公元前338年，希腊北方有一个马其顿王国逐渐强大起来，并控制了希腊。到公元前334年，马其顿国王亚历山大发动远征。十年间，便占领了东到印度，南到埃及的广大领域。这位国王为了炫耀自己的武功，便在地中海岸的尼罗河口修建了一座港口城市，取名亚里山大里亚。
亚历山大死后，马其顿王国立即一分为三。到公元前305年时，埃及托勒密王朝兴起，国王托勒密一世大力扩建城市，网罗人才，很快使这里成为当时世界上最大的都市和科学中心。城市内建有一百尺宽的马路、豪华的广场、花园、喷水池、体育场，还特别建了一个亚里山大里亚博物馆，包括图书馆、动物园、植物园、研究院等。其中的图书馆藏有希腊和东方典籍达70万卷。当年在希腊本土由毕达哥拉斯辛苦经营的学派，已经销声匿迹，而希腊和东方的许多著名科学家，像欧几里得等又都云集到这里。
这天落日的余辉刚刚消失在远处的海面，亚里山大里亚港外那座壮丽的灯塔便发出耀眼的光芒。这灯塔是古代的七大奇观之一。八根花岗石的圆柱支撑着巨大的圆顶，顶端有一座七米高的海神波赛依顿的雕像，圆顶下是一团熊熊的大火，火后立着一面大铜镜，将火光反射得加倍明亮。随着这灯塔的点燃，整个城市也闪烁起万家灯火，街道上车辆如梭，港湾里船桅如林。到剧院里去看戏的，到体育场去看角斗的人们三五成群，街上一片喧闹。
这时在离城稍远一点的海滩上，有两个人平躺在沙滩上。一个是阿基米德，也是从地中海彼岸的西西里岛来这里留学的；另一个是他的朋友，地理学家埃拉托色尼。他们在博物院里工作了一天，现在要在海边上来吹吹海风。这时潮起潮落，云开月显，凉风习习。他们仰观天象，谁也不说话，思想的翅膀已经在太空中翱翔。突然，阿基米德一骨碌翻身爬起来，手里捏着一把沙子说：“埃拉托色尼，你说这一把沙子有多少粒？”
“大概有几千、一万粒吧。”
“这一片海滩的沙子有多少粒？”
“这可说不清！”
阿基米德跳起来，双手捧起一捧沙子向天空扬去：“假如我把沙子撒开，让它塞满宇宙，把地球、月亮、太阳和金、木、水、火、土等行星统统都埋起来，一共要多少粒？”
“啊？——”埃拉托色尼也一骨碌爬起来，惊得说不出话来，半天才回答道：“不可能，不可能！亲爱的阿基米德，你怕不是疯了吧，要知道你是永远也算不出来的！”
“我就要算一个给你看看。”
“我不信。”
“好，三天后我们再在这里见面。”阿基米德说完后，两人挥手而别。
埃拉托色尼的担心不是没有道理的。当时世界上还没有发明方便的阿拉伯数字。希腊人用他们的27个字母分成三组，分别代表个、十、百、千位数，到一万就是最大的了，再大就无法表示和计算了。
可是，阿基米德这个怪人，他能想出这个怪题目，也能找到好办法。他立即找来一粒球形的橄榄核，算出它的体积等于多少粒沙子，又依次推算地球的体积、宇宙的体积等于多少枚橄榄核。当数字超过一万时，他聪明地把作万作为一个新的起点，叫第二阶单位，这样就可以依次推到很大很大。过了些日子，他已经算出这个庞大的数字：塞满宇宙需要一千万个一千万的第八阶单位粒沙子。
当然，这个数字在今天看来是不可能成立的，因为宇宙是没有边缘的。阿基米德是根据当时人们认为的宇宙半径来算的。可是这样一算，他倒是找到了一种数学新概念：“阶”。“阶”相当于后来数学上的“幂”。
第三天中午刚过，阿基米德便如约向沙滩走去。他高高的个子，一头金发，鼻略高、眼微凹、走起路来总是昂首看着远方，好像那水天之际有他正在思索的答案。他年轻、潇洒，刚毅、聪颖于一身，仿佛世界就在他的手中。当他来到沙滩时，埃拉托色尼比他来的还早，正面对大海，左手掐腰，眼睛看着海面的远处，好像在仔细地搜索着什么。奇怪，他右手还拄着一根高高的细竹竿，既不像钓鱼，也不像撑船。阿基米德悄悄走到他背后大喊一声：“我来了”！“
埃拉托尼让他这么一喊，肩膀不觉抖了一下，猛一回头，嗖地一声将竹竿平握在手中，一见是他，忙笑着说：“啊，原来是你。是来认输的吧。”
“科学无戏言。阿基米德什么时候说过假话？”接着阿基米德便将他算的结果如此这般地说了一遍。说完又得意地抓起两把沙子抛向天空：“世界在我的手中！”
不料埃拉托色尼并不以为然，他将竹竿往沙地上一插说：“你能知道宇宙装得下多少沙子，可是你知道地球周长有多少？”这一问倒把阿基米德问住了，他没想到这个比他小十二岁的朋友这样年轻气盛，今天是专和他斗法来的，便反过来将他一军：“难道你知道有多长？”
“不瞒你说，在你数沙子的时候我已经测好了。”
“啊！”阿基米德觉得新鲜极了，“你用什么办法测得的？”
“这很简单，我只用了一根三尺长的竹竿。”
“难道你用竹竿把地球量了一圈？”
“不！我就站在这里不动！”埃拉托色尼认真地讲述起来：“你知道，离亚里山大里亚5000斯塔迪姆有一个城市叫塞恩，夏至那天，阳光可以直射到井底说明光线一与塞恩城的地面垂直，而在我们亚里山大里亚的物体却有一个短短的影子。我就拿这一根竹竿在亚里山大里亚广场这么一立，就能算出这两个城市与地球球心形成的夹角，测量这两个城市之间的距离……”
“就能推出地球的周长。妙，妙！”整天研究三角、圆弧的阿基米德心有灵犀，一点就通。他不等埃拉托色尼说完就急着问：“夹角有多大？”
“7.25度”
“距离多少？”
“5000斯塔姆。”
“啊，地球周长25万斯塔姆。”阿基米德说的这个数字合4万千米，与我们近代测得的数字仅差100千米。
“阿基米德，你这个数学脑袋可真厉害啊！”
他俩都仰天大笑起来。阿基米德，尤其兴奋。他说：“我们还可以算出月亮、太阳，算出地球怎样绕太阳转，我还要制造一个天体模型，让人们亲眼看看天体怎样运动……”
正当他们高兴地大笑时，突然礁石后面跳出一个人来，大喝一声：“站住，好两个大胆的书呆子，还要不要脑袋！”
两人大吃一惊，忙回头仔细一看，原来是他们的好友，亚里山大里亚博物院的天文学家亚利斯塔克，这才松了一口气。阿基米德正要回敬他几句，亚利斯塔克暗示他不要嚷嚷。他一抬头才发现不远处还有二人在散步，其中一人叫克利安西。阿基米德不觉耸了一下肩膀，三人立即悄悄地返身离开海滩往回走去。
原来在这个世界学术中心，堂堂的亚里山大里亚博物院里，派系斗争也很激烈。刚才那个克利安西是斯多噶唯心派的领袖。如果要让克利安西知道他们三人讨论地球在绕太阳转之类的问题，是够危险的。要知道，直到阿基米德死后1000多年，布鲁诺和伽利略就是因为坚持这个学说，一个被烧死，一个被判了300年徒刑，这是后话。难怪亚利斯塔克问他们还要不要脑袋。
再说阿基米德在亚里山大里亚学习了一段时间后，顿生思乡之情，便回到了自己的祖国——西西里岛的叙拉古。叙拉古国王艾希罗和阿基米德是亲戚，见他在外留学多年，也不问学识深浅，一见面就给他出了个难题。原来一年一度的盛大祭神节就要来临了。艾希罗国王交给金匠一块纯金，命令他制出一顶非常精巧、华丽的王冠。王冠制成后，国王拿在手里掂了掂，觉得有点轻。他叫来金匠问是否掺了假。金匠以脑袋担保，并当面拿秤来秤，与原来金块的重量一两不差。可是，掺上别的东西也是可以凑足重量的。国王既不能肯定有假，又不相信金匠的誓言，于是把阿基米德找来，要他解此难题。
一连几天，阿基米德都闭门谢客，反复琢磨，因为实心的金块与镂空的王冠外形不同，不砸碎王冠铸成金块，便无法求算其体积，也就无法验证是否掺了假。他绞尽脑汁也百思不得其解。
读者有所不知，这阿基米德还有一个怪毛病，就是家里桌上有了灰尘，从不许别人擦去，以便他在上面画图计算。炉灰掏出来不让马上倒掉，他要摊在地上画个半天。因为当时并没有现在这样方便的纸笔。更奇怪的是，他常痴痴呆呆地在自己身上涂画。当时人们用一种特殊的泥团当肥皂。一天他准备洗澡，可是刚脱了上衣，就抓起一团泥皂在肚子上、胸脯上涂画起来，画了个三角又画圆，边画边思考那顶恼人的王冠。这时他的妻子走进来，一看就知道他又在犯痴，二话没说，便把他推入浴室。他一面挣扎，一面喊道：“不要湿了我的图形！不要湿了我的图形！”但是哪由分说。这厉害夫人逼阿基米德洗澡，也已经是平常事了。他还未喊完，已“扑通”一声跌入池中，夫人掩门而去。谁知这一跌倒使他的思路从那些图形的死胡同里解脱出来，他注视着池沿。原来池水很满，他身子往里一泡，那水就顺着池沿往外溢，地上的鞋子也淹在水里，他急忙探身去取。而他一起身水又立即缩回池里，这一下他连鞋也不取了，又再泡到水里，就这样一出一入，水一涨一落。再说夫人刚走出门外，正要去干别的事，忽听那水池里啪啦啪啦地响，水唰唰啦啦地在地上乱流。她停步返身，正要喊：“连澡也不会洗啊！”忽然阿基米德浑身一丝不挂，湿淋淋地冲出门来把她碰了一个趔趄，她忙伸手，滑溜溜地没有抓住。阿基米德已冲到街上，高喊着“优勒加！优勒加！（意即发现了）夫人这回可真着了急，嘴里嘟囔着“真是疯了，真疯了”，便随后也追了出去。街上的人不知发生了什么事情，也都跟在后边追着看。阿基米德头也不回地向王宫一路跑去。
原来，阿基米德由澡盆溢水联想到王冠也可以泡在水里，溢出的体积新是王冠的体积，而这体积与同等重量的金块的体积应该是相同的，否则王冠里肯定有假。就是说，同等质量的东西泡进水里而溢出的水不一样，肯定它们就是不同的物质。每一种物质和相同体积的水都有一个固定的质量比，这就是比重。直到现在，物理实验室里还有一种求比重的仪器，名字就叫“优勒加”，以纪念这一不寻常的发现。
阿基米德跑到王宫后立即找来一盆求，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里。白银溢出的水比黄金溢出的水几乎要多一倍。把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，这时金匠不得不低头承认，王冠里是掺了白银。这件事使国王对阿基米德的学问佩服至极，他立即发出布告：“以后不论阿基米德说什么话，大家都要相信。”
这烦人的王冠之谜总算解决了，阿基米德那愁锁的眉头刚刚舒展一点，可心里又结上了一个疙瘩，真是“才下眉头又上心头”，他的大脑永不肯休息。原来，这希腊是个沿海国家自古航海发达。阿基米德自从在澡盆里一泡，发现物体排出的水等于其体积后，那眼睛就整天盯住海里各种往来的货船，有时在海滩上一立就是一天。那如痴如醉的样子常引得运货的商人和水手们在他的背后指三说四。这天他和好友柯伦到海边散步，还没有走多远就停在那里。柯伦知道他又想起了什么，正要发问，突然阿基米德倒先提出一个问题：“你看，这些船为什么会浮在海上？”
“这很简单，因为它们是木头做的。”
“你是说，只有比水轻的东西才可以浮在水上吗？”
“当然只能如此。”
“可是你看那些奴隶们从船上背下来的箱子，那些金银玉器，那些刀枪兵器，哪个不比水重，为什么它们装在船上不会沉入水里？”
柯伦一时答不上来。阿基米德又说：“我要是把一艘船拆成一块块的木板，要把木板和那些货捆在一起，抛到海里，你说会不会沉到海底？”
柯伦惊得瞪大了眼睛。
“老朋友，你真的要拆一艘三桅货轮作试验吗？”他知道阿基米德搞起实验来是什么都想得出来、干得出来的。
从这天起，海滩就再也看不见这一对好友的影子。原来他们呆在家里，围着陶盆，要寻找“浮力”。阿基米德把一块木头放在水里，从陶盆排出的水正好等于木头的重量，他记了下来；又往木头上放了几块石子，再排出的水又正好等于石子的重量，他又记了下来；他把石头放到水里，用秤在水里称石头，比在空气中轻了许多，这个轻重之差正好等于石头排出的水的重量。阿基米德将手边能浸入水的物体都这样一一做过实验，终于一拍脑门，然后拿起一根鹅毛管在一张小羊皮上郑重地写下这样一句话：
“物体在液体中所受到的浮力，等于它所排干的同体积的液重。”
