该定量时就定量 2 -- 说说微观经济学中的成本函数曲线

正文

学习微观经济学的时候，成本函数那章，图很多。每次看书的时候，都觉得很简单，但一旦过了一周，强迫自己强制把几条成本函数曲线画出来，却很容易画错。

关于这个图，书上讲到：MC曲线与AC曲线的交点在AC曲线的最低点上，MC曲线与AVC曲线的交点也在AVC曲线的最低点上。

但为什么MC/AC/AVC曲线都是U形的，同时MC与AC/AVC相交于最低点呢？

下面，让我们用数学方法去证明一下。首先，我们假设有一总成本函数（δ为总固定成本）：

而总变动成本为

这时我们可以画出两者曲线：

可以看出，总固定成本是一条平行于横轴的直线，即FC=δ。总变动成本曲线VC先以递减的速率增加，再以递增的速率增加。这时因为TC的一阶导数为二次函数，先减后增。将VC平移δ个单位得到总成本函数曲线TC。

我们来看一下MC/AC/AVC的公式：

因为AVC/MC都是二次函数，而二次函数的图形为U形。AC拖了个尾巴δ/Q，但图形近似二次函数。

下面我们来判断MC与AC/AVC相交的点是否是是AVC的最低点。有两种方法：

方法一： 我们使AVC=MC，可得2αQ^2+βQ=0，求得Q=-β/2α。而AVC的最低点为导数为0对应的点，也即2αQ+β=0，解出来也是Q=-β/2α。这时我们可以确定，MC与AVC相交于AVC曲线的最低点。

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