1.  二维离散傅里叶变换

DFT 是 Discrete Fourier Transform 即离散傅里叶变换的简称。二维离散傅里叶变换（2D Discrete Fourier Transform，简称 2D DFT）是将二维离散信号（例如数字图像）从空间域变换到频率域的一种数学工具。

1.1 定义

二维离散傅里叶变换的定义如下：

设 f(x,y) 是一个 M×N 的图像，其中 x=0,1,…,M−1 和 y=0,1,…,N−1。则其二维离散傅里叶变换 F(u,v) 定义为：

其中，u=0,1,…,M−1 和 v=0,1,…,N−1。

二维离散傅里叶逆变换：

1.2 矩阵乘法表示

二维离散傅里叶变换可以表示为矩阵乘法，这是一种更直观、更易于理解的表示方式。

其中，

• F 是 M×N 的傅里叶变换矩阵，代表变换后的图像在频率域的数据。

• f 是 M×N 的图像矩阵。

• W 是 M×N 的傅里叶变换基矩阵，由傅里叶变换系数构成。

傅里叶变换基矩阵 W 的元素定义为：

矩阵乘法表示傅里叶变换的过程，是将原始图像每个像素值与基矩阵中对应元素进行乘积并求和，得到变换后的每个频率分量。

二维离散傅里叶逆变换使用矩阵乘法表示：

其中， 是 W 的共轭转置。

矩阵乘法表示的优势:

• 简洁直观：用矩阵乘法表示二维离散傅里叶变换，可以直观地理解变换过程，并将计算过程转化为矩阵运算，方便计算机实现。
• 易于编程：矩阵乘法是编程中常用的操作，可以用各种编程语言方便地实现二维离散傅里叶变换。
• ⾼效计算：基于矩阵乘法的快速傅里叶变换（FFT）算法，可以显著提高计算效率，是图像处理中常用的傅里叶变换实现方法。
• 便于扩展：矩阵乘法可以扩展到更高维度的傅里叶变换。

二维离散傅里叶变换按照定义的公式来计算，其计算量非常大。在实际应用中，通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算二维离散傅里叶变换。 FFT 算法可以将二维离散傅里叶变换的计算量从 降低到 。

2.  二维离散傅里叶变换的性质

2.1 尺度变换

如果图像在空间域中进行尺度变换，则其傅里叶变换在频率域中会发生相应的尺度反变换。

f(x,y) 将其沿着 x 方向缩放 s 倍，或者沿着 y 方向缩放 t 倍，则其傅里叶变换 F(u,v) 沿着 u 方向缩放 1/s 倍，或者沿着 v 方向缩放 1/t 倍。

2.2 平移性

如果 f(x,y) 沿着 x 方向平移 p 个单位，或者沿着 y 方向平移 q 个单位，则其傅里叶变换 F(u,v) 沿着 u 方向平移 −p 个单位，或者沿着 v 方向平移 −q 个单位。

该性质意味着图像在空间域中平移，其傅里叶变换在频率域中对应方向上发生平移。

2.3 旋转不变性

如果 f(x,y) 绕原点旋转 θ 角度，则其傅里叶变换 F(u,v) 绕原点旋转 −θ 角度。

该性质意味着图像在空间域中旋转，其傅里叶变换在频率域中对应方向上旋转。

2.4 周期性

二维离散傅里叶变换的周期性体现在以下两个方面：

• 水平方向周期性：将二维离散傅里叶变换的结果沿水平方向平移 M 个单位（即图像宽度），则结果将与原始结果相同。即：
• 垂直方向周期性：将二维离散傅里叶变换的结果沿垂直方向平移 N 个单位（即图像高度），则结果将与原始结果相同。即：

二维离散傅里叶变换的周期性可以用以下公式来表示：

其中，k 和 l 是任意整数。

2.5 共轭对称性

二维离散傅里叶变换的实部和虚部具有共轭对称性。即

该性质意味着二维离散傅里叶变换的频谱在实轴和虚轴对称。

2.6 傅里叶频谱和相角

二维离散傅里叶变换通常是复函数，因此可以用极坐标形式表示：

幅度 ：

其中，x=0,1,…,M−1 和 y=0,1,…,N−1。

根据卷积定理，有：

其中，G(u,v)、F(u,v) 和 H(u,v) 分别是 g(x,y)、f(x,y) 和 h(x,y) 的二维离散傅里叶变换。

3.  示例