【物理数学】回归基本原理的数字探索：减法与0的发现

本文摘自著名理论物理学家大栗博司写给女儿的数学启蒙书《用数学的语言看世界》

我们小学的时候学习“算术”，初中开始学习“数学”，数学与“数字”有着紧密的联系。数字是一个奇妙的东西。假设这里有苹果，我们可以用 1、2、3 来计算个数。如果有橘子，同样可以用 1、2、3 计算。1 个苹果和 1 个橘子明明是完全不同的物体，却都能用“1”来表示。数学脱离了苹果或橘子等具体事物，思考的对象只限于没有实体的“数字本身”，即抽象性。

埃隆·马斯克最近在接受美国物理学会会刊的采访时，阐述了走进抽象世界，从基本原理思考问题的意义。马斯克创办了网上电子支付服务公司，大获成功后又创立了用火箭为国际空间站等运送物资的SpaceX 公司。他还担任特斯拉公司的董事长，特斯拉是一家致力于开发、制造以及销售电动汽车的公司。

采访者：您最近在接受采访时给追求创新的年轻人提了一个建议，提到了不去模仿他人，从基本原理思考问题的重要性。您可以再稍微具体地谈一下这点吗？

马斯克：我们在平时的生活中一般不会从基本原理去思考问题。那么做的话，我们在精神上会受不了。所以，我们人生的大部分时间是在类推或模仿他人中度过的。不过当我们要去开辟一个新的领域，或者从真正意义上去创新时，必须得从基本原理出发。任何领域都一样，先要去发现这个领域中最基本的真理，然后再重新思考。实现这个过程需要精神上的努力。我举个例子吧，回归基本原理在我的火箭事业中就发挥了作用！

接下来，让我们一起去数字的世界里探险，同时思考回归基本原理的具体含义。

1 加法、乘法与运算三定律

一般认为，数学作为一门学问诞生于古希腊。古中国、古巴比伦和古埃及曾经都在研究数字和图形的性质，不过古希腊人最早深入考察了数学的起源。

大约是在公元前300年，欧几里得编写的《几何原本》从“两点间能作一条直线”“凡是直角都相等”等5条公设出发，在这基础上发现了图形的性质。这5条公设被称作公理，每一条都在阐述理所当然的常识。欧几里得之所以伟大，是因为他为这些理所当然的常识命名，加以准确的验证，并将其作为基本原理创立了几何学。这就是数学作为一门学问的开端。

从人们公认的公理出发，根据理论推导出图形的惊人性质。欧几里得用这种推导方法证明得出的各种定理，即便在2300年后的今天也同样准确。就算在1亿光年外的星球上出现了智慧生命体，或许他们进化过程与人类不同，但只要他们运用的公理与欧几里得的相同，就能创立相同的几何学，证明相同的定理。

理所当然的常识一一被当作公理，只运用这些公理研究事物也许是一个非常繁琐的过程。但是正因为如此，数学定理获得了永恒的生命。正因为忍受住了这个繁琐的过程，人类才发现了普遍真理。这正是马斯克口中“从基本原理思考问题”的含义。

下面我们也尝试效仿欧几里得几何学，从基本原理思考数字的性质。计算苹果或橘子个数的数字1、2、3叫作自然数 （目前的自然数概念包含“0”，本书中作者为了讲述数字“0”的发现（本章第 2 节，即本文第2节）， 此处未把“0”列为人类最初的计数数字，特此说明。—编者注）。自然数之间可以运用加法和乘法运算。如果有人提问一星期等于几个小时，我们会计算7×24。假设我们不用计算器，用笔算计算结果。笔算时，先按照位数将其分解成单个数字，接着分别将不同位数上的数字相乘，最后将相同位数上的数字对齐相加。

为了方便解释，下文中会写出笔算时通常省略的“+ ”和“0”。

笔算过程中隐藏着数字的基本原理。首先，分解24=4+20，再分别计算7×4和7×20。

7×(4+20)=7×4+7×20

也许你觉得这是理所当然的，不过这个运算有一个响亮的名字叫“分配律”。如果用 a、b、c 代替具体的数字，这条定律可以记作

分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

回到笔算过程，在7×24下方画一条横线，在横线下方写出7×4和7×20的计算结果。7×4当然等于28。然后再思考7×20的计算方法，首先分解20=2×10，先计算7×2=14，再将其结果乘以10，得出140。公式书写如下：

7×(2×10)=(7×2)×10=14×10=140

第一个等号处运用了结合律。

结合律：a×(b ×c)=(a×b)×c

相同公式同样可以运用于加法运算，

结合律：a+(b+c)=(a+b)+c

这也叫作结合律。

此外，还有一条“交换律”。

交换律：a+b=b+a, a×b=b×a

上算术课的时候，当老师提问“1 个苹果100 日元，买5个苹果要花多少钱？”如果回答“5×100 =500，总共500日元”，由于公式没有按照“1 个苹果的钱”ד个数”的顺序计算，有些小学会判这个方法错。但是乘法有交换律，即使计算的顺序不同，得出的结果是相同的。

结合律、交换律和分配律这 3 条定律加上“1”的性质

“1”的性质：1×a=a×1=a

就构成了数字的基本原理。我们在平时的计算中会无意识地使用这几条定律，不过数学的做法就是意识到它们的存在，分别为它们命名并加以验证。接下来我们就以这3条定律和“1”的性质为基础，通过它们去探索数字的世界。

2 减法与0的发现

也许在文明刚开始的时候，仅靠加法和乘法运算就能够满足人类的需求。当人类发明了货币，出现了商品借贷，减法运算也成了一个必要条件。减法就是“加法的逆运算”。自然数a减自然数b的过程

(a−b)+b=a

被定义为抵消加b的过程。换言之，所谓(a−b），就是“什么数加b等于a”这道设问的答案。也可以说，x+b=a的解就是x。

小学学习算术时，大多数孩子都会觉得减法比加法难，也许是因为有时候会出现减不了的情况。比如盘子上有3个苹果，再放入5个苹果的话就是3+5=8个。不过，拿掉5个即(3−5)个的话，就不知道该怎么计算了。即，减法运算的结果不一定都是自然数。

出现上述问题时，数学一般有两种解决方法。第一种是规定在自然数的范围内进行有意义的运算。在这种情况下，只允许大数减小数。

虽然这合乎逻辑，但是不能灵活进行减法运算的话有时会感到不太方便。因此，如果减法运算的结果不一定都是自然数，那么另一种解决方法就是增加数字。假设有2个自然数a和b，如果a>b，那么(a−b)肯定是自然数。但是，如果 a≤b，那么(a−b)就一定不是自然数（目前自然数概念包括“0”，下同。—编者注。）如果不是自然数，那么只要发明新的数字，在这些数字的范围内进行减法运算即可。“0”和“负数”正是来源于这些想法。

首先，假设a=b。例如a=b=1，(1−1)就不是自然数。那么，我们该怎么增加自然数来解决(1−1)的问题？

因为你已经知道 (1−1) 等于0，所以可能会奇怪为什么事到如今还要思考“(1−1) 等于什么”。接下来假装我们都不知道0的存在，从而重新体验一下发现0的过程。

既然发明了一个新的数字，首先必须制定用这个数字计算时所需的定律。数学经常使用的手法是让新增数字套用既存的定律。不改变基本定律是推出新增数字的引导线。

可以从加法运算的结合律推出包含减法运算的结合律

a+(b−c)=(a+b)−c

这个定律是从加法运算与乘法运算的结合律以及减法运算的定义中推导出来的。证明过程在我个人主页（http://ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics）的补充知识中，有兴趣的话可以去看一看。这个定律在b=c=1时同样成立，a+(1−1)=(a+1)−1因为右边的 (a +1)−1相当于(a+1) 这个数字减去比自身小的数字1，所以可以运用自然数之间的减法运算，结果等于a。换言之，

 a+(1−1)=a

 (1−1) 这个我们（假装）不知道的数字有一个特点，即“与任何数字相加，其结果都不会改变”。

刚才我们思考的是 (1−1)，当然 (2−2) 也一样。大家都看得出来，这两个其实是相同的数字。用基本原理推导的话，假设刚才公式中的a=2，只要同时在2+(1−1)=2的两边减去2即可。因此，1−1=2−2。不管是(3−3)还是(100-100)，结果也都一样，即1−1=3−3=100−100。那么，用一个相同的符号“0”来表示上述运算，即

0=1−1=2−2=3−3=100−100

0终于出场了。根据上面0的定义，a+(1−1)可以表示如下：

a+0=0+a=a

0与任何数字相加，都等于这个数字本身。

下一个小节需要用到0的乘法运算，先在此提一下。0与任何数字相乘都等于0。这个限制由减法运算和乘法运算的分配律中推导出，

 a× (b−c)=a×b−a×c

这条分配律由加法运算的分配律和减法运算的定理中推导而出。有兴趣的读者请参考个人主页补充知识中的证明过程。这条定律在b=c的情况下也同样成立，任何数字a乘以0都为，

 a×0=a×(b−b)=a×b−a×b=0

因此，a×0=0。即便增加自然数，计算的定律也同样成立，可以推导出0的基本性质，

 a+0=0+a=a，a×0=0×a=0

于是，数字中又多了一个0。

自文明开端，人类已经知道如何使用自然数进行计算。0大约发现于1400年前，当时的日本正处于大化改新时期。数字最初是用来计算苹果、橘子等物体的个数，使用数字来表现“什么都没有”的状态，需要依靠思维的飞跃。这一点，甚至连古希腊人都未曾想到。

古巴比伦和中美洲的玛雅文明都有使用0的记录，不过是用来表示决定数字的位数，并没有将其作为独立的“数字”来看。628年，印度的天文学家和数学家婆罗摩笈多编著了《婆罗摩修正体系（宇宙的开端）》，最早在书中记录了0的性质。

0诞生于印度，之后随着香料贸易传入伊斯兰社会。伊斯兰文明黄金时期担任巴格达图书馆“智慧馆”馆长的天文学家和数学家花拉子米发展了使用0的数学。

8世纪初期，伊斯兰势力穿过直布罗陀海峡，占领了欧洲西部的伊比利亚半岛。后倭马亚王朝的首都科尔多瓦极尽繁华，甚至媲美巴格达，还建造了当时世界上最大的图书馆。之后，基督教国家为了夺回伊比利亚半岛，发起了复地运动。科尔多瓦积累的伊斯兰知识也随之传入了中世纪的欧洲。阿拉伯的数学书籍被译成了拉丁语，花拉子米解说印度十进制计数法的图书以《阿尔戈利兹姆算术》为题在欧洲出版。“阿尔戈利兹姆”是花拉子米拉丁语的读法。因此，使用印度计数法的人被 叫作“阿尔戈利斯特”（algorithm），这个词也是“算法”的词源，表示计算的顺序。

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本期编辑|以太

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