数学为什么需要证明？

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作者 | [法]米卡埃尔·洛奈(Mickaёl Launay)

译者 | 孙佳雯

节选自《万物皆数》，北京联合出版公司，标题为小编所加。

对于古希腊的数学家们来说，“证明”将是他们需要攻坚的主战场之一。如果没有相应的验证过程，那么一个“定理”则不能被承认，也就是说，需要有一个特定的逻辑推理明确地确立其真实性。应该说，如果没有证明过程的“保驾 护航”，数学结论中可能会混杂一些不妙的“惊喜”。然而， 有一些方法，虽然被人们熟知且大范围使用，却并不总是那么管用。

举个例子！在《莱因德纸草书》 [1] 的记录中，有一个关于“化圆为方” [2] 的问题，然而这个记录是错误的。虽然错得不算太离谱，但还是错了。不管我们如何努力，圆形和方形的面积之间依然存在大约0.5% 的差别！所以，对于土地测量员或者其他的土地规划师来说，这没什么问题，如此的精度绰绰有余，但是对于理论数学家来说，这是不可接受的。

译注[1]：也称阿姆士（Ahmose）纸草书，或者大英博物馆10057和10058号纸草书，是古埃及第二中间期时代（约公元前1640年至公元前1550年）由名为阿姆士的僧侣在纸草书上抄写的一部数学著作，是具有代表性的古埃及数学原始文献之一。

译注[2]：化圆为方是古希腊数学里尺规作图领域当中的命题，和三等分角、倍立方问题并列为尽规作图三大难题。其问题为：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。

就连毕达哥拉斯也陷入了各种错误假设的陷阱之中，他最著名的错误是关于“可测长度”的问题。毕达哥拉斯认为， 在几何学的意义上，任意两个长度总是可以被测量的，也就是说，能够找到一个足够小的单位，同时测量这两个长度。试想一下，有两条线段，一条长9 厘米，另一条长13.7 厘米。古希腊人并不知道小数点，他们只用整数来测量长度。因此， 对于他们来说，第二条线段无法用厘米来测定。但是没关系， 在这种情况下，只要用更小的单位，即厘米的十分之一⸺ 毫米⸺来测定，很容易得出这两条线段分别为90 毫米和137 毫米。毕达哥拉斯相信，任意两条线，不管长度是多少， 总是能够找到一个合适的度量单位进行同时测量。

然而，这种“信念”却被一个叫希帕索斯的毕达哥拉斯学派门徒推翻。希帕索斯发现，在一个正方形中，边长和对角线长是不可同时测量的！不管选择什么测量单位，正方形的边长和对角线长总是不可能同时由整数测定。希帕索斯还提供了一个逻辑论证，使得这个结论变得板上钉钉，不可动摇。毕达哥拉斯和他的门徒们大为惊慌，将希帕索斯驱逐出毕达哥拉斯学派。甚至有传言说，希帕索斯因为这一发现被他的同窗们丢进了海里！

对于数学家来说，这样的逸事是很可怕的。我们真的能够肯定地断言什么事情吗？我们是不是生活在这样一种永恒的恐惧之中，害怕所有的数学发现有朝一日都会支离破碎？那么边长为3∶4∶5的三角形呢？我们能确定它真的是直角三角形吗？在未来的某一天，我们是不是也可能会发现，在我们今天看来是完美直角的那个角，其实也只是一个近似直角的角而已？

直到今天，数学家们还时不时地成为错误直觉的受害者，这并不稀罕。这也就是为什么，当今的数学家们依然追随古希腊前辈们追求严谨的精神，并且采取非常谨慎的态度来区分那些被称为“定理”的、已经被论证过的陈述和那些他们认为是正确的，但是暂时还没有办法得到证明的陈述⸺他们称之为“猜想”。

在我们这个年代，黎曼猜想是非常著名的数学猜想之一。很多数学家都对这个尚未被证明的猜想的真实性很有信心，因此他们做了很多以黎曼猜想为基础的研究。如果有朝一日，黎曼猜想变成了定理，那么他们的研究就能“板上钉钉”。但如果有朝一日黎曼猜想被推翻，所有以黎曼猜想为基础的研究工作都会随之倾颓，无数人毕生的努力将付之东流。我们作为21 世纪的科学工作者，毫无疑问会比我们的古希腊前辈们更加理性，但是我们也可以理解，在这种情况下，如果有一位数学家站出来宣称黎曼猜想是不成立的，那真的会有不少数学家同行产生想投水自尽的欲望。

正是为了避免这种不知何时可能就“被否定”的永恒的焦虑感，数学需要证明。没错，我们永远不会发现原来3∶4∶5 不是直角三角形， 它就是直角三角形， 确定一定以及肯定。这种确定性来自于“毕达哥拉斯定理已经被证明了”这一事实。任意两边边长的平方和等于第三条边的平方的三角形是直角三角形。对于美索不达米亚人来说，上面的陈述毫无疑问只是一个猜想。可是对于古希腊人来说， 它就成了定理。 哟吼！

那么，所谓的“证明”到底是什么样子的呢？毕达哥拉斯定理不单单是最著名的定理，同样也是人类历史上拥有最多证明方式的定理⸺差不多有几十种。其中有一些证明方式是由其他文明的人独立发现的，他们肯定没有听说过欧几里得，也没有听说过毕达哥拉斯。比如，在《九章算术》的后人批注当中，人们就发现了勾股定理的证明过程。还有一些证明过程是由一些数学家完成的，他们知道这个定理已经被证明，或是出于想要挑战的心理，或者是希望能够给这个定理留下一些个人的印记，总之他们兴致勃勃地创建了新的证明方式。在这些数学家中，我们能找到几个相当耳熟能详的名字，比如意大利发明家达·芬奇，或者第20任美国总统詹姆斯·艾布拉姆·加菲尔德。

在毕达哥拉斯定理的证明过程中，我们发现，有一个原则被经常使用：如果两个几何图形是由同样若干个几何形状以不同的方式拼贴而成的，那么这两个图形的面积是相等的。以下就是公元3世纪的中国数学家刘徽想象出来的切割方式。

由中间的直角三角形两个直角边出发，形成的两个正方形，分别由2块和5块碎片构成。所有这7块碎片合起来，形成了另外一个由该直角三角形斜边出发构成的正方形。因此，以斜边为边长的正方形面积等于另外两个较小的正方形面积之和。而正方形的面积等于它边长的平方，于是，勾股定理证明完毕。

我们这里不会就更多的细节具体展开，但很显然，为了使证明过程变得完整，有必要证明所有的这些碎片都完全地、严格地相同，并且证明这样的切割适用于所有的直角三角形。

总之！让我们重拾我们的推理链，为什么3 ∶ 4 ∶ 5 是直角三角形？因为它得到了毕达哥拉斯定理的认定。为什么毕达哥拉斯定理是正确的？因为刘徽对正方形的巧妙切割，展示了直角三角形两条直角边长构成的正方形面积和恰好等于该直角三角形斜边构成的正方形面积。整个过程看上去很像孩子们爱玩儿的“为什么”游戏。问题是，这个小小的游戏有个令人讨厌的缺陷，就是它永远都不会结束。无论问题的答案是什么，我们总是有可能再对这个答案提出质疑。为什么？是啊，为什么呢？

让我们再回到刘徽的拼图：我们已经确定，如果两个几何图形由相同的若干碎片构成，那么这两个图形具有相同的面积。可是，我们证明过这个原则始终是正确的吗？难道我们就找不到这样的一些碎片，使其面积和因组装方式的不同而不同吗？这种主张看上去似乎很荒谬，不是吗？它是如此的荒谬，以至于想要证明它的尝试看上去都非常奇怪……然而， 我们刚刚才确认过， 在数学中， 很重要的一点就是“ 证明一切”。所以就在我们承认这一规则之后不到一会儿，就愿意放弃这一规则了吗？

这可不是什么玩笑，形势很是严峻。尤其是，即使我们成功地解释了为什么刘徽的拼图原则是正确的，还是应该继续证明使用这种方法是出于什么理由！

古希腊的数学家们也意识到了这个问题。为了证明某个数学事实，需要从另外一个地方入手。但是，任何数学过程的第一句话都没有得到证明，就是因为它们是“第一句话”。因此，所有的数学建构，都必须从承认某一些先验的显然事实开始。因为所有的建构都将以这些“显然事实”为基础而展开，因此我们必须万分慎重地选择这些“显然事实”。

数学家们称这些“显然事实”为“公理”。公理和定理、猜想一样，都是数学陈述，但区别在于，公理没有证明过程，我们也不需要寻求证明过程。它们被所有人承认是正确的。

公元前3世纪，欧几里得撰写了一部共13卷的《几何原本》，主要用来讨论几何学与算术的问题。

对于欧几里得，今天的我们了解得不多，他并不像泰勒斯或者毕达哥拉斯那样留下了很多的相关资料和江湖传说。他很有可能住在古埃及的亚历山大港一带。还有一些人提出一种假说，就像之前针对毕达哥拉斯的假说那样，他们认为欧几里得不是“一个人”，而是一群学者的合称。总之一切都不能确定。

尽管我们对欧几里得知之甚少，然而他却留给了我们《几何原本》这样伟大且不朽的著作。这部巨著被毫无争议地认为是数学史上伟大的著作之一，因为它最先采用了公理化的方法。《几何原本》一书的撰写方式具有令人吃惊的现代性特征，它的行文结构非常接近我们这个时代的数学家们依然在使用的结构方式。在15 世纪末期，《几何原本》是谷登堡 [3] 使用新印刷术印刷成书的第一批书籍之一。在今天，欧几里得的《几何原本》是人类历史上再版次数第二多的著作，仅次于《圣经》。

译注[3]：约翰内斯·谷登堡(Johannes Gutenberg)，德国人，是发明活字印刷术的第一位欧洲人，他的发明引发了一次媒介革命，并被广泛认为是现代史上非常重要的事件之一。

在讨论平面几何的《几何原本》第一卷中，欧几里得提出了以下5 个公理：

在这5个公理之后，是长长的一串经过证明的、无可争议的定理。对于所有这些定理的证明，欧几里得使用的不过是上述的5个公理或者从这5个公理出发证明得出的结论。《几何原本》第一卷的最后一个定理是我们的老熟人了⸺正是毕达哥拉斯定理。

在欧几里得之后，大量的数学家也对“公理的选择”这一问题产生了兴趣。他们中有很多人尤其对欧几里得的第5条公理感到困惑和不安。没错，最后这一条公理的确比前4条看上去复杂得多。有的时候，人们会用一个更简单的陈述代替这一条公理，但是最终的结论还是一样的：对于给定的一点和不经过该点的一条直线，我们能且只能画出一条经过该点的该直线的平行线。对于“第5条公理”的选择问题，数学家们一直争论到了19世纪，最终，随着新的几何模型的创建，争论终于停止了，因为人们发现，在非欧几何学中，“第5 条公理”是不成立的！

关于公理的表述还带来另外一个问题，即“定义”的问 题。我们所使用的这些词：点、线段、角或者圆，它们又是什么意思呢？如同“证明”所遭遇到的问题一样，“定义”的问题也是无穷无尽的。因为“第一个”定义必然是由此前没有定义过的词所表述的。

在《几何原本》中，定义是先行于公理的。第一卷开篇第一句话就是对“点”的定义。

点是没有部分的东西。

真是很奇怪的表述，但是习惯就好！欧几里得通过这个定义想说的是， “点”是可能存在的几何图形中最小的一个。我们不可能玩儿“点”的拼图游戏，点是不可切割的，它没有“组成部分”。1632 年，在《几何原本》早期的法语版本之一中， 数学家丹尼· 亨利翁在他的注释中对“点”的定义做了一定程度的补充，指出点是“没有长度、没有宽度、没有高度”的几何形状。

这些“否定式”的定义让人心生怀疑，因为它只说了“什么不是点”，而没有真正地说清楚“点到底是什么”！然而， 更“聪明”的家伙们知道如何更好地下定义。在20 世纪早期的一些法国教材里，我们有时能找到这样的定义：将一支削得极细的铅笔笔尖压到一张纸上，得到的痕迹就是“点”。“削得极细！”这次，我们终于有了一个实体的点。然而，这样的一个定义却能把欧几里得、毕达哥拉斯和泰勒斯等古代数学家气得活过来，因为他们费尽千辛万苦，竭尽毕生之力，只是为了创造出完全抽象的、理想化的几何图像。没有任何一支铅笔⸺无论笔尖被削得有多么细⸺能够真的在纸上留且仅留下一个没有长度、没有宽度、没有高度的痕迹。

总之，没有人真正知道“点”到底是什么，但是几乎所有人都确信，“点”这个想法足够简单和清晰，而且不会产生模棱两可的情况。所以，当使用“点”这个词的时候，我们终于能够确定所有人都在讨论同一个事情。

正是出于对这些“初始定义”和“公理”的绝对笃信，人们在此基础上发展出了整个几何学。而且，更准确地说，我们整个现代数学学科正是建立在同样的模型基础之上的。

定义―公理―定理―证明：这条由欧几里得开辟的道路将成为他所有的后继者必须要追寻的路径。然而，随着理论的建构和扩大，数学家们新的眼中钉又出现了，那就是悖论。

所谓悖论，就是一种似假非真、似是而非、自相矛盾的命题。它是一种显然不能被解决的矛盾。一个看上去绝对正确的论述，结果却能够推导出一个完全荒谬的结论。想象一下，你列出了一个公理的清单，这些公理在你看来都是不容置疑的，然而你却从这些公理出发推导出了一系列明显是错误的定理！简直是噩梦啊！

历史上著名的悖论之一，是由米利都的欧布里德提出的， 内容与古希腊诗人埃庇米尼得斯说过的话有关。的确，埃庇米尼得斯曾在某一日宣布说：“所有的克里特人都是骗子。”那么问题来了，埃庇米尼得斯自己就是一个克里特人！因此，如果他说的是真的，那么他就是个骗子，所以他说的就是谎话； 如果他说的是假的，那么他就是在说谎，这句话就成了真话！ 后来，这个悖论被演变成了各种各样的形式，其中最简单的一种，是一个人说：“我说的这句话是谎话。”

说谎者悖论挑战了一个我们预设的想法，那就是对于任意一句陈述来说，它或者是真，或者是假，绝对没有第三种可能。在数学上，这被称为“排中律”。乍一看，把排中律的原则当成一个公理似乎是个很诱人的提议。然而，说谎者悖论却警告了我们：情况比排中律所说的更复杂。如果一个陈述确认了自己的虚假性，那么在逻辑上，它就是既非真也非假的。

但是，这种程度的“困扰”并不会影响当今大多数数学家认为排中律是真实的。毕竟，说谎者悖论并不是一个真正的数学陈述，人们觉得它更像是一种语言学上的不一致，而不是一种逻辑的矛盾。然而，欧布里德身后2000 多年，逻辑学家们发现，同样类型的矛盾居然也出现在了最严格的理论当中，造成了数学领域的剧烈动荡。

公元前5 世纪的古希腊哲学家，埃利亚的芝诺，也是一位善于创造悖论艺术的大师。他自己一个人就创造出了将近10种悖论，其中最负盛名的，就是“阿喀琉斯追乌龟”。

想象一下，阿喀琉斯（一位著名的运动健将、“希腊第一勇士”）和一只乌龟，赛跑。为了平衡一下双方实力，乌龟被允许领先一段距离起跑，比如说领先100米好了。尽管乌龟具有这样的优势，然而在我们看来，奔跑速度远远大于乌龟的阿喀琉斯都将很快赶超乌龟，赢得比赛。然而，芝诺却向我们证明了相反的结果。芝诺说，比赛的路程可以被分为若干个阶段，为了追赶上乌龟，阿喀琉斯必须至少先跑过乌龟领先的100米。而当阿喀琉斯跑过这100米的时候，乌龟也前进了一段距离，因此，阿喀琉斯必须要再跑过这段距离才能追上乌龟。可是当阿喀琉斯跑完这段距离的时候，乌龟又会往前移动一段距离。因此，每次阿喀琉斯跑完了乌龟领先的一段距离，乌龟都会继续再领先一段距离……

总之，每次阿喀琉斯跑到之前乌龟所在的地方的时候，乌龟都又前进了一段距离，阿喀琉斯始终也追不上乌龟。这个“追赶”的过程可以一直持续下去，不管重复多少次，都是真的！因此，阿喀琉斯看上去总是越来越接近乌龟，可是永远也无法超过它。

很荒谬吧，不是吗？但是只要亲自下场验证一下就能知道，阿喀琉斯真的是分分钟就能超越乌龟。然而，芝诺的推演过程看上去很牢靠，似乎很难寻找到什么逻辑上的错误。数学家们花了很长很长的时间，才终于明白这个悖论实际上是巧妙地玩弄了“无限”的概念。假设乌龟和阿喀琉斯沿着直线跑，他们的运动轨迹可以看作欧几里得所谓的“线段”。一条线段具有一个有限的长度，尽管它是由无限个点构成的，而每个点的长度都等于0。所以，在某种程度上说， 这是一种有限中的无限。芝诺悖论切割了时间间隔，使得阿喀琉斯追赶乌龟的时间间隔变得越来越小。然而，这些无限的阶段却发生在有限的时间内，因此，当时间被突破的时候， 就没有什么能够阻挡住阿喀琉斯追上乌龟的脚步了。

毫无疑问，数学中的“无限”概念绝对是悖论产生的最大来源，然而“无限”同时也是一些最迷人的数学理论产生的摇篮。

纵观历史，数学家们与悖论之间一直保持着一种暧昧的关系。一方面，对于数学家们来说，悖论的出现代表了最严重的危机。一旦某一天，某个理论衍生出了一个悖论，那么这个理论的所有基础，也就是我们依据公理创造出来的所有定理，将纷纷倒塌。但是另一方面，悖论意味着挑战！悖论是一种非常令人兴奋的、丰富的问题来源。悖论的存在意味着有什么东西正在困扰着我们，原因是我们错误地理解了一个概念，或者错误地提出了一个定义，或者错误地选择了一个公理。因为我们太过想当然，把一个明显不是“显然”的事情当成了显然。悖论是通往冒险的邀请函，这张邀请函让我们不得不重新思考之前最熟悉的那些“理所当然”。如果没有悖论不断地怂恿着我们前进，那么我们将错过多少新想法和新理论呢？

芝诺悖论激发了关于无限和测量的新概念。说谎者悖论吸引着逻辑学家们继续追寻“真理”和“可证明性”的深层概念。甚至在今天，还有很多学者会去分析、研究那些在古希腊学者们提出的悖论中已经初露峥嵘的数学问题。

1924年，数学家斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基提出了一个悖论，今天我们称之为“巴拿赫–塔斯基悖论”，它挑战了拼图的原则性问题。该“悖论”让这个显而易见的原则看上去变成了一个重大缺陷。巴拿赫和塔斯基描绘了一个三维的拼图，然而，鉴于我们组装“碎片”的方式不同，这个三维几何体的体积也可能是不同的！我们随后会再讨论这个问题。然而，巴拿赫和塔斯基设想的“碎片”是如此奇形怪状和不规则，可以说是和古希腊几何学家们掌握的所有几何形状都没什么关系。请别担心，当“碎片”的形状是三角形、正方形或者其他经典形状的时候，拼图规则就始终是有效的。刘徽对于勾股定理的证明过程仍然成立。

但这可以看作给我们的“教训”！让我们对那些“显而易见”持怀疑态度吧，让我们为这个由古希腊学者们打开的数学世界中存在的种种谜团感到惊喜和讶异吧。