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接受张奠宙访问时的谈话

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2019-12-25 06:35

正文

此文首载于香港《二十一世纪》1992 年 4 月号。原题为《数学大师陈省身》。

访问者（张奠宙）的说明

1991 年我有幸访问位于加州伯克利镇小山巅上的美国国家数学研究所，因而躬逢其盛，得以参加当年十月同行为祝贺数学大师（也是创所所长）陈省身教授 80 华诞所举行的盛宴以及陈教授的答谢宴。随后，很幸运地，又获得了访问陈教授的良机。

陈省身是 20 世纪的数学大师，他在几何学上的贡献是划时代的，影响遍及数学的整体。他所得到的各种荣誉，例如数学上最高的沃尔夫 (Wolf) 奖、中央研究院院士衔、美国全国科学院院士衔、英国皇家学会以及意大利科学院二者的外籍院士衔、许多著名大学的荣誉博士衔等等，可说不胜枚举。但杨振宁以“欧高黎嘉陈”这句诗称颂他，将他与欧几里得、高斯、黎曼和嘉当这几位有史以来最伟大的几何学家相提并论，也许更能凸显他在数学史上的崇高地位。

要了解陈省身，要看清楚这么一位数学界的伟人，也许我们应该先从他那个时代的数学界看起。

1900 年前后，世界数坛由法国与德国争雄。法国数学以庞加莱为代表，研究三体问题、微分方程定性理论、组合拓扑学以及测度理论等，极一时之盛。然而，德国因为大学不集中，发展更为蓬勃。德国的领袖数学家，当推希尔伯特。后起的外尔、诺特、冯・诺伊曼等名家，全方位地研究泛函分析、李群论、数论、曲面几何、抽象代数，数学基础与数学物理等，数学研究充满活力。那时的法国、英国、俄国等也产生了不少数学大家。但领袖地位无疑操在德国，而美国还在向欧洲派留学生学数学的阶段。

20 世纪初年，满清王朝处于风雨飘摇之中，内忧外患，使中国数学大体上只相当于 17 世纪牛顿时代的水平，落后于西方达 200 余年。1911 年辛亥革命之后，中国开始现代数学的征途。由于美国退回庚子赔款的关系，中国的第一个数学博士胡明复，于 1917 年毕业于哈佛大学；次年，中国第一个现代几何学家姜立夫自哈佛大学取得博士学位；1928 年，杨武之和孙光远以数论和几何研究同时从芝加哥大学取得博士学位。因此，美国对中国数学影响深远。30 年代中国留德数学生中，杰出者有曾炯之等。惜曾不久去世，未能在中国发挥作用。

进入 30 年代之后，德国数学由于希特勒法西斯上台而日见式微，大批犹太血统数学名家流向美国。二次大战前后，美国遂成为世界数学中心。不过，30 年代的微分几何学研究，则仍以德、法两国领先。在函数论王国的巴黎，有一个光辉的例外，那就是“超越时代＂的嘉当，他的工作当时很少人看得懂，后来却成为几何研究的出发点。在德国，汉堡大学的布拉施克则是几何学的代表人物。

陈省身生于辛亥革命那年，15 岁便到姜立夫主持的南开大学数学系就读，1930 年转到清华大学，其后跟孙光远研修微分几何，尽得国内名师传授。他 1934 年赴德国汉堡，两年后在布拉施克指导下获博士学位；1936-1937 年，又到巴黎接受嘉当的指导。在两位大师熏陶下，他迅即达到微分几何研究的前沿，成果累累。30 年代前后，代数拓扑学兴起。这是研究整体性质的有力工具，对 20 世纪后期的数学发展有决定性影响。当时能注意、理解和运用拓扑学的数学家很少，陈省身是其中杰出的一个。

1943 年，第二次世界大战正酣。陈省身应美国数学界领袖维布伦之邀，到美国普林斯顿高级研究所。此后两年间，他完成了一生中最重要的工作：证明高维的高斯－博内公式，构造了现今普遍使用的陈示性类，为整体微分几何奠定了基础。

陈省身在二次大战后回到中国，主持中央研究院的数学研究所。后来再度赴美，成为美国微分几何学派的领袖人物。本来，分析学一向是数学的主体，微分几何只是微积分在几何上的应用。但爱因斯坦广义相对论和杨（振宁）－米尔斯规范场论的推动，以及整体微分几何的形成，使得微分几何成为当代核心数学发展的主流学科，反过来影响分析学的发展。二次大战以后的数学，从线性数学转到非线性数学，从局部性质研究过渡到整体性质研究，从现实空间发展到研究一般的维流形。微分几何恰好顺应了这一发展趋势。正因如此，陈省身“由于对整体微分几何学的杰出贡献，而对数学整体产生深远影响”而获得“沃尔夫奖”。（见沃尔夫基金会公告原文：“for oulstanding contributions to global differential geometry, which have profoundly influenced all mathematics...”）

陈省身虽是饮誉世界的大数学家，他的生平却平淡无奇。这儿没有硝烟弥漫的战场，没有引人入胜的侦探故事，没有如火如荼的政治事件，更没有五彩缤纷的感情世界。他所拥有的，只是令人目眩的数学天地。然而，我们可以看到，他选择了最有意义的研究方向，得到了举世最好数学导师的教育，因而能顺应 20 世纪数学中心转移的历史脚步，把握最佳的工作机会。这里当然有“机会”、“幸运＂的因素。但我们仔细分析，就会看到一位执着追求理想，才华横溢，有充实人生的数学家和哲人。

陈省身的访问谈话

1991 年 10 月 28 日，张奠宙来到数学研究所三楼陈先生的办公室，对着窗外的金门大桥和旧金山海湾，开始了和这位数学大师的谈话。

格丁根、汉堡和巴黎

张：第二次大战以后的几十年中，微分几何学一直居于数学发展的主流地位，可算是当今的一个“热门”课题。请问您当初为什么选读几何学？

陈：说到“热门”，我倒是从不赶时髦的。我进入几何领域，可说完全由环境决定。我进南开碰到了姜立夫先生，他是研究几何的；毕业后，又遇到孙光远先生，他也是研究几何的，这就决定我走上微分几何的道路。如果单论个人兴趣，我也许更喜欢代数。

张：在 30 年代，微分几何是不是“热门”?

陈：不见得。分析一向是数学的主流。那时德国的格丁根学派有库朗的分析，E．诺特的代数。英国有哈代和李特尔伍德的函数论、解析数论学派，法国的皮卡、勒贝格和蒙泰尔等名家主导的函数论研究仍然强盛，希尔伯特和巴拿赫等倡导的泛函分析相当流行。虽说黎曼几何学得到广义相对论的推动，但毕竟是“阳春白雪”，少人唱和，并非“热门”。

张：二次大战以前的世界数学中心在德国的格丁根，您为何不去格丁根“朝圣”，反而去了汉堡？

陈：我觉得选择工作地点应该以自己的计划为主，至于见大人物，虽可供谈助，但和学问实不相干。当然，有大人物的数学中心，人才集中，气氛和环境与一般地方是不一样的。

我去汉堡，首先是因为布拉施克来华讲学，他讲的内容我都懂（差不多同时，美国的 G.D．伯克霍夫也来讲学，我却听不懂），因而可以进一步讨论。其次，我读过汉堡大学的《学报》上面的论文，引起很大兴趣。所以，我就去了汉堡。

张：那时的格丁根有没有很强的几何学家？

陈：有。如科－福桑；还有赫格洛茨，他是一个很伟大的数学家，搞的方向很广，也研究几何，刚体几何中就有赫格洛茨定理。不过，我还是觉得去汉堡较合适。

张：在汉堡，你获益很多吗？

陈：当然。除布拉施克之外，E．阿廷和赫克都是非常强的数学家。年资较浅的还有 E. 凯勒、H. 彼得森、H. 察森豪斯等，其中凯勒对我帮助很多。

还记得 1934~1935 年间，我的主要精力花在凯勒的讨论班上。讨论的内容以一本著名的小册子《微分方程组引论》为主，那就是后来有名的嘉当－凯勒定理。讨论班的第一天济济一堂，布拉施克、阿廷和赫克等都到场，但以后参加者愈来愈少，我是坚持到最后极少数人中的一个。将凯勒的理论用于网几何，再加上先前的一些结果，就构成了我的博士论文。我做学问，不赶热闹，有自己的想法，只选择最适合自己的工作去做。

张：在 30 年代，许多留学生一旦得了博士，便不再做研究了。您却到大数学家嘉当那里做“博士后”，显示您在事业上雄心勃勃。

陈：我读数学没有什么雄心。我只是想懂得数学。如果一个人的目的是名利，数学不是一条捷径。当时，最好的几何学家是嘉当，但在 30 年代，嘉当的工作很少人理解，被认为“超越时代”。我为嘉当的博学精深倾倒，遂于 1936 年 10 月到巴黎，在那里逗留了 10 个月。

话说回来，做研究实在是吃力而不一定讨好的事，所以学业告一段落便不再继续那是自然现象，中外皆然。在巴黎的庞加莱研究所，有整架的精装博士论文陈列，但大部分作者都已经不知去向了。长期钻研数学是一件辛苦的事。何以有人愿意这样做，有很多原因。对我来说，主要是这种活动给我满足。杨武之先生赠诗予我说“独步遥登百丈台”，实道出一种心境。我平生写了很多文章，甘苦自知，不是一言可尽的。

张：据说嘉当的工作很难懂，但您却把他的思想方法彻底掌握了，这可能是您成功的重要一步。

陈：是的。嘉当的主要工作是两方面：李群和外微分。这是研究微分几何强有力的新工具。要做“最好”的数学不掌握它不行。嘉当老是给我一些他所说的“小＂题目，我回去研究，就变成了一篇篇的论文。也许因为我对他的指导总是有反应，他破例准许我到他家里访问，约每两周一次。谈完后第二天，还常会收到他的信，补充前一天的谈话内容。这些交往，使我理解了当时“最好”的几何学。

张：现在，大家都能理解嘉当的思想了吗？

陈：不一定。他的许多工作，即使到今天，也未见得被人普遍接受。我甚至说过，现在的许多微分几何学书籍都写得不好，他们总是从

这样的关系式出发，推演整个微分几何。其实，嘉当的方法还要考虑到联络 , 曲率这样两重关系。光是从上式出发，得不到许多好结果；倘若用我对嘉当的理解，则可以很容易得到。这一点我曾经提出过，但许多人仍旧不改。这倒也不错，我可以保留一种“秘密武器”，你们做不出的结果，我可以作出来，聊胜一筹。之所以发生这类情形，乃是因为几何是用代数控制的，不同的代数手段，会产生不同的几何结果。

普林斯顿和整体微分几何

张：那么，“整体微分几何“应是您想做的“最好”的数学了。

陈：微分几何学趋向整体是一个自然的趋势。了解了局部的性质以后，自然想知道它们的整体含义，但是意想不到的，则是有整体意义的几何现象。1943 ~ 1945 年间在普林斯顿那一段时期，我对数学的了解更增大了。研究整体几何学需要坚实的经典几何知识基础，要掌握当时刚刚诞生不久的代数拓扑理论，更要将嘉当创立的几何方法加以改造。这样才能别开生面，独树一帜。这样做，很费力，世界上涉足的人也很少，但这正是我追求的目标。

张：您去普林斯顿，是美国数学家维布伦和著名的外尔邀请的。他们希望您研究整体微分几何吗？

陈：没有。做什么研究，完全由自己的意愿决定。我到普林斯顿去，主要是和维布伦的联系。1936 年，当我还在巴黎时，维布伦写信给嘉当，询问有关投影正规坐标的事，这对维布伦学派的＂几何路径” (geometry paths) 很重要。他们想发展一个更高级的微分几何理论，突破爱因斯坦理论所考虑的洛仑兹空间的限制，以便做出统一场论。我知道投影正规坐标可以用多种方法定义，但都有缺陷，于是就提出了一种基于嘉当几何方法的定义，寄给维布伦，这给他很深的印象。我在西南联大时，又曾经由维布伦转交我自己和王宪钟的一些论文，因而和他相熟，但从未谋面，他并不知道我对整体微分几何感兴趣。

张：战争年代应邀去普林斯顿，应该是很少见的事。

陈：确实。那时普林斯顿的经费很少，战争又正在进行，请人是很困难的。他们不但对我的研究感兴趣，也因为我是一个中国人。那时，中国人搞科学研究的不多，不会威胁美国人的＂饭碗＂，所以他们也许会优先安排中国人访问。现在看来，我到普林斯顿是很幸运的，我一生“最好”的工作就在那里完成。

张：您去普林斯顿是一种幸运，那么做学问是否也有机遇的问题？例如，选择了一个方向，有时做得出成果，有时却做不出来。

陈：机遇不能说没有，但我想主要是看能力。就像在茫茫荒漠上找寻石油，光凭机遇怎么行？成功主要是靠地质学家的知识积累和科学判断能力。同样，即使有了数学问题，并不见得人人能解决，杰出的数学家就能解决别人做不出的问题。

张：能请您以整休微分几何为例来谈谈好吗？比如，您为什么选择整体微分几何作为研究方向？

陈：数学家要能分别好数学与坏数学，或者不大好的数学。譬如读诗看画，有些伟大的作品，令人百读不厌，投地拜服。数学工作亦是如此：从微分几何走向整体是一个自然的步骤。

但要能走这一步，必须作好工具的准备。我很早就注意代数拓扑的作用，1932 年布拉施克在北京作题为“微分几何中的拓扑学问题”的演讲，实际上仍是讲局部微分几何。1933-1934 年 E．施佩纳来华讲学，严格证明若尔当曲线将平面分为两部分的拓扑定理。我也听过江泽涵的一门拓扑课，但我当时觉得并未进入拓扑学之门。直至亚历山德罗夫和霍普夫合著的《拓扑学》出版，情况才有变化。代数拓扑是很重要的一门数学，我对它兴味很浓。

张：那么，您又为什么选择高斯－博内公式作为研究的突破口呢？

曲面上由有限个曲线弧相连而成的简单闭曲线 C，围成区域 D，各弧线外角为，则

为的曲率，是高斯曲率。它的特例是三角形的三个外角之和为。

陈：我在西南联大教书时就对这一课题有不同平常的了解。大拓扑学家霍普夫于 1925 年的博士论文就研究高维的高斯－博内公式，他曾预言：“高斯－博内公式在高维的推广，是最重要的、也是最困难的问题。”他将它推广到超曲面的情形。外尔也作过贡献。C. 艾伦多弗和 A. 韦伊更证明了一般高维黎曼流形的高斯－博内公式。但他们的流形，都是嵌在欧几里得空间中的。我到普林斯顿之后给出了一个完全“内蕴＂的证明。我用的是长度 1 为的切向量丛，而外尔、艾伦多弗和韦伊所处理的都是一种“非内蕴＂的球丛。这一截然不同，导致了高斯－博内公式的彻底解决。我走了不同的路，这需要能力。

张：您最著名的工作是“陈示性类” (Chern Classes)，为什么其他示性类，都没有“陈示性类”来得重要？

陈：这需一种眼光去分析。主要的示性类有三种：

惠特尼示性类：一般的拓扑不变式；
庞特里亚金示性类：实流形上的拓扑不变式；
陈示性类：复向量丛上的拓扑不变式。

问题恰恰在于我所处理的是复向量丛。复数是一个神奇的领域。例如有了复数，任何代数方程都可以解，在实数范围就不可以。而我又着重研究向量丛，不仅刻画底空间，更刻画了纤维丛。这样，“陈示性类”就有更广更深的含义。这种既有局部意义又有整体意义的数学结构具有普遍价值，因此可以影响到整个的数学。我的眼光集中在“复“结构上，“复丛“比“实丛”来得简单。在代数上复数域有简单的性质，群论上复线性群也如此，这大约是使得复向量丛有作用的主要原因。

数学家和数学学派

张：大家都要提高能力，可是怎样才能提高能力？是不是在于“用功”?

陈：当然必须用功。不过，用功与否不能看表面。成天呆在办公室里，没日没夜地看书、计算，草稿几麻袋，这是一种用功。但有些人东跑西看，散散步，谈谈天，也是在用功，而且说不定成就更大。当年在格丁根，范・德・瓦尔登成天呆在办公室里，而科－福桑则东跑西看，两人成就都很大。科－福桑在二维流形上的工作是开辟道路的。他东跑西看时，其实也在思考。

张：数学家成天计算，练技巧，证明难题和猜想，往往令人觉得像一位忙碌的工匠或工艺师。

陈：工匠和工艺师都是不可少的，优秀工艺品可以价值连城。问题是，数学大厦的结构需要数学家去设计，而新学科的开辟，往往有赖于新的数学观念和思想。这些光靠坐在办公室里练技巧是不成的，必须广为涉猎，与人交谈通信，融会贯通，扩大视野。

张：从您的谈话中，觉得您很重视怎样提问题，怎样看下一步发展，观测未来。

陈：是的。我觉得搞数学的人，要做“以后有发展的东西”，不能只看眼前。看今后不是订计划，写在纸上，而是思考方向。有了方向，才能提出自己的问题，自己的构想。解决别人提出的猜想，固然很好，很重要，但解决自己提出的有重大意义的理论课题，岂非更好更重要？我在普林斯顿时，常和大数学家外尔闲聊，他就是向前看。他有一次对我说“看来代数几何学将会有大发展。”后来的事实果真如他所料。

张：现在大家都认为“强大的美国微分几何学派“多半受到您的影响（见本书收录的《奥斯曼：几何学在美国的复兴：1938-1988》。）。您是怎样发挥这种影响的？

陈：学术影响主要是看工作，但个性也有关系。我喜欢与人交往：我和 A．韦伊的友谊巳有半个世纪了；和博特、尼伦伯格、谢瓦莱、格里菲思、塞尔和希策布鲁赫等著名数学家也都合作写过论文。此外，我带学生，由我任导师获博士学位的超过 40 人；我也和许多年青数学家交往，联合发表论文。我想我能看出有意思的问题来做。

张：有些数学家则较少与人交往，例如周炸良先生。

陈：周先生是我的老朋友。当年他和 M. 维克多结婚时，我是唯一的中国宾客。他是夜间工作者，白天睡到下午两三点钟，德国银行一点钟关门，每次取钱都得找我帮忙。周先生在代数几何方面成就很高，但生性澹泊，宁愿少和外界交往，把家庭生活安排得十分舒适，享受人生。当年中央研究院遴选院士，局外人很少了解他。我于是出来说：“如果周炸良不是院士，我们这些院士都觉得有些惭愧了。”后来他选上了院士，但从不参加任何活动。

张：那么，您是否觉得数学家应多担任一些社会公职或行政工作，藉以扩大影响？