作者 | 费曼
去年，我身为加州课程审议委员会的成员之一，花了很多时间来挑选适合的数学课本，给加州的公立小学一到八年级的学生使用。
我仔细阅读了那些由出版社送来的、可能获得加州政府采用的教科书。
（堆起来有 6 米高，重达 250 千克!）
我在这里想以大家看得懂的方式，来描述或批评一下这些书，特别是数学内容，也就是我们想教给孩子的数学。我在这里不讨论一些相当重要的事，譬如这些书是否容易让老师完成教学目标，或是学生很容易阅读。评审之后获得州政府选用的许多教科书，也有我在后面要谈的缺点。这是因为，我们只能从出版社送审的书当中去做挑选;而送来的书当中，编写得真正好的，还真是不多。另外，委员会推荐了一些补充教材，本来可以稍微弥补课本的不足，也因为政府预算有限而无法采购，实在很可惜。
为什么小学的数学教学方式需要调整？我们首先要清楚了解这个问题，才能评断我们挑选出来的课本能不能符合需求。有很多人，例如杂货店的老板，每天都必须大量使用简单的算术。此外，有些人会用到比较高等的数学技巧，譬如工程师、科学家、统计学家、经济学家，以及商行（它们普遍都有很复杂的存货管理和税务问题）。再则是一些研究“应用数学”的人。最后就是为数很少的纯数学家。
当我们设计这些入门的数学训练时，不但要照顾到每个人每天都要用的简单算术，还要注意到那些迅速扩张的、使用较高级数学技巧的族群，
这种数学训练的目的，是鼓励学生培养出适当的思考模式，使这群人日后仍然受用无穷。
许多数学课本用了很大的篇幅，来描述那些只有纯数学家才感兴趣的主题。不仅如此，多数主题也是以纯数学家的态度来处理的。这有两个问题产生。首先，将来会成为纯数学家的小学生非常少，其次，纯数学家看待一个主题的方式，跟一般的数学使用者有很大的不同。
纯数学家是相当不注重实际用途的，他们通常对数学符号、字母或想法没什么兴趣，或者可说是刻意不理会。
他们只对公理（axioms）之间的逻辑关联有兴趣。但这些符号、字母和想法却是把数学和真实世界连接在一起的东西，使用数学的人必须确实了解。因此，我们对于数学与应用了数学的事物之间的关系，必须非常注意，不像纯数学家可以完全不理会。
我听到很多人把这个改善数学教学的计划，称为
“新数学”
。当然，这是一个挑选数学教科书的新计划。但新数学会给人一种非常前卫的感觉，是不是真的合适，还有待商榷。那些用在工程与科学问题上的数学，不论是设计雷达天线系统、决定人造卫星的位置和轨道、工厂的存货管理、设计电机系统、做化学研究或是处理难解的理论物理模型，事实上用的都是旧数学，都是 20 世纪 20 年代以前发展出来的数学工具。
此外，很多非常先进领域的数学，都不是数学家独自发展出来的。以理论物理为例，有许多数学工具是理论物理学家和数学家共同合作发展成功的。其他领域也一样，那些使用数学的人，总是费尽心思，发展出更新的方式或更适当的形式来使用。近些年来（就说是 20 年代以后吧），纯数学家已偏离应用很远了，只专注于数和线的基本定义，以及各个不同数学分支之间的逻辑关系。从 20 年代之后，数学在这方面有很大的进展，但在应用数学或有实际用途的数学上，发展就相对减缓了许多。
有了问题，接下来该怎么办？
我认为
我们应该努力找出新的数学课本和新的教学方式，使学生更容易了解那些用在工程、科学或其他领域的数学，并且学会怎么应用数学。
基本上，就是
让数学的学习变得更有趣，让学生养成正确的思考模式和态度，掌握到分析事理的精神。
这里，最主要的改变是必须移除老数学课本里那种僵化的思考方式，必须在解答问题的过程中，允许学生的心智可以自在活动、自由思考。如果以老方法来教育孩子，那么放入任何新单元到课本里来，都没什么实际的用处。若要很成功地使用数学，必须有正确的心态。
要知道，任何问题都有许多方式可以解决，任何事务也都是一样的。
对于某个确定的问题，你需要有个答案。问题是: 要怎样得到这个答案？那些能成功运用数学的人，一碰到问题的时候，总是会尝试各种新方法去得到答案。就算有些时候，已经存在某些求出答案的方法，他还是愿意以自己的方式去寻求答案。不管是新方法或老方法，重要的是针对问题，找出能得到正确答案的方法。他问自己的问题并不是“解决这个问题的正确方法是什么？”
他需要问的，是答案正不正确。
这就像刑事案的侦查，搜寻到犯罪现场的若干线索之后，首先会假设嫌疑犯大约是什么样子，再看看哪些人最符合这些线索，最可能是嫌疑犯。当侦查人员最后找到真正的罪犯时，应该会发现所有的线索都是吻合的。
黑猫白猫，能抓到老鼠的就是好猫
要获得一个问题的答案，什么是最好的方法？答案是:
任何能得到正确答案的方法，都是最好的方法。
因此，我们要的数学课本，并不是只教学生一种可以解答所有问题的绝招，而是教他们，问题是什么，然后让学生有比较大的自由度去寻找答案。但是，正确的答案当然只有一个，不能任意选择。也就是说，有很多方式可以计算出 15+17
（或者可说成 17+15）
的答案，但正确的答案只有一个。
以往的数学教育，都只教学生一种标准的算术问题解法，并没有教学生自由思考。事实上，一个问题可以有好多种写法，思考问题也有许多可能的方式，解决问题也有许多可行的办法。
这种“没有标准解法，只有正确答案”的想法，不只是数学使用者的心态，其实也是创造力十足的纯数学家的心态。虽然纯数学家写的论文，只是展示他完成了某种逻辑推理，证明了某个结论是正确的，里面并没有写出他原先怎么去做猜测，或动手之前思考过哪些可能的证明途径; 但是，要完成证明，他也需要同样的灵活心思，不愿墨守成规。
我并不是纯数学家，为了找一个例子来证实我的观点，我特地从书架上找出一本纯数学家写的书。这本书叫《代数结构下的实数系统》，作者是岁伯茨（J.B. Roberts）。我在书里很快就找到一段能够佐证的话
数学思考的方式是推测与验证，没有固定的步骤可以遵循。我们试试这个，试试那个，猜猜这个，猜猜那个，设法把得到的结果推而广之，使证明容易些。我们试一些特例，看看会不会灵光一闪，得到启示或直觉。最后，就得到证明了。谁晓得是怎么回事!
因此，你们看到所谓的
数学思考方式，不管是纯数学或应用数学，都是自由的、直觉式的。
这也是我们希望在孩子刚学习数学的阶段，介绍给他们的东西。我们相信，这不但是一种比较好的数学训练方式，也可以让学生觉得数学是很有趣的东西，学起来很容易。
为了让我们的讨论不要那么抽象，我可以给大家一个具体的范例。我从现在小学一年级和二年级的课本里，举些例子来说明。我们就以加法为例。
假设小孩子都学过怎么样数东西，因此经过一阵子的练习之后，就很会数东西。现在，我们想要教小朋友加法。假设有个小朋友很会数数字，可以数到 50 或 100。他能不能马上解决 17+15=32 这类问题呢？
假设班上有 17 个男孩和 15 个女孩，那么班上一共有多少个孩子？
这种问题不必以很抽象的加法形式来呈现，只要简单地数一数男孩的人数，再数一数女孩的人数，然后数一数全班同学的总人数就行了，最后，我们可以把结果归纳出来:17 个男孩加 15 个女孩等于 32 个小孩。
这个方法可以用在任意两个整数的加法。但是如果待相加的数目很大，这方法就显得很慢、很麻烦。如果问题里有很多待相加的数字，那就更不方便了。另外有一个类似的方法，就是利用一组固定的数目，例如手指头的数目来协助计算。还有一个方法就是在头脑里心算，例如，经过一小段练习之后，小孩子可能自己学会 6+3 是多少，他会在心里数着 7、8、9，答案是 9。也有一种更实际的方法，就是死背一些数字的组合，例如 3+6=9。如果这个组合经常出现的话，只要看一眼，不必算就知道答案。
计算很大的数目，例如有多少枚硬币，你可以把它简化，一组一组地计算，而不必一枚一枚去计算。你可以把 5 元硬币两两叠在一起，把 10 枚 1 元硬币也叠成一堆一堆的，如此每一堆都是 10 元，再看看有多少堆，最后加上剩下来的不成堆的硬币有多少枚，就是答案了。这种计算方式，比起把硬币的面额一枚一枚地加起来，容易得多。【
编者注：学过黎曼积分与勒贝格积分的读者，会看出来，这正是两个积分差别所在。在超市收银台，我们经常会看到绝大多数收银员在不自觉地使用这种勒贝格收银，因为它更省事
。】
另一种做加法的方法是利用一条直线，上面标着数字，或者利用张类似月历的表，上面写着一连串的数字。当你要处理 3+19 这种间题时，你从 19 开始，往后数 3 个，就得到 22。如果这些数字都用一个点来代表，等间距排成一列，就是所谓的“数线”了，这是以后了解分数和度量的重要工具。像直尺或温度计，只是沿着尺的边缘画上数线而已。因此把数字标在一条直线上，不但是学习加法的一种方法，也是了解其他数字形式的方法。
（顺便在这里提一下:在基础阶段还有一个特殊技巧，就是利用配对法，去决定哪个数字比较大，而不必真正去数。因为比较多的那一个，会有东西多余出来。这也是当初比较不同气体的分子数所用的方法。）
加法，古早的呆板做法
在老课本里，加法是以一成不变的方式来处理的，没有任何可以变换的技巧或把戏。首先，我们利用书上画的鸭子，学习简单的加法。
5 只鸭子和 3 只鸭子一起游泳，总共是 8 只鸭子，等等。这当然是一种令人满意的方法。接着，这些数目就被记住了，这也是可以接受的。最后，如果数目大于 10，就必须用到完全不同的技巧了。在这种技巧里，首先解释比 10 大的数字要怎么写，接着介绍两位数字的加法规则。先不教进位，因为进位太复杂了，三年级才会介绍进位的技巧。
老教材令人不满意之处，并不是它们教加法的方法不好。这些方法都很好，都可接受。
问题是，这些课本允许老师和学生使用的方法太少了，只允许一套标准做法。
举个例子，对老教材来说，29+3 就不是正统的一、二年级的算术问题。他们不会在小学低年级教这题，因为这个年级的学生不了解进位技巧，没办法解答这题。但是，如果你真的了解加法的意义是什么，在学会了数数目之后不久，应该就能处理这个问题了。一年级的学生都行，只要连续数 3 个数目:30、31、32，就得到正确答案了。
当然，这个算法慢吞吞的。但是如果没有其他可用的方法，那么这个方法不失为一种有效的算法，应该允许使用。它应该是小朋友想象得到的方法。小朋友渐渐长大之后，自然会再学到其他更有效率的方法。其实，把 3 和 6 加起来，与把 3 和 29 加起来，没什么不同。当我们年纪变大之后，唯一不同的是，我们会使用更有效率的方法来解决问题。
千万不要限定标准解法
了解两个数字相加的意义之后，也就是相加的意义是什么以及如何相加，则上面所提的那两个问题（3+6 与 3+29）其实没有什么不同因此，传统教科书所用的唯一标准方法是不对的。这个传统加法告诉学生:当数字很小的时候，背下来套用; 当数字很大的时候，则把它们上下对齐排好，一次加一行数字，而且不用担心会碰到进位问题。这种做法对于小学前两年的数学学习限制太多了。违反“没有标准解法，只有正确答案”的解题理念。
为了发展出孩子们日后需要的正确解题心态，我们应该给予他们很多不同的数学经验。加法并不一定非要某种标准形式不可。举例来说，17 加 15 为什么非要把 17 和 15 上下排在一起，然后在底下画一条线，然后在线的下面写出 32 来？没有什么理由非这么做不可。另一种方式;17+口=32，留下一个待填的空位，其实是相同的问题，只是提问的方式不同而已。我们应该让一年级的小朋友，学习找出某种方法来得到问题的答案。这类问题，在他长大做工程师的时候，都必须时时面对。我的意思并不是说，要他提早学习减法。我的意思是他必须了解，这只是老问题的另一种形式。这个问题是要以任何方法找出空格里的数字，但是当空格填上数字的时候，答案必须是正确的。
在工程或物理上，我们通常对于怎么得到空格里的数字是 15，并不感兴趣。我们只要知道最后得到的这个 15，放入空格之后，能使得 17+15=32 是正确的就行了。（只有当这种问题以前从来没有出现过，没人知道该怎么做的时候，我们才会对“15 是怎么得到的”感兴趣。或者是这种问题似乎一再出现，我们需要发展出一套更有效的新技术来处理它，那我们对方法本身才会加以研究也就是研究“15 是怎么得来的”。）
因此，17+口=32 这种问题，是应用数学最常碰到的形式。学生必须以任何可用的方法，找出一个可以填入空格的数字。使答案是正确的。这种训练在孩子很小的时候就应该开始，就算是一年级也无妨。让小孩子有一种自由，去尝试任何可以得到答案的方法。但是答案当然必须是正确的，你在最后，都应该检查你得到的结果是否正确。【
编者注：据数学天才陶哲轩讲，在他两三岁的时候，他奶奶就给他出类似的问题：
记得在我两三岁时，总爱围着祖母转。她一边擦窗户，一边跟我玩游戏。她要我说出一个数字，比如说3， 她就用清洁剂在窗子上喷出一个大大的3然后再擦掉。我觉得太好玩了。我小时也有一些算术练习簿。它们都很简单， 比如，像3+□=7这样的等式，问方框中是几？我觉得真是有趣。对我来说，数学是唯一让我奉为真理的：3加4就是7，合该如此。
另一个可以分享给读者的例子来自美国普林斯顿大学教授、2014年菲尔兹奖得主
Manjul Bhargava（
https://www.gathering4gardner.org/an-interview-with-manjul-bhargava/
）
The first nontrivial math problem that I ever solved as a child was sort of a puzzle that I made up on my own. I was around 7 or 8 years old. I used to really enjoy stacking oranges, meant for the family juicer, into triangular pyramids. The question naturally came up: how many oranges does one need in order to make a triangular pyramid that is n oranges wide, i.e., having n oranges on each edge?
I loved this question, and remember thinking about it off and on for some time – perhaps weeks. It was such an exciting moment when I finally figured out the answer: n(n+1)(n+2)/6. Thus, for example, if one has four oranges on each side of the pyramid, one needs exactly 4(5)(6)/6 = 20 oranges! And I could actually take 20 oranges and make the pyramid! That moment was incredibly exhilarating: it showed me the power of mathematics to predict phenomena, and to explain patterns. And because I had come up with the answer on my own—and in a couple of different ways—it demonstrated to me the creative process of mathematics, and that
there is no one right way of approaching a problem
. That was a truly amazing lesson for me to learn early on—a lesson that unfortunately does not often come up in mathematics classes, where generally one is just told the exact fixed steps one must take in order to solve each problem.
参见《当代大数学家画传》中的篇目
：
我最早的数学记忆来自于八岁时将橙子堆成金字塔形状（专门用于榨汁机！）的事。我想知道，堆出最低层每边有n个橙子的一个金字塔需要多少个橙子？我思考了很久，最终确定答案是n(n+1)(+2)/6。对我而言，那是非常有趣和兴奋的时刻！对任意大小的金字塔，我能够预言出需要多少个橙子，对此我很欢喜。
】
让学生有思考的自由
我们应该给予学生思考的自由。我这里再举一个例子，它的情况更复杂些。假设有个未知数，它的两倍加 3 是 9，那这个未知数是什么？这当然是代数问题，而且有很明确的规则可解答这一类的问题:你先把等号两边的数字减 3，然后再除以 2，就是答案。但是，世界上可以用明确的规则来求解的代数方程式，其实是很少见的。
另外一种方法是试着把不同的数字填入空格，直到找出正确的答案为止。这个方法在孩子还很小的时候，就应该教他。换句话说，问题应该要以不同的形式来呈现，而且应该允许孩子去猜测答案，允许他们以自己喜欢的方式去尝试，而不是只能以记住标准步骤的方式来解题。当然，孩子的解题尝试与学习经验逐渐增多之后，他们自然会记住那些加减乘除的明确规则，因为那样的解题效率比较高。
其实到了更高等的工程领域，当我们必须面对更复杂的代数方程式时，唯一可用的方法只有尝试代入不同的数字。这是一种非常强而有力的基本方法，但是学生往往在很迟的阶段才学到，甚至是当了工程师之后才知道。那些老式教学方式，就是每种问题只有一种标准解法，其实只能解决最简单的问题。然而更复杂的问题事实上并没有标准解法，解决复杂代数方程式最好的方法，就是
试探纠错法（trial and error）
。
另有一种含有很大自由度的练习，就是猜测规则。这类问题以后还会以更复杂的形式出现。我现在举一个很简单的例子，那也是工程和科学上的典型问题，就是:在 1，4，7，10，13，…的数列里，产生数字的规则是什么？问题的答案可以有很多不同的求法:第一种是每个数字都是前一个数字加 3，另一种是第 n 项的数字是 3n+1。
数学教育的成败关键，在于让学生有各种各样的数学经验，而不是要学生对于所有问题都只能用一种受到严格限制的标准方法来处理。
我再强调一次，我这不是在质疑教学技巧对不对，重点也不在于让老师日后更容易教算术（虽然就我所知，确实会这样）;而是我们会教给学生一种有意义的新主题，一种面对数字和方程式的新态度。这种新态度是学生日后碰到数学应用问题时，可以成功求得解答的正确态度。
我所讲的，当然也不是“以新方法来教旧主题”这么简单。例如，我们建议在低年级就教一些不是十进制的数字系统。这除了可以显示数学世界的广阔和自由，也能帮助学生更深入认识算术进位规则背后的理由。如果多了这种教材，有些学生可能会很喜欢，多学到一些算术运算的道理。但一定也会有些反应较慢的学生，无法掌握不同的进位制，这时候教他们练习把一个数字由十进制变成五进制或十二进制是毫无意义的。教师反而应该让他们多做一些十进制的算术练习。也就是说，
教师应该因材施教。
术语不等于知识
当我们考虑孩子们应该学会哪些用语和定义时，应该特别注意，不要只教孩子记下一些用语而已。我们教孩子某些术语时，可能只让孩子有一种知识的幻觉（这些名词听在一般人耳里，并不太自然），面没有教他们这些名词究竟代表什么意义或想法。老教科书就充满这类没有实质意义的名词—书里很仔细而精确地定义了纯数学家使用的艰涩名词，事实上，除了纯数学家之外，根本没有人用得着。
其次，我们叙述这些名词的文字和方式，应该尽量接近日常语言。或者至少所用文字的意义应该和一般口语的意义相同。最起码要和科学界或工程界使用的数学语言相同。
我们以几何学为例。在几何课里，必须学习很多新名词。例如，学生必须知道什么是三角形、正方形、圆、直线、角或曲线。但学生不应该只是学到这些名词，学生至少必须知道这些名词所代表的究竟是什么东西，或者什么概念。例如:不同几何形状的面积、某个图形和另个图形之间有什么关系、如何度量角度、三角形的三个内角和是 180°、勾股定理可能是怎么回事、判别是不是全等三角形的规则有什么道理，等等。
至于哪些几何主题比较重要，应该列入课程内？这应由那些编课本的人来决定，他们比较有这方面的经验。我并不打算在这里建议，哪些东西应该包括进来，哪些不必。我想说的只是，如果编课本的人决定要把哪个几何主题包括进来，就应该把这个图形的适当知识都涵盖进来，而不要只有很空洞的名词和术语。
有些书用了很多篇幅去定义一些特殊的东西，例如:闭曲线、开曲线、闭区域、开区域等。但其实只教给学生:一条直线可以把平面分成两部分。在这些几何单元的最后，编者总会长篇大论地自吹自擂，说自己教了多少儿何知识，或学生又多学了哪些东西。我常常觉得，这些课本教的新名词虽然很多，但学生学到的知识其实很少。这些课本是完全不合格的。
不仅如此，有些书使用的字眼非常怪异，都是纯数学家才会用的术语。我认为这完全不必要。学到这些新名词的学生，如果长大以后真的成为纯数学家，那么他和别的数学家讨论几何基本观念时，或许可以很容易沟通。但其实现在还不急着教小学生这些东西:学生长大以后，在适当的机会自然学得到这些新名词。很多家长反对新数学，其实只是因为在家里听到孩子说直线是一种曲线，觉得是学校把自己的孩子给教笨了。我们其实不必让家庭里出现这种学术辩论。
