量子粒子大观：狄拉克、外尔和马约拉纳 | 众妙之门

波粒二象性

其实当时普林斯顿的美国科学家发现的并不是马约拉纳费米子，而是马约拉纳零能模。（到底有没有真的发现马约拉纳零能模目前还有争议。）马约拉纳零能模有助于量子计算，但和暗物质毫无关系。而马约拉纳所预言的那种自己就是自己的反粒子的费米子，早就在（有自旋轨道耦合的）超导体中被发现，但当时被叫做另外一个名字：玻戈留玻夫(Bogoliubov)准粒子。超导体中的马约拉纳准费米子（或玻戈留玻夫准粒子）的确和暗物质的一个候选粒子有点像（即自己是自己的反粒子）。

所有这些混淆都起源于，人们把马约拉纳所预言的费米子，和不是马约拉纳所预言的零能模这两个完全不同的东西，叫成一个名字“马约拉纳费米子”。在这篇文章中，我们将比较详细地介绍马约拉纳费米子和马约拉纳零能模。我们发现，马约拉纳零能模根本不是一个粒子，而是粒子的一个性质，就像质量是粒子的一个性质一样。而马约拉纳零能模这一性质的本质，就是一个非整数的自由度（半个量子比特）。

在《赛先生》刊登的 《奥妙神奇的量子世界》 一文中，我们介绍了量子比特、薛定谔猫这些量子怪兽。在这篇文章中，我们将遇到一个更加不可思议的量子怪兽：半个量子比特。这些非整数的量子比特，将是拓扑量子计算的主角。 

我们的宇宙十分丰富，但我们的材料更加丰富。同样的电子在不同的材料中，可以表现为各种各样不同的费米子。研究这些材料中被模拟的各种各样的费米子是目前凝聚态物理研究的一个前沿。请注意，在材料中模拟以上各种费米子的都是电子，电子只是在这些材料中的行为像以上的各种费米子。

为什么同样的电子，在不同的材料中会表现为不同的费米子？这是因为在我们这个量子世界中，电子有波粒二象性。当电子这个波在不同的晶格中传播时，其波动方程受到晶格的调制改变。由此导致的不同波动方程，就模拟了不同种类的费米子。

在这篇文章中，让我们接着《文小刚：世界多彩的起源》的故事，通过介绍一些相关的概念：内部自由度、自旋、狄拉克费米子、外尔费米子、马约拉纳费米子，等等，一起欣赏我们这个非常丰富的量子世界。

左起：狄拉克、外尔、马约拉纳

我们知道电子带有自旋，像一个旋转的陀螺，其内部自由度是2，对应于不同的自旋状态。根据上节的描述，电子的量子状态是由两个波函数  来描写的。正电子也带有自旋，其内部自由度也是2。正电子的量子状态也是由两个波函数描写的。我们可以把电子和正电子放在一起，将其认为是一个内部自由度为四的粒子。我们需要用四个波函数 来描写这个粒子的量子状态。

我们为什么要把正反电子放在一起呢？这是因为在极高的能量下，电子正电子波函数的时间演化会有相互影响。我们必须同时考虑四个波函数的时间演化。这样我们得到一个漂亮精简的方程——这就是有名的狄拉克方程：

上面是狄拉克方程的矩阵形式。 是狄拉克矩阵。是四个波函数的缩写。这里是粒子的质量。由这个狄拉克方程所描写的粒子总是费米子，总有2个内部自旋态，正反粒子也总不相同。这种粒子也被叫做四分量狄拉克费米子（由四个波函数描写）。一个速度为的四分量狄拉克费米子，会有四个内部状态：正粒子态“+”、反粒子态“-”、自旋平行于速度的右手态“R”和自旋反平行于速度的左手态“L”。所以合起来这四个内部状态可以由“R+”、“L+”、“R-”、“L-”，来描写。

红色：右手费米子(R)；蓝色：左手费米子(L)；没胡子：粒子(+)；有胡子：反粒子(-)。

其实历史上关于狄拉克方程和正电子的故事更加精彩。一开始大家是用薛定谔方程来描写电子波函数的时间演化。但薛定谔方程没有相对论中的洛伦兹不变性。所以用薛定谔方程来描写电子一定是错的。狄拉克想把薛定谔方程推广成一个有洛伦兹不变性的方程，结果发现新的方程要求波函数有四个分量，这不仅要把电子的自旋包括进来，还要加一个莫名其妙的带自旋的反粒子。你可以因为世界上没有这个莫名其妙的反粒子而放弃你自己所发现的新方程。但狄拉克方程太美了，这么美的东西不应该是错的，所以狄拉克把这个莫名其妙的反粒子变成了一个预言，预言了正电子的存在。两年以后正电子就在实验中被发现了。

同样地，加州理工学院的一名研究生赵忠尧在1929年也注意到类似的实验结果，显示有一种性质像电子的粒子，但其电荷为正，不过由于实验结果并非决定性的，所以赵忠尧并没有继续追查这个现象。

现在的标准说法是，卡尔·D·安德森于1932年8月2日发现正电子，亦因此于1936年获颁诺贝尔物理学奖。“正电子”（positron）一词是由安德森所创的。它是第一种被发现的反物质，因此当时成了反物质存在的证据。在发现时，安德森让宇宙射线通过云室及铅片。仪器被磁铁包围，而这些磁铁使不同电荷的粒子向不同的方向弯曲。每一粒通过照相底片的正电子，都会有一条离子轨迹，其曲率对应电子的质荷比，但轨迹方向与电子相反，意味着它的电荷也与电子相反。

后来安德森在忆述往事时写道，假若之前赵忠尧的研究有后续的话，那么正电子在那个时候就会被发现了。在安德森公布发现正电子的时候，巴黎的弗雷德里克·约里奥-居里与伊雷娜·约里奥-居里夫妇已经持有有正电子轨迹的老照片，不过他们当时认为那轨是属于质子的，因此不予理会。

做实验真的需要仔细。有人说最重要的实验数据是在废纸篓中的数据。那些自己不理解，觉得做错的要被扔掉的实验数据，有时可能是重大发现。

发现正电子的照片：照片中粒子的轨迹，在铅板上面弯曲得比较厉害，表示其速度比较低；在铅板下面弯曲得不厉害，表示其速度比较高。所以粒子运行的方向是从铅板下面到铅板上面。这时，再通过粒子是往左拐还是往右拐，就能判断出粒子带的电荷是和电子相同还是相反。通过粒子轨迹弯曲的程度可以算出粒子的电荷质量比。

用凝聚态物理的语言来说，外尔费米子有很强的“自旋轨道耦合”：外尔费米子的哈密顿量不再有动量和自旋的各自独立的旋转对称性，而只有动量和自旋共同的旋转对称性。也就是说，在凝聚态系统中如果要实现类似于外尔费米子的现象，这个材料必须要有很强的自旋轨道耦合。著名的外尔半金属（Weyl semimetal）就有很强的自旋轨道耦合。

一般我们把自旋和动量平行的外尔费米子叫做右手费米子，而反平行的外尔费米子叫做左手费米子。但是3维空间中的左手和右手费米子的定义并没有那么明确，因为当我们对左手外尔费米子做一个粒子-空穴变换（particle-hole transformation），它就会变成一个右手的外尔费米子。也就是说，3维空间中外尔费米子的手性定义，只有当我们确定了粒子的电荷（或者其他的量子数）以后才能确定。假如在一个凝聚态物理的材料中，处于某个动量的电子的行为类似于左手费米子，那么它相对应的空穴就会是右手费米子。

正是因为3维空间中外尔费米子的左右手定义的不确定性，粒子物理中对于标准模型有两种等价的描述。在标准模型中，如果我们忽略其他所有玻色场的影响（也忽略希格斯场的凝聚），这时候所有的费米子都变成了无质量费米子。比如，我们可以说标准模型中既有左手费米子，又有右手费米子，我们也可以说标准模型中只有左手费米子（或者只有右手费米子）。在大统一理论中，一般把所有的费米子都看作是左手（或者都看作是右手）费米子。同样，在外尔半金属中，我们既可以说低能下看到的电子有一半是左手费米子，另一半是右手费米子（左手和右手处在不同的动量上），也可以等价地说低能下所有的费米子都是左手费米子。只不过这里所谓的“所有的费米子”中，一半是电子，一半是空穴。

但是并不是在所有空间维度中都有这样的手征定义不确定性。外尔费米子在任何的奇数维空间（偶数维时空）中都能定义，但是在偶数维空间（奇数维时空）中不能定义。但是不同的奇数维空间中，外尔费米子的行为也不一样。比如，在1维空间中的外尔费米子，左手和右手的定义是完全确定的，没有任何粒子-空穴变换可以把左手变成右手费米子；而在3维空间中的外尔费米子有这样的手征定义的不确定性。比如，量子霍尔效应的边界态是1维的外尔费米子，这个边界态的手征性是完全确定的，与电荷或者空穴的描述无关；而前面提到的外尔半金属里面的费米子的手征性就不太确定了。

同样，如果我们想给外尔费米子一个质量，那么在不同的空间维度中也需要采用不同的办法。在3维空间中，有两种给外尔费米子质量的办法。办法一是保持系统整体的U(1)电荷的守恒，但是混合左手和右手费米子。这样产生的质量就是普通的狄拉克费米子质量，在外尔半金属中这样的质量相当于电荷密度波（charge density wave）。这一办法需要有两种外尔费米子才行得通。办法二是破坏整体的U(1)电荷守恒，这样我们不需引入另一个手征的费米子，只需要单个的左手或者右手外尔费米子就能产生质量。这样产生的质量在粒子物理中叫“Majorana mass”，在凝聚态物理中就是简单的库伯对（Cooper pair）。一个重要区别是，在1维空间中，只有办法一能给外尔费米子质量，办法二不能给外尔费米子质量。

综上所述，如果不考虑规范场，那么标准模型中的费米子在希格斯场不凝聚的时候和外尔半金属中的物理非常类似。两个系统都有左手和右手的外尔费米子。稍有不同的是，标准模型中没有右手的中微子（尽管在大部分大统一理论中都引了右手中微子），所以左右手费米子的数量并不相同；而外尔半金属中左右手费米子数量是完全相同的。

为了进一步解释什么是马约拉纳费米子，我们先用图像解释一下什么是反粒子。狄拉克方程跟之前提出的薛定谔方程的重要区别就是存在着负能量的解。比如说对于一个没有质量的费米子，如果它动量是, 狄拉克方程预言它的能量是 。负能量初看起来是狄拉克方程的一个“毛病”，因为它意味着一个电子可以通过跃迁到负能量的能级上而释放出任意大的能量。美妙的是费米子的泡利不相容原理正好解决了这个问题：我们可以声称在真空中，所有负能量的状态都已经被电子占据了，所以新加入的电子不得不呆在正能量状态上。这些被占据的负能量状态就像一个负能量粒子的海洋，通常被叫做费米-狄拉克海，或费米海。这就是为什么狄拉克方程只有对于费米子才是有意义的，而不能描述玻色子。这个负能海不是简单地把负能状态从理论中消除了，而是预言了一类新的正能量粒子，就是负能海中的空穴，也叫反粒子。如果把费米-狄拉克海想象成我们地球上的海洋，那么电子就像处于海平面以上的水滴（比如一场雨），而空穴就是海洋中的气泡。继续应用这个比喻，如果我们把海平面当成重力势能的零点，那么海平面以下的一滴水的重力势能就是负的。而产生一个气泡相当于在海平面下拿走了一滴水，需要克服的重力势能是正的。因此反粒子是具有正能量的粒子，比如电子的反粒子是正电子。产生一个动量为的正电子，意味着在费米-狄拉克海中拿掉一个动量为的电子。同样动量的电子和正电子具有同样的能量，但具有相反的电荷。

明白了什么是反粒子，我们继续说马约拉纳费米子。从费米-狄拉克海的图像中我们很难理解为什么会有一种粒子是它自己的反粒子。这就好像说海平面以上的雨滴和海平面以下的气泡是同一种东西。当一场雨落在海面的时候，总会有跟雨滴等量的气泡沿着镜像对称的轨迹向上走，在海平面上跟雨滴湮没掉，从而保持海平面的位置一直不变。任何观测雨滴的人都无法判断它是空气中下落的雨滴，还是海水中上升的气泡……这听起来简直是天方夜谭，但我们的世界总是比我们最离奇的想象还要离奇。虽然我们迄今仍然不确定马约拉纳的预言是否是正确的（他预言中微子是一种马约拉纳费米子），但在凝聚态物理中，我们已经可以很确信地说，马约拉纳费米子是存在的，它就存在于一大类材料——超导体中。超导体发现于1911年，直到1957年才被Bardeen、Cooper和Schrieffer的BCS理论成功解释。BCS理论的核心概念是库伯对（Cooper pair），粗略地说就是两个电子配成对一起在材料中运动。因为两个电子放在一起看就变成了玻色子，而玻色子喜欢很“团结”地聚集到同一个状态上，结果是体系中大量的电子配成对集体行动，使得电流可以完全无阻尼地传播。大量玻色子聚集到同一个状态上的相称为玻色-爱因斯坦凝聚，所以超导体可以用一句话来描述，就是库伯对的玻色-爱因斯坦凝聚态。

那么这一切跟马约拉纳费米子有什么关系呢？在超导体中的电子，当然还是具有守恒的电荷。他们的反粒子还是正电子，所以直观来看似乎没有可能存在马约拉纳费米子。使得电子变成了马约拉那费米子——或者更确切地说是使得电子在低能量下看起来像是马约拉那费米子——的关键原因，就是库伯对的玻色凝聚。在玻色凝聚态中的玻色子，因为有大量粒子处于同一个状态，如果在体系中某一点忽然拿走其中一个粒子的话，体系的状态几乎是没有变化的（联想一下滥竽充数的故事）。当然，如果仔细地数一下整个体系的粒子数，就会发现有一个粒子被拿走了，但是在被拿走粒子的地方附近做局部的测量，却看不出任何区别。这就有点像电梯里进去一个人，电梯门再开的时候却消失了，我们知道他其实是去了其他楼层，但在局部看起来好像是人可以凭空消失一样。超导体就像是这样一架电梯，但是一定要成对的电子才可以乘坐。

那么如果现在我们在超导体里加上一个单个的电子会发生什么呢？这个电子可以从费米-狄拉克海中“捕获”一个负能量的电子，形成一个库伯对，然后消失在库伯对的凝聚体中。这样的过程发生了之后，唯一剩下来的就是那个负能海中的电子被带走留下来的空穴。因为看不到已经处于凝聚状态的库伯对，整个过程看起来就好像是一个电子直接“变成”了空穴，也就是它的反粒子。既然电子可以变成空穴，空穴也可以再变回电子，所以超导体中电子和空穴都不再是真正的“粒子”了，因为你不能说有一个电子处于某某单粒子状态上（因为它随时可能变成一个带正电荷的空穴），把它叫做粒子就没有意义了。取代了电子和空穴的，是他们的量子叠加态，称为玻戈留玻夫(Bogoliubov)准粒子。既然已经没有确定的电荷，玻戈留玻夫准粒子就有可能是它自己的反粒子了。但并非所有的玻戈留玻夫准粒子都是马约拉纳费米子。在大部分超导体中，自旋向上的电子只和自旋向下的电子配成库伯对。因此一个自旋向上的电子捕获一个自旋向下的负能电子之后得到的是一个自旋向上的空穴，由此生成的准粒子虽然没有确定的电荷，但还是具有确定的自旋。在这样的超导体中，是自旋向上和向下的准粒子互为反粒子，因此它们都不是马约拉纳费米子。只有当库伯对可以发生在相同自旋之间，或者自旋在这个系统中根本就不守恒的时候，马约拉纳费米子才可能存在。最常见的这样的超导体称为p波超导体，更多的细节在这里就不解释了。顺便说一下，在氦3的超流体中，氦原子处于跟p波超导体中的电子一样的状态，但因为氦原子是不带电荷的，我们叫它超流体而不是超导体。在低能下氦3超流体中也有马约拉纳费米子的激发。

既然这样，那么说一个马约拉纳费米子具有半个自由度不就没有任何意义了吗？反正他们总是成对出现。事实并非如此。前面说的玻色凝聚体中，局部看起来玻色子（库伯对）好像可以凭空产生或者消失，只有看整个系统才会发现总的玻色子数是守恒的。跟这个逻辑非常类似，马约拉纳费米子的数目在整个系统中一定是偶数，但局部却可以出现奇数。为了实现这个单个的马约拉纳费米子，我们需要把它的波函数限制在一个局域的地方。一个最简单的实现是下图里的模型（称为Kitaev chain，或者Kitaev Majorana chain，由Alexei Kitaev在2001年提出）。考虑一个简单的体系，每个原子周围只有一个电子态能级，所有原子排成一列。每个电子能级可以被看成是两个马约拉纳零能模。粗略地讲，这两个马约拉纳零能模是能级的占据态（）和非占据态（）的两种叠加和，在图中用红点和蓝点来代表。（准确地说，这里的“态”实际上是“算符”。)下一步是通过一个合适的超导配对，可以把每个原子上的蓝色马约拉纳零模和临近的红色马约拉纳零模耦合起来。这样做的结果是被耦合的马约拉纳零模变成了一个具有非零能量的能级，而在原子链两端的马约拉纳非零模被孤立了。这样如果只看这个原子链的左半边，我们就会看到一个孤立的马约拉纳零模，一个只有半个自由度的奇怪东西。

说一个东西只有半个自由度似乎很难理解，但如果我们回到整个系统，把左边和右边端点的孤立的马约拉纳费零模合起来看就比较容易理解了。左右两个马约拉纳非零模合起来等价于一个能级，具有一个自由度。也就是说，左右合起来一共有两个状态或，即这个能级中的占据数可以是0或者是1。那么为什么说这两个状态是左右两边各半个自由度，而不是，比如说，左边有一个自由度右边没有呢？因为如果对左边端点的马约拉纳零能模做任何操作（比如在那里加上一个外来的电子），造成的唯一可能效果是把变成 或者把变成。同样，对右边端点做任何操作也是把这两个状态变来变去。这就好像楼上楼下各有一个开关，控制的是同一盏电灯，所以说左右两端点各有半个自由度。如果左右两端点离得很远，没法耦合起来的话，他们共同拥有的这两个状态就必须是0能量的（因为给他们能量的唯一方式是把他们耦合起来，把原子链弯成一个环）。如果我们把其中一个态看成体系的基态，另外一个态可以看成一个具有0能量的激发态。这一零能量的激发态导致了实验中观测到的处于零电压的电导尖峰。

马约拉纳零能模不仅可以在一维原子链中实现，也可以存在于二维超导体的涡旋中。如果一个超导体中有很多涡旋（涡旋的数目是可以通过磁场来简单调节的），每个涡旋的中心有一个孤立的马约拉纳费米子，则每两个涡旋有两个能量为0的内部状态。值得注意的是，在量子体系中状态数目是相乘而不是相加的，所以2N个涡旋就有个能量为0的状态。整个超导体可以处于这些状态的任意量子叠加态上。这就是为什么人们对马约拉纳零能模如此感兴趣的原因——因为这些0能量状态是量子计算机的一个很好的候选者。这些状态对于外界的扰动非常不敏感，而唯独对涡旋之间的相对运动很敏感，这正是量子计算机所需要的。我们希望计算机存储的数据平时很稳定，但我们要去读写的时候就可以很容易改变它。在涡旋中具有马约拉纳零能模的超导体中，只要把涡旋相互绕转，就可以操控这个状态的一个量子叠加态，实现量子计算。（值得指出的是仅仅移动涡旋得到的量子计算操作是有限制的，必须加上一些其他的量子操作才能成为“通用的”量子计算机。）

一个带有马约拉纳零能模的粒子，既不是玻色子也不是费米子，而是一种全新的粒子，叫做非阿贝尔统计粒子。这些名字实在是绕口，但我们现在遇到的都是一些全新的概念，这些概念还没有一个好的简单的名字。非阿贝尔统计粒子只存在于固体材料中，而不存在于我们的空间中。所以说固体材料比我们宇宙中的空间还要丰富得多。

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