数学不是逻辑

数学 （mathematics或maths，其英文来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究 数量 、 结构 、 变化 、 空间 以及 信息 等 概念 的一门学科，从某种角度看属于形式 科学 的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

而在人类 历史 发展和 社会 生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代 科学 技术必不可少的基本工具。

逻辑 （logic） 源自古典 希腊语 （logos），最初的意思是“词语”或“言语”，（引申出意思“思维”或“推理”），指的是思维的规律和规则。

狭义上逻辑既指思维的规律，也指研究思维规律的学科即 逻辑学 。广义上逻辑泛指规律，包括 思维规律 和客观规律。

逻辑包括形式逻辑与 辩证逻辑 ，形式逻辑包括 归纳逻辑 与 演绎逻辑 ，辩证逻辑包括 矛盾逻辑 与 对称逻辑 。对称逻辑是人的整体思维（包括 抽象思维 与 具象思维 ）的逻辑。

有人说： 数学=逻辑+公理

数学逻辑专注在将数学置于一坚固的 公理 架构上，并研究此一架构的成果。

数学与逻辑的区别？

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相信大家都听说过这些词语，数学证明、逻辑证明、实验证明、实践证明、法律证明。很明显，它们是几种不同的证明方法。那么，数学证明和逻辑证明有什么不同呢？

逻辑是一种论证和证明的方法。怎么进行论证和证明呢？就是“从普遍推进到个别的”，也就是三段论：从大前提、小前提推出结论。这些都是亚里士多德的《工具论》里面的原话。

亚里士多德还明确说过，几何学所使用的推理方法跟论辩和辩证使用的推理似乎不同。

这个不同表现在哪里呢？逻辑论证是从大前提出发，也就是从一个前提出发，一层一层推理出各种各样的结论。

比如亚里士多德的《物理学》，就是用三段论逻辑来论证的，也就是从“地球是宇宙的中心，地球是不动的”这个前提出发，来解释宇宙万物为什么会运动和变化。

由于地球是不动的，又是宇宙的中心，那就必须有一个最初推动者，通过密布于空中的看不见、摸不着的以太，把力一层一层传递给了各个物体，于是才有了云彩漂移、雨点落下来、弓箭射出去、抛石机抛掷出石弹、手扔出去石子。

如果没有以太这种看不见、摸不着的物质，那么力就无法传递，也就不会有各种各样的运动和变化。

这就有点像多米诺骨牌，没有第一个推动者，那就不会出现连环的倒塌。倒塌本身就是一种运动和变化。

从地球是不动的，地球是宇宙的中心这个前提出发，还解释了太阳和月亮为什么绕着地球飞行；重的物体为什么往下落，轻的物体为什么向上飞；苹果和植物为什么会腐烂。

也得到了很多结论，比如重的物体比轻的物体先落地。

总之，亚里士多德的《物理学》是逻辑论证和纯粹思辨的物理学，既不用数学，也不做实验。如果他做实验，那就会发现“重的物体比轻的物体先落地”这个结论是站不住脚的。

数学和逻辑学：为什么逻辑是一切的基础？

吴  军

你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。

我们在课程中多次讲到，数学结论的正确性，取决于公理的正确性，以及逻辑的严密性，因此数学和逻辑是密不可分的，特别是像欧几里得几何这种数学体系，完全依赖于逻辑。但是， 数学和逻辑又是完全独立的两门学问，不能混为一谈 。

一般认为， 逻辑是人类理性的体现 ，它的基本原理其实都是大白话，但是仔细琢磨起来很有道理，更关键的是，只有少数人能够坚持那些看似大白话的基本原理。因此，我们就从逻辑学的基本原理，以及和数学的关系讲起。

• 同一律 ：苹果就是苹果，不是橘子

首先要说的是同一律，它通常的表述是，一个事物只能是其本身。这句大白话背后的含义是， 世界上任何一个个体都是独一无二的。注意这里说的是个体，不是群体 。一个事物只能是其本身，而不能是其他什么事物。苹果就是苹果，不会是橘子或者香蕉。

因为有同一律，我们才可以识别出每一个个体，这在数学上可以用A=A这样的公式表示，而且当一个个体从一个地方移到另一个地方去之后，它就不会在原来的地方，而会出现在新的地方。

比如我们有一个等式X+5=7，当我们把5从等式的左边移到右边去之后，就变成了X=7-5，等式的左边只有X，不可能再有5这个数字了。

很多孩子解方程，把数字从一边移到另一边的同时，忘记了把原来的数字消去，最后题做错了，自己还有家长只是觉得粗心了而已。其实在每一次粗心的背后，都有概念不熟悉的深层次原因。具体到这个问题，就是根本不理解同一律。

同一律在集合论中特别重要，集合中的所有元素必须都是独一无二的 。比如我们说整数的集合，里面只能有一个3，不能有两个，如果有两个，就出错了，这一点很容易理解。但是，在生活中，很多人自觉不自觉地在违反同一律，一个最典型的情况就是 偷换概念，具体讲就是把不同含义的概念使用了同一个名称，达到瞒天过海的目的。

人有些时候偷换概念是不自觉的，比如很多词的含义有二义性，他搞不清楚，造成了自己头脑的混乱，或者把一个个体和一个集合等价起来，以偏概全。比如有些人会讲，股市都是骗局，他们的经验是来自一部分股票，是个体，但是讲这句话的时候，就把股票换成了集合，也就是股市。

自己不懂的逻辑，头脑不清，讲出的话违反了同一律后，就会造成别人的误解，甚至自己也会被绕进去，很多人缺乏好的沟通能力，可以溯源到讲话经常违反同一律上。

另一方面，也有人是故意违反同一律，比如悄悄改变某个概念的内涵和外延，把它变成了另外一个概念，或者将似是而非的概念混在一起讲。比如商家常常用“限量版”这个词对外宣传，让人感觉数量非常有限。其实世界上任何商品的数量都是有限的，只是多和少而已。

很多商品，并没有限量版一说，但其实数量比同类的限量版要少很多。比如说施坦威钢琴一年一共生产2000台左右，大型的Model D只有上百台，但是施坦威从来不说限量版。相反，日本限量版的钢琴数量常常比施坦威相应型号的总数量多很多了，但是一说限量版，大家就有高大上的感觉，这其实是偷换了限量版这个概念的外延。

再举一个例子，你会发现美国的左派和右派都在喊平等，但是总是在吵架，因为他们一个说的是 结果平等，一个说的是机会平等 ，这是因为把很多相混淆的概念装进了一个名词中，违反了同一律。

在数学上，要严格遵守同一律。为了防止出现违反同一律的情况，就需要把概念定义得极为精确，在法律上也是如此。 在生活中，我和别人沟通时，我常常会用我的语言复述一下对方的话，明确我们是在讨论同一件事情，这一点很重要。很多时候，我们和别人沟通中的误解，就来源于忽视了同一律。

• 矛盾律