数学史上的鬼才——伽罗瓦拉马努金

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2017-05-08 22:27

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数学史上的鬼才——伽罗瓦拉马努金

来源：知识探索

编辑：Gemini

在数学史，有那么两人都很大程度地撼动了历史，极大地推动了数学这门学科的发展，可谓是数学“鬼才”。他们的名字叫做伽罗瓦和拉马努金

伽罗瓦

伽罗瓦1811年生于法国，大学两次落榜，还在面试时向一位提出无聊问题的教师丢了黑板擦。当然，代价就是他落榜了。血气方刚的伽罗瓦在热衷于数学的同时还在支持共和主义，曾参加过一些政治活动。

17岁时他将论文送至数学家柯西处，却被遗失了。于是他又再一次将论文送到数学家傅里叶处，可是这次傅里叶却突然死亡，论文再次遗失了......这样几次三番走背运，让他在政治活动中表现得更加激进。而当他第三次将自己的论文送出时，由于论文的内容太过超前，当时的数学家们，甚至连大数学家高斯都不能充分理解。

1832年5月29日夜里，伽罗瓦为了一个女人而加入了一场决斗。也有说法认为那是一场政治阴谋。在那天夜里，伽罗瓦将自己的数学观点的断片匆匆忙忙地记了下来。并补充写道：“我脑海中的思想正在蔓延！可是没有时间了。”而后在第二天的决斗中伽罗瓦战败了，结束了他年仅20岁的年轻生命。可能因为他自由洒脱的生活方式，以至于在他生前和死后一段时间都没有任何关于他的评价，甚至于他葬身何处都无从知晓。

可是过了几十年后，人类终于理解了伽罗瓦论文的意义和里面那些伟大的想法。那些处于时代先驱的想法远远凌驾于他所处时代的其他数学家们。那美妙的想法让事物的本质都浮现出来，简直可以说从中诞生了现代数学的伟大理论！

即使到了现在，“伽罗瓦理论”依然是了不起的理论。现在包括物理、生物等科学领域都能看到“伽罗瓦理论”高雅美丽地存在着。

伽罗瓦具体研究的是“解五次以上方程式的公式”。大家知道2次方程式的解题公式吗？在中学时一定已经见过了。这个公式很久以前就已经广为人知了。三、四次方程式的解题公式运用到了一些完全平方公式和因式分解的内容，于16世纪发现。

当时人人都认为五次方程式解答的突破之日也即将到来，所以每个人都希望自己能成为那第一位发现者，因此大家一边进行各种各样的变形和计算一边唇枪舌剑。

可是伽罗瓦面对这个问题时，在根本的层面上就转换了视角。说到底，这个公式到底是否存在呢？他在这个问题上追根究底，深入透视其“本质构造”，然后证明了在一般情况下，解开五次以上方程式的公式是“不存在的”。（实际上，最先证明这一事实的是阿贝尔。不过伽罗瓦更加透彻地描述了这个问题的本质构造，一举决定了什么的方程式才存在解题公式，与此同时又打开了通往现代数学的大门。）

那时，他将“数”从“可以进行四则运算的集合”这一概念革新为更抽象，更广阔的概念。除此之外，他还注意到了方程式的解之间存在的对称性，并从抽象的“数字模拟”的构造中对其进行解读。

在这里我们将详细内容省略，只描述一下大概的情况。开始的时候，有的人只知道“整数”。可是在解答方程式的时候，一般会出现到目前为止都未知的“数”。

将这些未知的数包含进来，使它们也能符合四则运算的规则，于是一个更加宽广的数的世界就此诞生了，我们将它称作“上层的世界”。

就这样，通过一次一次地解答着方程式，我们就一步一步地向着更上层的数的世界里攀升。

那么，假设我们来一次恶作剧，将居住在上层世界的“解们”替换掉几个，那么与此相伴，这些上层世界里的“居民”开始不停地更换席位。不过下层世界里的人们对上层世界中的更迭几乎完全无知无觉。这些解之间的“关系顺序”决定了座位怎样更替，这便是计量解的对称性的晴雨表。这样一来，数字的世界和晴雨表中的世界就像照镜子一样完美地相互对应着。当有“解题公式”存在时，这种表达上下关系的晴雨表仅限于“具有非常特殊的某种对称性”。五次以上方程式的解未必具有这种特殊的对称性，所以一般没有解题公式。

这简直就像是在欣赏画作一般在欣赏数学的划时代瞬间。

他的奇思妙想让数学向着现代数学、向着更艺术更具音乐性的方向踏出了一大步。

伽罗瓦所处的时代正是近代欧洲社会和政治最为动荡的动乱期。当然也许正因为如此，才诞生出了像伽罗瓦这样伟大又独特的天才。

拉马努金

数学家拉马努金（1887-1920）是一位天才数学家，被称为印度的魔术师。据说他根本不知道“证明”的概念。他只是一位普通的职员，单纯地觉得数学的世界很有趣，想要跟数字玩耍。

据他说，在他睡觉的时候，女神纳马吉里突然出现，向他传达了毫无根据的公式。那个公式是那么不可思议又意义深远，以至于让人分辨不出他到底是一个天才还是一个魔法师。

拉马努金提出了大量公式时，还是一个无名之辈，一开始的时候，英国数学家哈代认为那些肯定都是些无聊错误的公式，不过是痴人说梦罢了。

可是那些来历不明又不可思议的公式，在研究和推敲后，却发现居然都是成立的。或者说，拉马努金看问题的方法可以说是正确的，有某种意义存在。可是却无论如何也找不到任何的证明和根据，并且在数学的世界中前所未闻。

哈代后来意识到拉马努金简直是一个伟大发现的大宝库！于是开始竭尽所能地支持他，没有轻易地无视这位天才，哈代也非常了不起。

拉马努金的发现（例如他发现了二次欧拉积分的泽塔函数）极大地撼动了数论的世界，使数论有了极大的进步。

拉马努金无与伦比的独创性让世人得以领略数学世界深处的隐秘美景。

据说拉马努金一生之中总共导出了3254个公式。其中不乏让数学家们困扰良久的大猜想。在解开那些猜想的过程中，那些沉睡在深处的相关理论也被发掘出来。如果没有他的猜想，数论的发展可能会推迟数百年。

现在他的很多公式都已经得到了证明，不过为什么他会有如此伟大的发现，他的动机和线索是什么，有很多目前为止都还是未解之谜。为什么他会想出那样的公式呢？究竟是进行什么样的运算时得出了这样的公式呢？如果能了解他的想法，应该就能了解到潜藏在公式成立的理由背后的更深层背景。也正因为如此，人们至今仍在追寻拉马努金那笼罩在神秘面纱下的思想。

或许这些伟大发现的契机真的就只是“从女神那里得到的指引”。

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