主要观点总结
本文介绍了方程的起源、发展及其在现代数学中的应用。文章提到方程从古希腊、古埃及和美索不达米亚时期开始发展，经历了字母代替未知数的引入、一次和二次方程的发展以及矩阵技巧的应用等阶段。文章还提到了方程的基本特性和解法，以及如何运用尾数假设法解方程等。
关键观点总结
关键观点1: 方程的起源可以追溯到古埃及和美索不达米亚，大约在公元前1650年左右。
当时的人们已经开始使用代数方法解决问题，古埃及文献《莱因德数学纸草书》中记载了数学问题及其解答。
关键观点2: 方程的关键点是等式中的未知数。
只有在未知数取某些特定值时，方程的两侧才会相等，这些值是方程的解。
关键观点3: 方程可以通过多种方式求解。
除了尾数假设法，还可以使用求根公式和矩阵技巧等。方程的基本特性是含有未知数的等式，形式上的等式只有在未知数取特定值时才成立。
关键观点4: 方程的发展与多个文化和历史时期有关。
从弗朗索瓦·韦达引入字母代表未知数，到勒内·笛卡尔倡导通过方程解决几何问题，再到日本数学中的和算方法，方程的发展是一个长期的过程。
关键观点5: 方程在现代数学中的应用非常广泛。
从基础代数到高级数学理论，方程都是解决数学问题的重要工具。
正文
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我们一般听到“方程”这个词时，脑海中浮现的是使用x等字母写出的等式（代数式）。然而，这种现代人熟悉的方程形式是从至少17世纪开始才有的。
据说，最早将字母用于代表未知数的数学家是法国人弗朗索瓦·韦达（1540～1603）。接着，勒内·笛卡儿（1596～1650）等法国数学家倡导通过方程来解决几何问题。由于这些数学家的推广，方程在数学领域得到了广泛的应用。
日本筑波大学研究数学史的教授礒田正美指出：“在我们这个时代，方程是解决问题的常用工具，但在历史长河中，人们用文字和图形来解决问题的时期要更加漫长。在文字形式的方程出现之前，人们通常会用假设的数来代表未知数，来解决各种问题。”
我们在接触中学数学中的方程之前，实际上已经在解决类似的问题了，只是当时没有运用字母表示。比如，在小学二年级的数学课程中，我们就会遇到这样的问题：“有一个数，加上3以后等于5，请问这个数是多少？”若是中学生来解答，他们可能会将其转化为一个方程：“x＋3＝5”。
方程的起源可以追溯至大约3000年前，那时古埃及和美索不达米亚（大致对应现今伊拉克地区）的人们已经开始使用代数方法解决问题。在古埃及，人们掌握了一次方程式的解法。而美索不达米亚的人则更进一步，他们了解如何运用二次方程的求根公式来寻找需要的平方根。此外，所谓“一次”和“二次”方程式，是根据方程中未知数x的最高次数（也就是乘方的次数）来命名的。
我们在初中学习了一元二次方程的求根公式。求根公式就像是一种“必胜法”，只要代入方程的系数就能求得答案。即使在出现文字形式方程之前的时代，求根公式也经常被使用。因为只要根据问题的内容选择适当的公式，就能得到解，所以求根公式就像是解题的“魔法”。
古埃及时期的《莱因德数学纸草书》（约公元前1650年）中记载了80多个数学问题及其解答，内容包含了分数的计算和圆面积的求解等。
公元前1650年左右编写的古埃及文献
《莱因德数学纸草书》（部分）
图片源自杂志2024年第9期
如果某个数加上它的7分之1，结果是19，那么这个数原本是多少？
如果我们用现代方程的方式重新表述这个问题，就是要求解“x ＋ 1/7x ＝ 19”中的未知数x。
在古埃及或美索不达米亚时期，数学家们通常会先随便假设一个数，比如1或2作为未知数的数值，然后通过计算得到一个结果。接着，他们会将这个结果乘以一个恰当的数值，以确保最终的答案是正确的。这种方法被称为“尾数假设法”。
如果是“x ＋ 1/7x ＝ 19”，假设我们将x设为7，那么左边就变成了8（7＋1）。当然这不是正确答案，但如果我们将整个左边乘以19/8，它就会等于右边。也就是说，假设我们放进去的数（7）乘以19/8，得到的结果（133/8）就是答案。
“方程”这个概念的起源可以追溯到中国的汉代（前202～220），据说最早出现在那时编纂的数学著作《九章算术》中。
《九章算术》是一部内容丰富的数学著作，书中包含了多种数学问题及其解答，涵盖了从土地面积的测算到利息计算等实用数学方法。全书共分为9个章节，每章都对一系列相关的数学问题进行了详细的讨论和解释。特别是在第8章“方程”中，详细介绍了解联立方程的技巧。有趣的是，“方程”这一术语，就是源自这一章的标题。
联立方程指的是一组多个方程，它们共同满足某些条件。比如在中学数学中，我们通常会学到2个未知数（x和y）的2个方程组成的联立方程式。
例如这道题：
“方程”一章中描述了一种解联立方程式的方法，用现代术语来说，此处是利用了线性代数中的“矩阵”技巧。这种方法将联立方程的系数和常数项（例如对于方程2x＋3y＝7，就是2、3和7）提取出来，并以矩阵形式排列好（针对上例，就是一个2行3列的矩阵）。然后，通过对这些行进行加减等各种运算来寻求解答。
线性变换的方法，即将系数等纵横排列进行计算，也传到了日本，并成为在日本独特发展的数学“和算”的基础。和算使用的算盘以及算木的计算方法，也是从中国传来的。
让我们简要回顾方程的基本特性和解法。方程本质上是含有未知数的等式。虽然它形式上是一个等式，但并不意味着两边总是相等。只有在未知数取某些特定值时，方程的两侧才会相等。这些使等式成立的未知数值，就是方程的解，也就是我们要找的答案。
无论将什么数代入未知数的位置，如果等式的两边始终保持相等，那么这样的等式不被称为方程，而是“恒等式”。以“5(x＋3)－7＝5x＋8”为例，不管x取何值，等式都能成立。因此，它不是一个方程，而是一个恒等式。
方程式就像是一个被“＝”号分隔的让两边保持平衡的天平。在现实中的天平上，无论是在左右两边的盘子里各自增加相同质量的物体，还是将左右盘子上的物体数量分别增加到2倍，都能保持左右两侧的平衡。方程也是这个道理。
本文摘编自《科学世界》2024年第9期，文章内容略有删改。
新媒体编辑 | 周濛
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