只有一个人能看懂的证明：他或用500页天书开启了数学革命

撰文 | 达维德·卡斯泰尔韦基（Davide Castelvecchi）

翻译 | 方弦

编辑 | 韩晶晶

在2012年8月30日早上的某个时刻，望月新一（Shinichi Mochizuki）悄悄地将四篇论文挂到了他的网站上。

这些论文篇幅很长——总计超过500页，其中塞满了符号，是他10年来孤身奋战的成果，可能会在学界激起轩然大波。在这些论文中， 望月新一宣称解决了ABC猜想，一个在数论中有着27年历史，却令其他数学家望洋兴叹的问题 。他的证明如果正确，将会成为本世纪内最惊人的数学成就之一，也会在整数方程的研究中掀起一场彻底的变革。

但望月新一并未大肆宣扬他的证明。在日本京都大学的数理解析研究所（RIMS）工作的这位备受尊重的数学家，竟然没有向世界各地的同行宣布他的研究，只是将论文放到网上，等着全世界发现。

第一个注意到这些论文的人可能是玉川安骑男（Akio Tamagawa），他是望月新一在数理解析研究所的同事。与其他研究者一样，他早就知道望月新一已经在这个猜想上奋斗多年，正在进行收尾的工作。就在那天，玉川教授用电子邮件将这个新闻告知了他的合作者之一，英国诺丁汉大学的数论学家伊万·费先科（Ivan Fesenko）。费先科立刻下载了那些论文，开始研读。但他很快就变得“充满困惑”，他说：“理解它们是不可能的。”

费先科用电子邮件联系了望月新一所在的算术几何领域的几位专家，有关证明的传闻就此不胫而走。仅仅数天，数学博客与在线论坛中就已经议论纷纷。但对于许多研究者而言，一开始的欢欣鼓舞很快变成了怀疑。每个人——甚至是那些专业领域与望月新一相近的研究者——都与费先科一样被这些论文搞得一头雾水。为了完成证明，望月新一在他的学科中创造了一门新的分支，即使以纯数学的标准来看，这门分支也有着惊人的抽象性。“看着它，你会感觉有点像在读一篇来自未来的论文，或者说来自外太空。”在论文发布的几天后，威斯康星大学麦迪逊分校的数论学家乔丹·埃伦贝格（Jordan Ellenberg）在他的博客上这样写道。

时间已经过去五年，望月新一证明的正确性仍然悬而未决——在更广泛的数学圈子内，它未被否定，也未被接受。望月新一估计，一名数学研究生大概需要10年才能理解他的工作，而费先科则相信，即使是算术几何的专家也需要大概500个小时才能理解。

望月新一本人令这个谜团更加费解。在很长一段时间内，他只在日本用日语讲述过他的工作，尽管他能说一口流利的英语，他还是拒绝了在其他地方做报告的邀请。他不与记者交流；为了这篇报道，记者曾数次提出采访要求，也都没有得到回复。望月新一曾经回复其他数学家的电子邮件，也乐于与来访的同行交流，但他的公开意见只有他网站上的寥寥几篇文章。在2014年12月，他写道，要想明白他的工作，“需要研究者关掉那些多年来装在脑中并且习以为常的思考模式”。在比利时安特卫普大学的数学家利芬·勒·布勒因（Lieven Le Bruyn）看来，望月新一的态度令人感觉有些目中无人。“不知道是我搞错了，”他在博客上这样写道，“还是望月新一真的对着数学界竖起了中指。”

现在，这个状况似乎正在得到改善。在2015年12月，关于这个证明的研讨会，首次在亚洲以外（英国牛津 ） 举行。望月新一没有亲自到场，但他通过Skype连线，解答了来自研讨会的问题。组织者希望这次讨论能促使更多的数学家投入时间去熟悉望月新一的想法——这可能会使天平的指针倾向望月新一。

2016年7月，研讨会在 望月新一任职的 京都大学数理解析研究所举行，在数十位数学家面前， 望月新一首次现场讲解他的工作，并展示了他的研究材料。

在一次关于证明验证的报告中，望月新一写道，他的理论在算术几何界内的状况“构成了一个忠实反映纯数学在人类社会中所处状况的微缩模型”。他向自己所在的领域介绍自己的抽象工作时遇到的困难，正如数学家作为一个群体，向更广大的群众介绍他们的工作时所遇到的挑战一样。

ABC猜想与形如a + b = c的数值表达式有关。它的陈述有几个略有不同的版本，但都是关于那些能够整除a、b和c这三个数之一的质数。质数就是那些不能被分解为更小整数的整数，而每个正整数都能唯一地表达为质数的乘积：例如，15 = 3 × 5；84 = 2 × 2 × 3 × 7。从原则上说，a和b的质因子与它们的和c的质因子毫无瓜葛。但ABC猜想将它们联系在了一起。粗略地说， 这个猜想认为，如果a和b能分解为许多小的质数，那么c就只能分解为寥寥可数的几个大质数。 （译者注：实际上还有a、b、c互质的要求。）

1985年，法国数学家约瑟夫·厄斯特勒（Joseph Oesterlé）在德国的一次演讲中，在对某类特殊方程的一句相当随意的评论中首次提到了这种可能性。当时戴维·马瑟（David Masser）也在听众之中，他也是一位数论学家，现在任职于瑞士巴塞尔大学。他当时就认识到这个猜想潜在的重要性，然后开始宣传它的一种推广形式。现在，这个猜想被认为是这两位数学家共同提出的，常常被称作厄斯特勒-马瑟猜想。

数年之后，美国哈佛大学的数学家诺姆·埃尔奇斯（Noam Elkies）意识到， 如果ABC猜想是正确的，它将会对整数方程研究领域产生深远的影响 ——这类方程又被称为丢番图方程（Diophantine equation），丢番图是第一位研究这类方程的古希腊数学家。

埃尔奇斯发现，对ABC猜想的证明会一下子解决一长串著名的未解丢番图方程。这是因为它能给出方程解的一个明确上界。比如说，ABC猜想也许会表明某个方程的所有解都小于100。要找到这些解，我们只需要代入从0到99的每个数，计算出到底哪些是方程的解。相对地，如果ABC猜想不成立，我们就得代入无穷个数字。

埃尔奇斯的工作表明，ABC猜想也许能超越丢番图方程研究史上最重要的突破：美国数学家路易·莫德尔（Louis Mordell）曾在1922年提出了一个猜想，认为绝大部分丢番图方程要么没有解，要么只有有限个解；而莫德尔的猜想在1983年被时年28岁的德国数学家格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）证明，他三年后因此获得菲尔兹奖——数学界中最令人向往的荣誉。但如果ABC猜想是正确的，你知道的就不仅仅是方程有多少个解，法尔廷斯说，“你能把它们全部列出来”。

在法尔廷斯解决莫德尔猜想后，他开始在普林斯顿大学任教，而不久之后，他与望月新一的人生道路就出现了交叉点。

望月新一于1969年出生在东京，他接受的是美国教育，因为他在幼年时就被家人带到美国。他曾在新罕布什尔州的一家私立精英高中就读，而在仅有16岁时，天赋异禀的望月新一就成为了普林斯顿大学数学系的本科生。很快，他就因为他的原创思维成为传奇人物，直接进入了博士阶段的学习。

认识望月新一的人把他描述成一个按部就班的人，他的专注就像是超能力。“从还是学生的时候开始，他一起来就马上工作。”金明迥（Minhyong Kim）说，他是英国牛津大学的数学家，早在普林斯顿的时期就已经认识望月新一。金明迥回忆说，当时在参加研讨会或者学术报告之后，研究人员和学生经常一起出去喝啤酒——但望月新一从来不去。“他本性并不内向，只是非常专注于他的数学。”

法尔廷斯是望月新一学士论文和博士论文的导师，他能看出望月新一的确鹤立鸡群。“很明显他是最聪明的学生之一。”他说。但做法尔廷斯的学生并不轻松。“法尔廷斯在令人生畏的程度上数一数二。”金明迥回忆说。他会抓住错误不放，而在与他谈话时，即使是最杰出的数学家也经常会紧张地清着喉咙。

法尔廷斯的研究广泛影响了美国东部沿海大学的许多年轻数论学家。他专长的领域是代数几何，自上世纪50年代起，这个领域就被亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）改造成一个高度抽象以及理论化的领域，而格罗滕迪克常常被称为20世纪最伟大的数学家。“与格罗滕迪克相比，”金明迥说，“法尔廷斯对哲学式的探究没有多少耐心。”他做数学的风格需要“许多抽象的背景知识——但同时倾向于以解决具体问题为目标。望月新一在ABC猜想上的工作正是如此”。