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【数学之美】垂心的各种优雅的性质

环球物理 · 公众号 · 物理 · 2017-06-07 21:31

正文

下面这些文字来源于我在初三数学竞赛课的一份讲义。这节课的主题本是四点共圆，但由此引出了三角形中很多漂亮的性质，让人深感数学之美。在此整理出来，献给所有还在中学读书的读者，以及早已远离中学数学的 80 后。不管大家是否喜爱数学，想必都会被这些奇妙的结论所震撼。

三角形的奇迹首先表现在各个“心”上：三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点。三条角平分线交于一点，这个点就叫做三角形的“内心”，它是三角形内切圆的圆心；三边的中垂线交于一点，这个点就叫做三角形的“外心”，它是三角形外接圆的圆心；三角形的三条中线也交于一点，这个点叫做三角形的“重心”，因为它真的就是这个三角形的重心。用力学方法可以很快推导出，它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本文后面某个出人意料的地方再次出现。

三角形的三条高也不例外——它们也交于一点，这个点就叫做三角形的垂心。

垂心看上去很不起眼，但深入研究后即会冒出很多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形将会产生出共圆的四点，因此画出三角形的三条高后，会出现大量四点共圆的情况，由此将挖掘出一连串漂亮的结论。让我们先来看一个简单而直接的结论：

定理：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。

证明：由于 ∠AFC = ∠ADC = 90°，因此 A 、 C 、 D 、 F 四点共圆，因此 ∠1 = 180° – ∠CDF = ∠A 。同理，由 A 、 B 、 D 、 E 四点共圆可知 ∠2 = ∠A 。因此 ∠1 = ∠2 。

如果把三边垂足构成的三角形称作“垂足三角形”的话，我们就有了下面这个听上去很帅的推论：

推论：三角形的垂心是其垂足三角形的内心。

证明：因为 AD 垂直于 BC，而刚才又证明了 ∠1 = ∠2，因此 ∠3 = ∠4 ，即 HD 平分 ∠EDF 。类似地， HE 、 HF 都是 △DEF 的内角平分线，因此 H 是 △DEF 的内心。

另一个有趣的推论如下：

推论：将 △ABC 沿 AC 翻折到 △AB’C ，假设 EF 翻折到了 EF’ ，则 EF’ 和 DE 共线。

证明：这可以直接由上图中的 ∠1 = ∠2 推出。

1775 年，Fagnano 曾经提出了下面这个问题：在给定的锐角三角形 ABC 中，什么样的内接三角形具有最短的周长。这个问题就被称作“Fagnano 问题”。 Fagnano 自己给出了答案：周长最短的内接三角形就是垂足三角形。下面我们就来证明这个结论。

定理：在 △ABC 的所有内接三角形中，垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。

证明：像上图那样，把三角形翻折五次，得到折线段 DEF1D2E2F3D4 。这条折线段的总长度等于内接三角形 DEF 周长的两倍。注意到，由前面提到的垂足三角形的性质可知，这条折线段正好组成了一条直线段。另外，注意到如此翻折之后， BC 和 B2C2是平行且相等的，而且 D 和 D4 位于两线段上相同的位置，因此从 D 到 D4 的折线段总长以直线段 DD4 最短。这就说明了，垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。

不过，这还不够震撼，垂心还有不少的本事。四点共圆还会给我们带来其它的等角。

定理：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。

证明：由于 ∠BFH = ∠BDH = 90°，因此 B 、 F 、 H 、 D 四点共圆，因此 ∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2 。

这将给我们带来了下面这个非常漂亮的推论。

推论：把 △ABC 的垂心 H 沿 BC 边翻折到 H’ ，则 H’ 在 △ABC 的外接圆上。

证明：由于 H 和 H’ 沿 BC 轴对称，因此 ∠H’ = ∠1 。而前面已经证明过了， ∠1 = ∠2 。因此， ∠H’ = ∠2 。而 ∠H’ 和 ∠2 都是 AC 所对的角，它们相等就意味着 A 、 C 、 H’ 、 B 是四点共圆的。

换一种描述方法，这个结论还可以便得更酷：

推论：把 △ABC 的垂心 H 沿三边分别翻折到 H1 、 H2 、 H3 ，则 A 、 B 、 C 、 H1、 H2 、 H3 六点共圆。

证明：这可以直接由前面的结论得到。

另一个更加对称美观的结论如下：

推论：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足， H 是垂心，则 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。

证明：做出 △ABC 的外接圆，然后延长 HD 、 HE 、 HF ，它们与外接圆的交点分别记作 H1 、 H2 、 H3 。前面的结论告诉我们， HH1 = 2HD ， HH2 = 2HE ， HH3= 2HF。而相交弦定理（或者圆幂定理，可以用相似迅速得证）告诉我们， AH·HH1= BH·HH2 = CH·HH3 。各等量同时除以 2 ，就有 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。

让我们再来看一个与外接圆有关的定理。

定理：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足， H 是垂心。过 C 作 BC 的垂线，与 △ABC 的外接圆交于点 G 。则 CG = AH 。

证明：我们将证明四边形 AHCG 的两组对边分别平行，从而说明它是一个平行四边形。注意到 CG 和 AD 都垂直于 BC ，因此 CG 和 AD 是平行的。由于 ∠BCG 是直角，这说明 BG 是圆的直径，也就说明 ∠BAG 也是直角，即 GA 垂直于 AB 。而 CF 也垂直于 AB ，所以 AG 与 CF 平行。因而四边形 AHCG 是平行四边形， CG = AH 。

它也能带来一个更帅的推论：

推论：若 H 是 △ABC 的垂心，O 是 △ABC 的外心，则 O 到 BC 的垂线段 OM 与 AH 平行，并且是 AH 长度的一半。

证明：前面我们证明了，上图中的 CG 与 AH 平行且相等。注意到 BG 是外接圆的直径， BG 的中点就是圆心，也就是 △ABC 的外心 O 。垂线段 OM 是 △BCG 的中位线，它平行且等于 CG 的一半，从而也就平行且等于 AH 的一半。

好了，下面大家将会看到的就是初等几何的瑰宝：

推论：三角形的垂心、重心和外心共线，且重心在垂心和外心连线的三等分点处。

证明：把 AM 和 HO 的交点记作 X 。刚才我们已经证明了， AH 与 OM 平行，且长度之比为 2:1 。因此， △AHX 和 △MOX 相似，相似比为 2:1 。由此可知， HX:XO = 2:1 ，即 X 在线段 HO 的三等分点处。另外， AX:XM = 2:1 ，也就是说 X 在三角形中线 AM 的 2:1 处。这说明， X 正是三角形的重心！

任意给定一个三角形，它的垂心、重心和外心三点共线，且重心将垂心和外心的连线分成 1:2 两段。这个美妙的结论是大数学家 Euler 在 1765 年时发现的，它是众多“Euler 定理”的其中之一。

说到 Euler 定理，九点圆是不能不提的；不过由于篇幅有限，也就到这儿为止了。垂心的性质还有很多，很难在一篇文章里把它们讲完。而且，这还仅仅是与垂心相关的定理，三角形中的心还有很多很多。1994 年，美国数学教授 Clark Kimberling 开始收集历史上被数学家们研究过的三角形的心，并建立了“三角形中心百科全书”的网站。这个网站记录了几乎所有目前已知的三角形的心。在这部百科全书里，每个三角形的心都有一个编号，编号为 n 的心就用符号 X(n) 来表示，其中 X(1) 到 X(8) 分别为内心、重心、外心、垂心、九点圆圆心、类似重心、 Gergonne 点和 Nagel 点。不但每个心都有自己独特的几何性质，各个心之间还有大量共线、共圆的关系。

这个网站的地址是：

http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html 。

目前，整个网站已经收集了 3000 多个三角形的心，且这个数目还在不断增加。

* 来源：Matrix67博客

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