灵机一动 | 第204期 尺规作图

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分析与解答

答案：满足条年的n只有n=4一个 。

首先跟大家道个歉，昨天的题图与题目不符，是题图搞错了，今天的题图更正过来了。

不过很容易知道，题图中那个式子2×5 ⁿ + 1 = x ² 是无解的，因为这要求2×5 ⁿ + 1 = (x+1)(x-1)，但右式或者被4整除或者是奇数，都不可能等于左式。（ @Leviathan ）

下面是本期问题的解答。

易知5×2ⁿ+1为奇数（n显然不可能是0），可令其为5×2ⁿ+1=(2k+1)²。展开后得5×2 ^n-2 =k（k+1）。显然k与k+1互质，由于5与2 ^n-2 也互质，故只能有3种可能：

1）k=1，k+1=5×2 ^n-2

2）k=5，k+1=2 ^n-2

3）k+1=5，k=2 ^n-2

不难发现只有情况 3）成立，即k=4符合题意，此时n=4，平方数为81。所以本题只有唯一解。（ @十二 ）

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