数学思维比数学运算更重要

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2017-04-12 22:17

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来源：无穷小的博客

编辑：Gemini

Mathematical thinking

数学思维比数学计算更重要

数学的证明依靠严密的逻辑推理，一经证明就永远正确，所以，数学证明是绝对的。相对而言，科学的证明则依赖于观察、实验数据和理解力，科学理论的证明难以达到数学定理证明所具有的绝对程度，只能提出近似于真理的概念。因此，在思维严密的数学家眼里，物理学、化学、生物学、天文学等自然科学都是经验科学。林家翘先生说，应用数学家要将数学的严密和精确引入经验学科，将这些学科中的实验问题归结或表示为能够用运算手段处理的数学问题，从而促进经验科学的发展。

过去的经验告诉我们，所有的科学问题在本质上都是简单而有序的。物理学所有的定理都可以用数学公式在一张纸上表示出来，而与此同时，人类的智慧又坚持用简单的概念阐明科学的基本问题，这样做，数学就是一个基本的方法。

应用数学是利用数学的方法来发展经验科学的学科。应用数学始于经验性事实，止于对经验性事实进行规律性预测，这些规律还必须被其它的实验数据所证实。同时，用数学理论来发展经验科学往往又会向数学提出深刻的挑战，并对纯数学的研究启示新的方向。

近代应用数学发端于英国，牛顿是应用数学的鼻祖。为了解释观察到的大量天体运行的资料，解释天体运行的基本规律（开普勒三大定律），牛顿建立起天体运行的数学模型，提出了划时代的三大力学定律和万有引力定律。但是，力学定律的内涵超越了那个时代传统数学的范围，牛顿不得不开拓新的领域，发明了微积分，然后再用微积分、力学定律和万有引力，求得了行星运行的规律。在19世纪末的英国，所有的理论物理被称为应用数学。我在加州理工学院的博士导师冯?卡门也是一位应用数学的实践者和倡导者，他坚信自然界具有数学的本质，并用他毕生的经历从那些光凭经验无法澄清的混沌领域中寻求数学解答。冯?卡门的导师是德国哥丁根大学应用物理系主任、有"空气动力学之父"称号的普朗特尔教授，他最大的贡献是阐明了飞机为什么会飞。他的一个科学准则是"概括法"，即从一个复杂的物理过程中（无论是机器运行还是河水流动）概括出关键的物理因素，然后再用数学进行分析。

冯诺依曼是20世纪最伟大的纯粹数学家和应用数学家，在他发表的150篇论文中，60篇研究的是纯粹数学，60篇研究的是应用数学，包括统计学和博弈论，那篇著名的会客室博弈论文就是他在20岁那年完成的。他和莫根施特恩合作的《博弈论与经济行为》在1944年出版，在这部著作中他们将数学科学的逻辑语言，尤其是集合论与组合数学方法，应用到社会理论的改革过程中，将经济学置于严谨的数学基础上。评论员赫维茨认为"只要再有10部这样的著作，经济学的未来就有保障了"。学生们将这本书称为"那部《圣经》"。冯?诺依曼勇敢无畏地走出数学领域，他应用相似的方法解决不同的问题的成功经历，激励着年轻的天才竞相仿效，约翰?福布斯?纳什就是其中一位。纳什证明的均衡定理推广了冯?诺依曼定理，成功地打开了将博弈论应用到经济学、政治学、社会学及至进化生物学的大门。纳什也因博弈论定理的证明获得了1994年的诺贝尔经济学奖。这是应用数学发展经济科学的最新例证。

二次世界大战极大地推动了应用数学的独立发展，取得了蔚为壮观的成就。这场战争引起了一系列科学和技术的竞争，并在战后的年代里，在航空航天、通讯、控制、管理、设计和试验等方面，让人们感受到数学崭新的力量。20世纪数学的成就，可归入数学史上最深刻的成就之列，应用数学和计算机科学成为科学技术取得重大进步的重要因素，它奠定了现代科学和工业技术时代发展的基础。

上帝造物都很简单，所有的问题都可以用数学公式来表达，这是应用数学家们的一个信仰。

数学思维比数学运算更重要

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