挂谷猜想——新证明穿针引线到一个粘性几何问题上

一项新的证明标志了在解决挂谷猜想方面取得了重大进展，挂谷猜想是一个看似简单的问题，但却是一系列猜想的基础。

1917年，日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了一个乍看只不过是个有趣的几何练习的问题。 将一根无限细、一寸长的针放在平坦的表面上，然后旋转它，使其指向各个方向。针可以扫过的最小面积是多少？

如果你简单地围绕它的中心旋转它，你就会得到一个圆。但可以用创造性的方式来改变方向，这样你划出的地方就可以更小。 此后，数学家提出了这个问题的一个相关版本，称为 挂谷猜想 （Kakeya conjecture） 。

在尝试解决这个问题的过程中，他们发现了该猜想与调和分析 ^[1] 、数论甚至物理学的惊人联系。

“不知何故，这种指向许多不同方向的线条的几何形状在很大比例的数学领域中无处不在。”爱丁堡大学的乔纳森·希克曼（Jonathan Hickman）说。

但这也是数学家们仍未完全理解的东西。在过去的几年里，他们在更简单的设置中证明了挂谷猜想的变体 ^[2] ，但在正常的三维空间中这个问题仍然没有得到解决。 尽管后来有许多数学成果，但一段时间以来，该版本的猜想似乎所有进展都停滞了。

现在，可以说，两位数学家已经取得了重大进展。 他们的新证明 ^[3] 消除了几十年来一直存在的一个主要障碍——重新燃起了最终出现可能解的希望。

最小的样子？

挂谷对平面中每个方向都包含长度为1的线段的集合感兴趣。 这样的集合有很多例子，最简单的是直径为1的圆盘。挂谷想知道最小的这种集合会是什么样子。

他提出了一个边稍微凹陷的三角形，称为三角旋轮线（deltoid，又称tricuspoid三尖瓣线，Steiner曲线），它的面积是圆盘的一半。 然而事实证明，还可以做得更好。

右侧的三角旋轮线是圆盘大小的一半，并且两根针都在各个方向旋转 图源：Merrill Sherman|Quanta

1919年，就在挂谷提出问题几年后，俄罗斯数学家艾布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch，1891 - 1970）证明， 如果你以一种非常特殊的方式排列你的针，可以构造一个看起来有刺的集合，它的面积是任意小的。 （由于第一次世界大战和俄国革命，他的成果在很多年内都没有传到数学界的其他地方。）

要了解其工作原理，请取一个三角形并沿着底部将其分成更薄的三角形。然后滑动这些薄片，使它们尽可能重叠，但突出的方向略有不同。

通过一遍又一遍地重复这个过程——将你的三角形细分成越来越薄的薄片，并小心地在空间中重新排列它们——可以使你的集合尽可能地小。

在无限的极限中，你可以获得一个在数学上没有面积的集合，但矛盾的是，它仍然可以容纳任何指向的针。

“这有点令人惊讶和违反直觉，”加州大学伯克利分校的张瑞祥说。“这是一个非常病态的集合。”

该结果可以推广到更高的维度： 可以构建一个任意小的体积的集合，该集合包含指向n维空间中各个方向的单位线段。

日本数学家Sōichi Kakeya（挂谷宗一）问，指向所有可能的方向时，针头可以扫过多大的面积 图源：东京大学数学科学研究生院

贝西科维奇似乎已经完全解决了挂谷的问题。 但是几十年后，数学家开始处理另一个版本的问题，在该问题中，他们以不同的大小概念替换了面积（或在高维情况下的体积）。

要了解这个问题的重新构造，请首先将每条线段放入挂谷集合，然后将其稍微变厚一点 —— 就好像你在使用实际的针，而不是理想化的针头一样。在平面上，你的集合将由极其薄的矩形组成。在三维空间中，你将得到极其薄的管状集合。

这些稍稍厚一点的集合始终具有一定的面积（或体积，但我们仍讨论二维情况）。当你更改针的宽度时，该面积将会改变。 在1970年代，数学家罗伊·戴维斯（Roy Davies，1927 - 2023，上个月去世）证明，如果总面积发生少量变化，则针的宽度必须大幅变化。

例如，如果你希望贝西科维奇集合的厚版本的面积为1/10平方英寸，则针的厚度都必须大约为0.000045英寸，精确地讲是e⁻¹⁰英寸。但是，如果你想使总面积变成1/100平方英寸（小10倍），则针必须为e⁻¹⁰⁰英寸厚（小数点之后在到达其他数字之前有43个零） 。

普林斯顿大学的查尔斯·费弗曼（Charles Fefferman）说：“如果你告诉我你想要的面积有多小，那么我就必须要求得到一根细得令人难以置信的针。”

数学家使用称为 闵可夫斯基（Minkowski）维数 的量来测量挂谷集的“大小”， 该量与普通维数（定义为描述一个空间所需的独立方向的数量）相关，但并不完全相同。

这种形状，如果发展到极端，其面积可以是零，但其内部的针头却可以指向各个方向 图源：Merrill Sherman|Quanta

以下是考虑Minkowski维数的一种方法： 将你的集合用微小的球盖住它，每个球的直径是你偏好的单位的一百万分之一。如果你的集合是一个长度为1的线段，则你至少需要100万个球才能覆盖它。

如果你的集合是面积为1的正方形，你将需要更多球的个数：100万的平方即1万亿（trillion）。对于覆盖体积为1的球体，这时所需小球的个数约为100万的立方（百亿亿个，quintillion），依此类推。

Minkowski维数是该指数的值。随着每个球的直径变小， 它度量着 你需要用来覆盖你的集合的球数增长速率。线段是1维，正方形是2维，立方体是3维。

这些维度很熟悉。但是使用Minkowski的定义，可以构造一个譬如2.7维的集合。尽管这样的集合并不能填满三维空间，但在某种意义上，它比二维表面“更大”。

当你用给定直径的球覆盖一个集合时，你将逼近该集合厚版本的体积。针的大小和集合的体积减小得越慢，覆盖所需的球数就越多。

因此，你可以重写Davies的结果（断言平面上的挂谷集面积是缓慢减小的），从而证明该集合必须具有Minkowski维数2。 挂谷猜想将此结论推广到更高的维度：挂谷集必须始终具有与所居住空间相同的维数。

这个简单的命题却出人意料地难以证明。

猜想之塔

直到费弗曼在1971年进行了惊人的发现 ^[4] ，挂谷猜想被视为一个罕见奇闻。

当时他正在研究一个完全不同的问题。 他想了解 傅里叶变换 （Fourier transform） ，这是一种强大的工具，可以让数学家通过将函数写成正弦波之和来研究函数。

想象一个音符，它由许多重叠的频率组成。（这就是钢琴上的中音C听起来与小提琴上的中音C不同的原因。） 傅里叶变换允许数学家计算特定音符的组成频率。同样的原理也适用于像人类语音这样复杂的声音。

数学家还想知道，如果只给出无限多个组成频率中的一些频率，他们是否可以重建原始函数。他们非常了解如何在一维上做到。

但在更高的维度中，他们可以对使用哪些频率和忽略哪些频率做出不同的选择。令其同事惊讶的是， 费弗曼证明，当依赖一种特别众所周知的选择频率的方式时，你可能无法重建你的函数。

他的证明取决于通过修改贝西科维奇的挂谷集构造一个函数。这后来激发了数学家对傅立叶变换高维行为的一层层猜想。

如今，该层次结构甚至包括有关物理学中重要偏微分方程（例如薛定谔方程）行为的猜想。层次结构中的每一个猜想都会自动蕴含其下面的猜想。

挂谷猜想就位于这座塔的底部。如果它为假，则层次结构中较高的命题也为假。另一方面，证明它是正确的并不会立即蕴含位于它上层的猜想为真，但可能提供了攻克它们的工具和洞察。

“挂谷猜想的惊人之处在于，这不仅是一个有趣的问题；它是一个真正的理论瓶颈，”希克曼说。“我们不了解偏微分方程和傅立叶分析中的很多这些现象，因为我们不了解这些挂谷集。”

孵化计划

费弗曼的证明，以及随后发现与数论、组合和其他领域的联系，恢复了顶级数学家们对挂谷问题的兴趣。

1995年，Thomas Wolff（托马斯·沃尔夫，1954 - 2000）证明了3维空间中挂谷集的Minkowski维数必须至少为2.5。 事实证明，这个下限很难提高。

然后，在1999年，数学家Nets Katz（内茨·卡茨，1972 -）、Izabella Łaba（伊莎贝拉·拉巴，1966 -）和Terence Tao（陶哲轩，1975 -）成功攻克了它。

他们的新下界是：2.500000001。 尽管改进很小，但它克服了巨大的理论障碍。他们的论文发表在该领域最负盛名的期刊《数学年鉴》 Annals of Mathematics 上 ^[5] 。

卡茨和陶哲轩后来希望应用该工作中的一些想法，以不同的方式攻克3维挂谷猜想。他们假设任何反例必须具有三个特别的性质，并且这些特性的共存必然导致矛盾。如果他们能证明这一点，那意味着挂谷猜想在3维上是正确的。

他们没有一路前进，但确实取得了一些进步。特别是， 他们（与其他数学家一起）证明，任何反例必须具有三个性质中的两个。即反例必须是“ 平坦的 ”（plany） ，这意味着每当线段在某一点相交时，这些线段也几乎位于同一平面。 反例也必须是“ 颗粒状的 ”（grainy），即要求交点附近的平面具有类似的朝向。

这就剩下第三个性质了。在“ 粘性 ”（sticky）集合中，指向几乎相同方向的线段也必须在空间中彼此靠近。卡茨和陶哲轩无法证明所有反例都必须具有粘性。但直观上，粘性集似乎是强制线段之间大量重叠的最佳方式，从而使集合尽可能小——这正是创建反例所需的。

如果有人能够证明粘性挂谷集的闵可夫斯基维数小于3，那么就会反驳3维挂谷猜想。“听起来‘粘性’是最令人担忧的情况，”麻省理工学院的拉里·古斯（Larry Guth，1977 -）说。

这一点不再需要担心。

粘性点