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灵机一动 | 第323期取整算式（答案）

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2017-10-14 10:22

正文

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

问题回顾

NO. 323

取整算式

当自然数 n 依次取 1，2，3，…，2017时，算式

有多少个不同的值？

（注：[x] 为取整函数，表示不超过 x 的最大自然数，即 x 的整数部分）

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分析与解答

答案：总共有1480个不同的值。

（感谢邵美悦博士为本题解法提供指导）

题友解答精选

◎题友 @飞天小猫头鹰 的解答：

由于2 3 5的公倍数为30，因此每30个数里相同数情况应该一致。不过需要注意的是在第一轮30个数理第一个数（即n=1时）没有其之前的数，而后面的各轮中的第一个数由于只比上一轮最后一个数多1，因此肯定计算后与上一轮最后一个数计算结果相同因此重复。所以观察第一轮30个数不重复的为23个，第二轮开始不重复的都只能是22个数，所以2017一共是67组30个数加剩下的7个数（剩下7个数不重复的个数为5），所以总的不重复数是23+22*66+5=1480个。

◎题友 @易小龙 的解答：

[n/2],[n/3],[n/5]都是关于n的单调不减函数，所以若[n/2]+[n/3]+[n/5]=[m/2]+[m/3]+[m/5],(m>n)，必有[n/2]=[m/2],[n/3]=[m/3],[n/5]=[m/5]，此时必有m=n+1，且m不能是2,3,5的倍数，对应的m有2017-1-[2017/2]-[2017/3]-[2017/5]+[2017/6]+[2017/10]+[2017/15]-[2017/30]=537个,所以共有2017-537=1480个不同的结果。

◎题友 @炯的解答：

显然，当且仅当同时不能被2/3/5整除，所得到的结果与上一个自然数得到结果相同。这样自然数mod 30的可能有1/7/11/13/17/19/23/29八种。2017/8=67 mod 7，所以共有67*8 +2=538个这样的数，考虑到1为首数并不得到重复结果，所有结果数量为2017-538+1=1480种。

◎题友 @miao