数学史上最著名的涂鸦

这是数学史上最著名的涂鸦，虽然它看起来“平平无奇”，但它却改变了数学家表示信息的方式，并使得无数的技术应用得以变得更加简单。那么，这个著名的涂鸦是什么意思呢？

都柏林皇家运河上的布鲁姆桥上的一块牌匾，纪念了哈密顿的灵光一闪。（图/William Murphy / Flickr, CC BY）

旋转的物体

哈密顿试图解决的数学问题是，如何在 三维空间 中表示不同 方向 之间的关系。我们对方向并不陌生，它在描述力或速度等物理量时至关重要，但哈密顿感兴趣的是有关 三维旋转 的问题。

数学家已经知道如何用坐标 （如x、y、z） 来表示物体的位置，但想要知道当这些物体在旋转时坐标发生了什么变化，就需要运用复杂的球几何。哈密顿想要一种更简单的方法。

他的灵感源自于一种表示 二维旋转 的方法，这种方法涉及到 复数 。复数是由一个 实部 和一个 虚部 构成的， 虚部是虚数 i 的倍数，即“-1的平方根” 。

到19世纪初，包括 阿尔冈 （Jean Argand） 和 沃伦 （John Warren） 在内的几位数学家发现，复数可以用平面上的一个点来表示。沃伦还证明，要在这个复平面上将一条直线旋转90°，在数学上是很容易办到的，因为这是当一个数乘以 i 的结果。

当把一个复数表示为复平面上的一个点时，将这个数字乘以 i ，就相当于将相应的直线逆时针旋转90°。

复数与几何之间的这种关联给了哈密顿启发，他开始尝试在三维空间中对其进行研究。他想象了一个三维复平面，沿着第二个虚数 j 的方向是第二个虚轴，这个虚轴垂直于另外两个轴。

他花了好几个月的时间才意识到，如果他想把二维旋转中的“ i 乘法”扩展，那么 他需要 具有第三个虚数 k 的 四维复数 。

在这个四维数学空间中，k轴垂直于其他三个轴。而且 k ²= -1，并且根据定义， k = ij = -ji 。结合这两个方程，就能得到 ijk = -1。

把所有这些都结合在一起，就能得到关键的 i ² = j ²= k ²= ijk = -1！ 这个启示就像一道闪电，击中了布鲁姆桥上的哈密顿。

四元数和向量

哈密顿把他的四维数称为“ 四元数 ”，并用它们来计算三维空间中的几何旋转。这也是今天人们用来移动机器人，以及定位卫星的旋转方式。但是大多数“奇妙的用途”只在仅考虑四元数的虚部时才会出现。这就是哈密顿所说的“ 向量 ”。

一个向量可以同时编码两种信息，最著名的是如力、速度，或相对位置这类空间量的 大小和方向 。例如，为了表示一个物体相对于“原点” （数轴上的零点） 的位置 （x, y, z） ， 哈密顿使用了一个从原点指向物体位置的箭头来表示。这个箭头表示位置向量：x i + y j + z k 。这个向量的“分量”是数字x、y、z，也就是箭头沿着三个数轴中的每一个延伸的距离。

向量 r 就像从点O到坐标（x, y, z）的箭头。

半个世纪后，英国电报员亥维赛 （Oliver Heaviside） 帮助开创了现代向量分析，他用实单位向量 i 、 j 、 k 取代了哈密顿的虚单位向量 i、j、k 。但无论在哪种情况下，向量的分量都保持不变，因此箭头和向量乘法的运算法则也保持不变。

哈密顿定义了两种向量相乘的方法：一个产生的是数字，即所谓的 标量积 或 点积 ；另一个产生的是向量，即所谓的 向量积 或 叉积 。如今，这些乘法在许多应用中都存在，例如支撑我们所有电子设备的电磁学方程。

一个数学对象

但哈密顿不知道的是，其实在三年前，法国数学家 罗德里格 （Olinde Rodrigues） 就在关于旋转的研究中，提出了这些乘积的一个版本。但把罗德里格的乘法称为向量的乘积是后见之明。而哈密顿是那个把这些分开的分量结合成一个单独的向量的人。

其他人，从牛顿到罗德里格，都没能发展出一个单一的数学对象来统一地描述位置或力的分量。值得一提的是，还有 一个人也有类似的想法，那就是自学成才的德国数学家—— 格拉斯曼 （Hermann Grassmann） ，他独立地发展出了一个不那么直观的向量系统。

哈密顿还发展了一套简洁的符号来使他的方程更简明优雅。他用希腊字母来表示四元数或向量， 但在亥维赛之后，人们通常使用粗体的拉丁字母来表示。 哈密顿的这种紧凑的符号改变了数学家在三维空间中表示物理量的方式。比如 麦克斯韦 （James Clerk Maxwell） 的电磁学方程就是很典型的例子。

仅用少数几个符号，就展示了电场向量( E )在空间中的传播会如何受磁场向量( B )的影响。

如果没有向量符号，这样一个短短的公式将要被写成三个独立的方程 （每个代表 B 和 E 的每个分量） ，每一个都是一堆坐标、乘法和减法。

上述方程的展开形式。

毅力的力量

之所以选择麦克斯韦的一个方程作为例子，是因为麦克斯韦是第一个认识到这种简洁的向量符号拥有巨大潜力的主流物理学家。但可惜的是，哈密顿并没能活着看到麦克斯韦的支持。

不过， 在面对主流的排斥时，哈密顿表现出了惊人的毅力。他希望终有一天，他的发现会被感激，这种愿望并非出自于虚荣心，而是他预见了一些可能的运用前景。

如果他知道向量在今天被如此广泛地使用，而且它们既可以表示数字信息，也可以表示物理信息，他应该会欣喜若狂。并且他会尤为高兴在旋转编程中，四元数仍然是最好的选择。