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如果我们能写出这样的教师参考书，不需要搞那么多的教师培训，教师自己就能把自己培养成一个好教师。
先来张美图：
（该图系黄勇教授用maple所作）
它就是基本不等式的直观图解，蓝色的是算术平均，绿色的是几何平均。
基础教育一直在不断的改革，从新课标到新教材，不断推陈出新，对于新课标，过去很多院士们都有过讨论，但于事无补，该什么样还是什么样，难有本质变化。新课标的理念是好的，可能争议之处在于内容以及课程的体系，关于这个问题非三言两语能说清楚，何况新课标如何修订无伤大雅。最关键的问题有两个，一是教材的编写，二是教师参考书。
我曾在各种场合傻乎乎地议论过教材，在此应该为人教社唱一首赞歌，我撰写过一篇文章“课标、教材与课堂教学浅议”，文章投到了人教社旗下的《课程.教材.教法》。这篇文章指出了教材（包括人教社出版的教材）中存在的诸多问题，但人教社显得很大度，虽几经修改，最后居然给我刊登了，人教社能有这样的胸怀说明大有可为。
关于教材我已经议论过很多了，这里不打算说得太多，我觉得，教材编写有两种方式，一种是问题引导式，也就是针对每个章节的内容设置一些问题，通过这些问题师生就明白为什么要学习这些内容了，这种风格与Steward的《微积分》颇为相似，但对编写者的要求比较高，不是一般的中学教师与教研员能编写得出来的。第二种方式就是回归传统，按照概念-定理-证明-例题-练习五部曲编写，既不扯什么问题情境，也别扯什么思想方法，让教材成为纯粹的知识载体，这样的教材编写难度不大，稍有经验的中学教师都可以做。与其第一种方式做得不伦不类，不如回归传统，老老实实按数学内容的完整体系编写。
教师教学参考书对于教学具有非常重要的指导意义，拜读过一些教参，坦率地说，有点差强人意，教参通常都是指出某节内容的重点难点，至于某章节到底需要解决什么问题则避而不谈。在我看来，一本好的教学参考书应该由这样几个部分组成：
某内容大概需要多少课时？这是最基本的，当然不是最重要的，教师自己一般也都知道。
某内容的重点难点是什么？传统的教师参考书也都有介绍。
某内容为了解决什么问题？这是参考书的核心与灵魂，如果是概念课，教参应该指出概念因为什么而产生，如果是原理课，教参应该阐明原理的科学价值以及原理产生的背景，换句话说，概念、定理的产生是为了解决什么问题？以便给教师的教学提供参考。
以基本不等式为例，基本不等式（也叫均值不等式）的科学价值是什么？有哪本教材与教参提及过？从方法论意义上说，基本不等式是线性与非线性之间的转换（算术平均是线性运算，几何平均是非线性运算），从其科学价值说，通过基本不等式可以对代数式进行伸缩变换从而完成估计，无论是最值问题还是不等式的证明都是如此，这是一种重要的思想方法。
任何科学的产生都是源于问题，课堂的核心应该是引导学生怎么解决问题，在分析问题的过程中逐步建立概念与定理，问题正是在概念与定理的建立过程中解决的。我赞成弗赖登塔尔的观点：“数学教育是数学的再创造”，数学与自然科学一样，也是在不断解决问题的过程中形成的，再创造过程当然也应该是解决问题的过程。
如何创建合适的问题情境？诚如弗赖登塔尔所说：“数学教育应该结合学生的生活体验与数学现实”，有了问题，还需要合适的情境，将问题嵌入到该情境中形成问题情境。因为数学家分析问题与解决问题的过程未必适合用来作为教育过程，教师需要将其转换成符合学生认知能力的过程。教材试图做这种尝试，有些做得不错，但很多问题情境让人莫名其妙。
如果引导学生探究？教材中的探究不少，可惜的是，误把验证当探究的地方并不罕见。验证与探究貌似有相似的特征，但有着本质的不同，验证是目标明确的情况下设法通过某种方式进行检验，而探究则是在目标不明确的情况下发现某种具有规律性的东西。
以对数运算法则为例，中学教材给出了M与N各一组数，让学生计算lg(MN)与lgM+lgN，然后比较计算出来的这两组数。你让学生比较这两个数无异于已经告诉学生这两个数是有关系的了，那还探究什么？何况由于给出的不是特殊的数，学生得到的都是近似数，实际上根本没办法看出两者之间的关系，最后还得教师牵强附会地“总结”出运算法则来。
在这个运算法则的教学过程中，最重要的是学生能不能在老师引导下发现lg(MN)与lgM+lgN之间的内在关系？教师完全可以通过几组很特殊的数，例如1亿乘10亿、1千亿乘1万亿等于多少？怎么算出来的？因为学生已经知道对数的概念了，很容易通过这个简单的计算发现lg(MN)与lgM+lgN之间的关系，再此基础之上不妨像教材那样再给出几组稍微一般的数，让学生通过计算比较两者是不是的确有这种关系？最后再给出证明，这才是探究式教学。
如果我们能写出这样的教师参考书，不需要搞那么多的教师培训，教师自己就能把自己培养成一个好教师。
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