编者按：
李邦河院士于 2009 年 4 月在中国数学会厦门学术年会上荣获“华罗庚数学奖”。
本文是李院士在这次年会上所做的公众报告，他在报告中谈到一个重要的思想：
数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧。
因为中小学数学里面的概念比较少，所以就在一些难题、技巧上下功夫，这恰恰是舍本逐末的做法，值得所有的数学教育工作者深思。
非常感谢市科协和我们的校领导给我这个机会，在这里和同学们见面，一起交流一下对数学的看法。首先我的题目是数的概念的发展，我猜想，相当一部分同学对这个题目不感兴趣，原因就是大多数人在中学学习数学时，会认为数学重要的不是概念，重要的是解题，比如几何题要会画辅助线，还有数学竞赛中比较难的题目。
那么数的概念是什么呢，大家知道有理数啊，一看就知道了，绝大多数同学不会去记这个定义，什么是有理数的定义？几何的概念也不易被重视，因为什么是三角形，正方形，矩形，菱形，一看就知道。中学数学容易给人一种错觉，概念是不重要的，对于数学重要的是技巧。很多人上了大学，哪怕是到了数学系也抱着这种看法。
根据我上大学以后搞数学研究的经验，
数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。
技巧不足道也！熟能生巧，数学竞赛的人都是要培训的，巧都是学来的。数学概念是人类智慧的结晶，首要表现在概念的形成。
我们现在觉得自然数 1，2，3，4 很自然，但人类发展历史中能认识“1”是非常不简单的。早期人们并不知道“1”，“1”是从大量的“一头牛、一头羊” 中抽象出来的。所以从哲学的观点去想，“1”是了不起的，而“0”更是了不起。中国古代没有 0 这个数字，用算筹表示数字，一根筷子是 1，两根筷子是 2，用空着的位置表示 0。但 0.101 怎么表示，我不知道。最早是印度数学家发明 0 的，认识到 0 也是个数，要用圈这个符号来表示，是很了不起的。负数更是了不起，西方认识到负数是非常晚的，大概十四五世纪。
欧洲数学中几何出现比较早，欧几里得几何是希腊时期，公元前二三百年就有几何，但没有负数实数概念。当时如果比出来不是有理数的话还不能接受，叫不可公度；负数的观念这时也没有。但我们中国在公元前二三百年就有了负数概念，西汉时期《九章算术》有解线性方程组的消去法的完整步骤，就出现负数。
中国古代对无理数的概念在理论上是没有的，但在实际上是有的，小数后面多少位都行。比如
这个数，祖冲之曾算到 3.1416，并知道可以无限往下算，这就有了无穷逼近的思想，极限的观念基本上有了，但是概念上并没有明确提出。无理数概念的明确提出是到了微积分的时期，这时才对实数做了一个完整的描述，由柯西序列的等价类来定义，这个时候实数理论才完备。
真正搞数学的人知道要弄清楚这个也并不容易，进入高等数学后概念比较多，对概念不重视的人，学多了就糊涂了。微积分的概念还不是很多，但学高等代数、线性代数里面就有很多概念，如果不重视基本概念，对于知识爆炸的大学数学，你是学不好的。微积分里最大值最小值，微分中值定理你有没有记得很清楚，会不会用，泰勒展开的麦克劳林余项，有没有记着？
要用基本的东西去解决问题，而不是玩技巧，可以说用到某个定理就是最大的技巧。
中学数学里概念就很少，只能出很难的题，来看谁的水平高。到大学里重要的则是基本概念，这个东西掌握得很透，才能达到高水平。到了研究生之后，基础数学里面的代数数论、代数拓扑、微分拓扑里头，概念更是爆炸，都很难理解，不下功夫是不行的，因为对象很复杂。我希望喜欢数学的人千万要重视基本概念，不仅要记住，还要通过具体的例子来深入地理解。
那么什么是概念呢？概念是一个抽象的东西，它包含了大量的具体的东西。一个概念越抽象涵盖的具体的事物越多，即外延越广。比如，刚刚讲的“1”这个例子，它可以涵盖一个苹果、一个梨、一头牛。自然数是数学里最简单的了，可见我们的起步就很抽象。
抽象和具体也是相对而言。1，2，3，4 等对于具体事情来说是抽象的，而对于我们数学来说，又没有比它更具体的。有理数比整数复杂了一点，无理数更复杂，它是无限不循环小数，但这对于我们搞数学的来说都很具体。我们每上一个台阶，以前抽象的东西就具体了。客观世界非常复杂，有时候你不得不抽象，否则描述不了。
有理数、无理数之后是复数，这时候已经到了高斯的时代，在牛顿、莱布尼兹之后的时代还接受不了。首先是，
，这个
，开始大家都不承认它是数。高斯画出
轴，
轴，用
表示一个向量的时候，这就比较具体了，大家才觉得可以接受。接受之后，人们发现它很有用，有很多值得研究的，于是有了大量研究。
复变函数论中的留数定理，在计算定积分时将实数延拓到复平面上，就可以把原来在实轴上解决不了的定积分算出来，这对于热爱数学的人来说就会觉得太神奇了，这都归功于复数的概念。再发展到后来就是四元数，就是
，
，
，
，
，
，但是
。
在中学时人们学交换律、分配律可能觉得毫无意思，因为感觉总是成立。可是这并不总是成立的，到四元数时乘法交换律便不成立了。然后到八元数，八元数就是八个实数形成的一个数，对八元数乘法结合律就不成立了。这个时候你才知道数的结合律有多宝贵，是多么好、多么可爱的性质。
四元数八元数还算具体的，到了大学里，大家还要学“抽象代数”，那个“数”就乱套了，任何对象都可以是数，这个数只要有个加法或乘法就够了。乘法满足结合律，有单位，有逆元素就叫群了。那里面的元素是不是数，都认为是一样的。整数在加法之下也构成加法群。所以，群的元素可以说是与整数、有理数是一样的，这就使我们从更广的概念理解什么叫数。
数学研究的东西，从大的方面来说，里面就有一对矛盾：一边是数，一边是形。形就是几何图形。最大的抽象逃不出数、形这两个东西。凡是可以进行代数运算的，比如群可以算，矩阵可以乘和加，都可以认为是数。而形就是几何图形，什么流形，地球，皮球，棱台，环面，三角形是形。三角形的边长呀，角呀，这是数。所以说，整个数学就是把形和数胶在一块，互相转化，互相表示。
数学基本的矛盾就是数和形的矛盾。有了抽象代数以后，我们的数的概念大大扩充了。对群感兴趣的人有物理学家、化学家、数学家。物理学家离不开群，比如到了原子物理，群就是物理学家的有力武器。这也是我们数学对其他学科的贡献。
比群复杂的有环、域还有代数，在抽象代数里都可以学到。域，加减乘除都有，最简单的域只有 0 和 1 两个元素，但是它有加减乘除，加法、乘法都满足交换结合，分配律。这些在中学数学里看起来不起眼的东西，使我们能够推广，推广之后使得两个元素便构成一个域。对任何一个质数
，
，
，
，
，
，就构成一个域。这是非常有用的。
还有，比如 Clifford 代数，它是这样的，
，
；
，
；
，
加法是每个位置相加，现在要定义一个乘法，规律是
，
。
按照这个规律，定义了加法和乘法，这个加法满足交换律也满足结合律，乘法不满足交换律却满足结合律，分配律是成立的。这样定义的代数就叫 Clifford 代数，对于任何一个
，都有一个。这个东西跟我们前面说的有什么关系呢？
=1 的时候的 Clifford 代数，
就是
，
，这就是我们熟知的
，所以这个时候 Clifford 代数就是复数域。然后，
时，
，
，Clifford 代数是四元数体。但是，
的时候，它是八维的，跟八元数不一样，它是可以结合的，而八元数是不可以结合的。八元数的特点是，每个不等于零的元素可逆，因此是可除代数。
那么可除代数是否只有一、二、四、八元数？有没有其它维的呢？当年的数学家，肯定对很多
都进行了试验，最后结果就没有发现别的。这是因为人们试验得不够，还是因为它事实上就没有呢？我们等会再说。
上世纪六十年代，引进了非标准分析，在非标准分析里面，有非标准分析的实数域，复数域。这些概念是数的概念重要的发展。
当年牛顿、莱布尼兹发明微积分时，是有无穷小的概念的想法的。牛顿的流数，一会是 0，一会不是 0，说不清楚，而莱布尼兹就说有种数叫无穷小，它比任何数都小。所以说当年发明人是使用了无穷小无穷大这个概念的，但是这个概念不严格。所以，后来数学发展中，就不采用无穷小概念了，用
，
来代替。但是物理学家他们没有严格地用
，
，他们就用无穷接近来表示极限，并且无穷小、无穷大的概念是经常用的，而两个概念是相对而言的。
当我们研究月亮绕地球运动的时候，用牛顿力学中的引力定律的时候，不就是把地球这么大的东西看成了一个点嘛。物理学家认为只要能解决问题就可以。但是数学家想在理论上完善它。到了上世纪六十年代，创立非标准分析的人发现，可以把牛顿莱布尼兹当年关于无穷小无穷大的想法严格化。当年是因为没有找到严格化的程序，所以不再采用这种概念。我认为，这也是数的概念发展中非常重要的事情。非标准分析中的实数域、复数域现在还没有被大家所普遍接受，但是我相信有一天会被大家接受的，就像复数的发展历程一样。
我现在要讲为什么只有一、二、四、八元数。我们要来证明。民间数学家中有人研究这个，我以前碰到一个人说他搞出来一个三元的，我告诉他不可能，这是为什么呢？
维欧氏空间
：其中
，有内积
，有长度
，令
，
元数要求乘法满足，
，有单位元
。若
，则
，所以由
到
的映射是
的正交变换。因此
，
，…，
是相互垂直的。
