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为什么拉小提琴像锯木头？这事得问问物理学家

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2024-09-17 11:29

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当你拨动吉他的弦试图演奏某个音符时，通常很难出错。这并不是说初学者总能轻松地正确演奏吉他，而是当以某种确定的方式拨动琴弦时，总会发出符合预期音调的旋律，听起来相当悦耳。然而，当初学者尝试拉小提琴时，情况就变得更复杂了。 当弓看似以规定的方式拉动琴弦，弦却可能会发出刺耳的哨声、尖叫声或吱呀声，而不是预期中的声音 。这种（折磨众多初学者的）差异源于 拨弦和拉弦背后不同的物理原理 。

线性与非线性：拨弦与拉弦的区别

研究发现，类似于吉他演奏的各种 拨弦过程 可以用 线性系统理论 来描述。线性系统的基本特征是， 如果你能找到控制方程的两个不同解，那么这两个解的和也是一个解 。在振动问题中，这个结论可以直接解释很多物理现象。

弦振动的前几个振动模（动图1）

振动的物体（例如受扰动的绷紧琴弦）具有特定的 共振频率 ，每个共振频率对应一种特定的 振动模式（振动模） 。这些振动模式就是琴弦调音时所对应的音符的“基音”和“谐音”。如果琴弦以其中一种振动模式开始振动，它将保持相应的共振频率，同时随着能量以声音和热量的形式散失，振动模式的振幅会逐渐衰减。

包含三个振动模的一次琴弦振动(动图2)

如果琴弦的初始振动中包含多个振动模，线性原则就会发挥作用 。每个振动模以各自的频率独立振动，发出的声音（振动机械波）是 各振动模的线性叠加 。通过在不同位置拨动琴弦（例如，在琴颈或靠近琴马的地方）或使用不同的拨片，吉他演奏者可以轻松地以不同的线性叠加方式混合不同的振动模式，同时确保振动所产生的共振频率组合始终相同。从音乐的角度来看，听众听到的音高保持一致，但音质会有所变化。

用弓拉弦则有所不同 。只要以固定的幅度持续拉动琴弦，小提琴就可以持续发出一个音符，保持琴弦的振幅。尽管能量会以声音和热量的形式散失，但弓会以恰当的速度提供额外的能量来补偿此损失。在这种情况下， 琴弦的振动满足非线性系统的特征 ，对于这种系统，不能按照前文提到的方式将不同振动模式的贡献进行线性叠加。非线性系统的理论更加复杂，可能会导致难以理解的结果和混乱的行为。 拉小提琴时，可能会听到悠扬的琴声，也可能听到刺耳的杂音 ，这就是非线性系统复杂行为的一个例子。这个结论同样适用于其他能够持续发音的乐器，如 木管乐器和铜管乐器 。

拉弓时弦的运动

那么， 小提琴的弦是如何振动的呢？ 140年前，赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）首次回答了这个问题。当小提琴演奏出正常的声音时，可以观察到琴弦的振动。从肉眼来看，琴弦似乎以 抛物线 的形状来回移动，这看起来很像波动的绷紧琴弦所产生的第一个自由振动模。

肉眼上看，弦以一个类似抛物线的形状振动

然而，经过仔细观察，亥姆霍兹发现琴弦的运动方式非常出乎意料： 琴弦实际上呈现“V”形的运动 ，即振动的琴弦被划分为两个直线部分，它们在一个尖角处相交。我们用肉眼看到的琴弦运动轮廓呈弯曲状（抛物线），是因为这个尖角沿着这条曲线来回移动。因此， 我们通常只能看到琴弦运动的轮廓或“包络 ” 。

慢速下观察，琴弦其实是以V形状在振动

此运动称为 亥姆霍兹运动 ，如以下动画所示：

亥姆霍兹运动(动图3)

折线V 的顶角处沿着琴弦来回移动，称为 亥姆霍兹角 。每当亥姆霍兹角经过琴弓时，就会触发粘滞摩擦和滑动摩擦之间的转换：当亥姆霍兹角从琴弓移动到手指并返回时，琴弦会粘附在琴弓上并被拖动（此时弦与弓的运动方向相同）；当亥姆霍兹角经过弓并移向琴马时，琴弦在弓毛上滑动（朝着与琴弓相反的方向移动）。 两种摩擦力的交替作用向系统引入了非线性特征 。

如果小提琴演奏家上弓时按得不够用力，那么琴弦可能会 发生额外的振动 ，而无法产生亥姆霍兹运动，如下图所示：

双滑运动(动图4)

现在琴弦上出现了 两个V形夹角 ，并且每个振动周期内存在两个滑移。结果是弦产生的音调与亥姆霍兹运动相同，但波形的不同导致声音听起来与亥姆霍兹振动有所区别。（巧合的是，尽管人们此前并不知道这两种声音背后的物理区别，但）在西方古典小提琴家的眼中， 发出这种声音是初学者的典型错误之一 。你的小提琴老师很可能会称这种声音为“表面音”，并告诫你多加练习以避免它。通过研究亥姆霍兹运动到双滑运动的转变点，可以确定小提琴演奏时 可接受的最低弓压水平 ，即施加在琴弦上的弓压。

有一个可接受的最小弓压，同样也存在一个可接受的最大弓压 。如果弓压得太紧，小提琴可能会发出刺耳的“吱呀”声，而不是悦耳的音符。在这种情况下，琴弦的振动不再有规律，而是变成了混乱的模式。毫无疑问，这也会导致你收到小提琴老师“多加练习”的建议。

弓压并不是全部

分析最小和最大弓压的条件后，我们可以得出一些有趣的解释，说明小提琴为何很难演奏。对这两个结果进行统一分析，发现它们都 取决于琴弓在琴弦上的位置 。假设 琴弦的长度 为， 弓与琴马的距离 为，其中在正常的小提琴演奏中通常是一个相当小的数字。可以证明最大弓压与成正比，而最小弓压与成正比。，其中在正常的小提琴演奏中通常是一个相当小的数字。可以证明最大弓压与成正比，而最小弓压与成正比。结合这两个条件我们可以总结得到下面这张图，它由约翰·谢伦（John Schelleng）在 20 世纪 60 年代首次提出。为了可视化方便，我们 将弓压和弓位置在对数刻度上绘制，这样两个幂律关系就变成了直线 。它们之间的关系看起来像这样：

谢伦图（Schelleng diagram），用于长时间稳定拉弓动作

阴影楔形 显示了可以实现亥姆霍兹运动的区域。在该区域之外，琴弦会陷入两种典型错误振动之一。显然，如果弓远离琴马，更容易产生亥姆霍兹运动：如果琴弓离琴马太近，最大弓压和最小弓压会非常接近，导致几乎无法实现亥姆霍兹运动。

对于小提琴初学者来说，这幅图揭示了一些重要信息。当初学者尝试演奏时，他们的脑海里往往充满了各种事情： 既要控制琴弓以触碰正确的琴弦，又要移动左手以弹奏正确的音符 ，还有许多其他注意事项。因此，初学者很可能忽视琴弓在琴弦上的位置，换句话说， 初学者可能会无意识地沿着谢伦图中的水平线随机移动 。此时即使不改变弓压，也可能导致弓压-弓位离开理想演奏的亥姆霍兹区域（从而使小提琴的声音听起来不那么悦耳）。

可演奏性

当然，这并不能完全解释为什么演奏小提琴需要大量练习。 谢伦图实际上只告诉我们，在长时间、稳定的拉弓过程中，如何获得理想的亥姆霍兹运动 。

但小提琴家不仅仅想以一种稳定的拉弓方式长时间演奏。出于音乐表达目的， 演奏者会使用各种不同的运弓技巧 ，例如 马特莱 （martelé，突然释放的锤击弓法）和跳音（弓从琴弦上弹起的快速分离音符）。更高级别的演奏者会关心这样的问题：“如果我以某种方式击弓，能否产生亥姆霍兹运动？需要多长时间才能建立起来？”第二个问题尤其重要，因为琴弦通常会经历一段短暂的不规则运动，这可能使声音的开头听起来刺耳。良好的运弓技巧会尽量缩短这段不规则运动的持续时间，迅速建立亥姆霍兹运动，从而发出悦耳的音符。

（但我能得到亥姆霍兹运动吗？）

这引出了乐器可演奏性的概念 。众所周知，有些小提琴比其他小提琴更加昂贵，尽管大部分小提琴看起来非常相似。是什么导致了这种差异呢？其中一个原因是乐器的“ 声音之美 ”，这很难用科学术语来解释，因为首先需要找出听众对美妙声音的定义。然而，第二个原因却更容易科学地解释，演奏者不仅对声音的质量感兴趣，无论它究竟意味着什么，他们也希望知道演奏的困难程度—— 乐器的可演奏性 。如果你观察小提琴家试奏乐器，你可能会听到这样的评论：“我不太喜欢这把琴的声音，但它演奏起来很容易”，或者“这把琴的声音不错，但很难发音（它反应很慢）”。 如果一把小提琴比另一把能更好的适应演奏，也就是 它能更稳定或更快地产生亥姆霍兹运动 ，那么这把小提琴很可能会受到演奏者的青睐。

模拟一把小提琴

相比于声音之美，科学家发现可演奏性问题更适合 通过拉弦的数学模型进行研究 。在过去的30年里，研究人员开发出了越来越复杂的模型。这些复杂的模型无法解析求解，但可以通过计算机进行模拟，从而了解 在特定的拉弦方式下，特定小提琴上的琴弦如何响应 。这些模型能够解释小提琴演奏中许多复杂表现背后的原因，并且已经反过来帮助探索琴弦的设计问题，即如何修改琴弦、琴弓或小提琴琴身的设计以提高可演奏性。

这些理论的另一个有趣影响是，这些模型也被直接用于 音乐制作 。随着计算机速度的提升，实时运行越来越复杂的模型变得可行，从而能够创造出“虚拟乐器”，也就是基于声学乐器的数学模型的电子乐器。一些最昂贵的音乐合成器系统采用这种方法，这就是所谓的 物理建模合成 。

考虑到小提琴弓弦振动的复杂方式，小提琴是一种难学的乐器也就不足为奇了。无论是对于刚开始学习拉弓的初学者，还是正在掌握弓法技巧的高阶演奏者，都要时刻留意 实现亥姆霍兹运动与产生不可接受的刺耳声音之间的界限 。而对于那些从未拉过小提琴的人来说，另一条路也正在成为可能： 对弓弦物理模型的研究可能最终能让他们（通过模拟的方式）演奏虚拟小提琴 。

作者： Jim Woodhouse & Paul Galluzzo

翻译： virens

审校：Meyare

原文链接： Why is the violin so hard to play?

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