类问题的最一般的表述和猜想，以及3n+1猜想的历史，大家可以参考Lagarias编辑的论文专著《The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem》。这部专著取名：《终极挑战》。

是啊，3n+1猜想当之无愧地成为对人类智力的终极挑战！

围绕考拉茨图(Collatz graph)，从图论的角度，有许许多多很有意思的研究工作，但基本上都无助于解决3n+1猜想。

另外，3n+1猜想中修正的迭代函数

也可以扩充成2-adic 整数环，或者复数域上的迭代函数，因此可以从遍历理论或者复动力系统的角度来研究3n+1猜想。特别值得一提的是复数域上的迭代函数 F 有如下比较简单的表达形式：