本文转载自微信公众号：豆妈笔记
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最近，豆豆小朋友开始学习加减法进退位了。恩，是的，我们才开始学习进退位，在同龄小朋友当中大概属于中等偏慢的进度。
但很开心的是，我并没有费太大力气讲，小朋友自己就领悟了。我说的领悟，是指小朋友不仅理解，而且自己用起来了。比如在讲进位的时候，我只举了
15
以内的加法，玩骰子练习的时候选的也是
8
面骰子，但是在留给他的小小挑战中，我先后写过
18+4
，
11+17
，
17+23
，
34+27，
小朋友都算对了，还兴致勃勃地当了几次小老师，教了我一番：）
顺利取得阶段性胜利后，豆豆妈咪总结一些心得和大家分享哈。
豆豆学习进退位看起来很轻松，但其实我们为这个水到渠成做了很多准备。我觉得小朋友要真正领会加减法的进退位，需要明白
两个核心概念和思想：数位、满十进一
；以及
熟练掌握操作层面的两项技能：凑十、数字拆分
。
事实上，主流刷题书和部分培训机构都非常强调后两项技能，也就是凑十和数字拆分。当然，它们在帮助小朋友提高计算速度上起到很大的作用。但
加减法进退位真正的核心思想，却是数位和进制
。掌握了这两个核心概念和思想，小朋友才会举一反三。
数位
首先要明确一下，什么是数位。
数位，就是一个数的每个数字所占的位置。数位顺序从右边算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”。
有些小朋友刚开始接触两位数的时候，会把
21
写成
201
，就是没有理解数位的含义；还有的小朋友不理解为什么
1
有的时候表示
1
，有的时候可以代表
10
，其实也是一样的问题。
当然，给小朋友介绍数位的时候，不能直接照读上面这段解释，需要变换一种讲法。豆豆妈咪是这么和小朋友讲的，给大家一个参考哈。
我告诉豆豆，很早以前的古人，他们还没有发明数字，就用画竖线的方法来计数，一根竖线表示
1
。但是后来数量越来越大了，用这个方法不方便了，他们就用一个圆圈代表
10
。比如下面这个图，就表示
12
。
我又画了一个图，问豆豆，这是几呢？
豆豆说，“
10
、
20
、
30
，这是
33
！”
“对呢！”我告诉他，然后又画了一个图，“那这个是几呢？”
豆豆看了一会儿说，“好像还是
33
？”
我笑着点点头，又画了一个。
“还是
33
嘛！”这下小朋友自信多了。
然后，我又告诉他，后来他们计的数量越来越多了，画圆圈也不方便了，就新造了一个图案方块，一个方块表示
100
。比如这个，就表示
231
。
百位也和十位一样，颠来倒去画了几个图，其实代表同一个数字。
“你觉得那个时候的计数，方块画在哪个位置有关系么？”
“没有”
“对，最早以前，计数只和图案有关，和图案在哪个位置是没有关系的。后来需要记录的数字越来越大，用图案的方法就越来越不方便了。这时候另外一些聪明的人发明了
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
0
这
10
个数字，计数一下子简单多了，更关键的是，超过
10
的部分，他们也没有新创造图案或者其他数字，而是把位置这个信息利用起来，就是说，
同样一个
1
，它站在从右边数第一个位置和第二个位置，含义就不一样了
。”
这就是我最想让豆豆明白的，在现在的计数法中，
位置是包含信息的
，同样一个数字，站在不同的位置，含义是不一样的。
要加强小朋友的数位感，豆豆妈咪推荐的教具是
百数板
。
这个就是百数板，1~100的连续数板，是蒙氏教具的一种
满十进一
“满十进一”更科学的名字应该是“十进制”，但是我觉得前者更加亲切一点。
在教小朋友进退位的具体操作之前，除了“数位”，还有一个重要的概念就是“
进制
”。引入进制，并不是说要让小朋友记住这个名词，而是要明白它背后的思想，因为明白了这个思想，小朋友理解进退位就很容易了。
引入“满十进一”的最初，是豆豆向我抛了一个问题，“为什么是满十进一，满八进一可以吗？满二十进一可以吗？”
我觉得这是一个很好的问题！于是和豆豆一起做了一个游戏。
我们最近在看《揭秘古埃及》这本书，其中的一个画面是这样，岸上的帐篷下，坐着三个记录员，他们的工作是记下当天运到港口的所有货物的清单。
我提议，“豆豆，你来当这个记录员吧。假设古埃及人开着商船，每隔一段时间会运一批砖头过来，放在仓库里；过几天又要从仓库里取出一些，运到别的城市去。你就负责记录仓库里有多少块转。”
我用围棋棋子当砖，抓了一些给豆豆。豆豆开始清点，他的方法是数一个往旁边拨一个，数完之后一堆棋子挪了个地方，不过还是一堆。
“一共有
54
块砖。”豆豆报出了数字。
“好的。第二天，他们运走了
9
块，仓库里还有多少块砖？”我故意说了个豆豆肯定心算不出来的数字，然后拿走了
9
个棋子。
小朋友又开始数起来，方法同上。“现在有
45
块。”
“好的。后来他们又运来了
12
块”我又数了
12
个棋子给豆豆，“现在仓库里有多少砖了？”
“我不数了，一点也不好玩！”豆豆开始抗议，我就在暗暗发笑。反正我的策略就是要数到他不耐烦为止。
