换个角度理解布莱克-斯科尔斯-莫顿公式

1973年发表在《 Journal of Political Economy 》的文章《 The Pricing of Options and Corporate Liabilities 》对于金融学界和业界具有极其重要的意义。这种重要性不仅仅在于它后来使作者获得了诺贝尔经济学奖，也在于它开启了期权交易的新时代。在文章中的期权定价公式（后人称之为“布莱克-斯科尔斯-莫顿”公式），首次解决了前人研究中关键模型参数不可观测的问题，为期权的公允价格找到了归宿。交易所的期权成交量由此开始了爆发性的增长，如今期权作为金融风险管理的重要工具，在全世界几十个国家和地区进行交易，帮助人们实现风险转移。有人这样称赞这个公式，说它是“ 唯一一次金融学者的研究走在了实务界的前面 ”。说得可能有一些夸张，但细细梳理一下，好像除了法玛和弗兰奇的三因子模型可以勉强算是另外一个，其他真是找不出来了。

这个公式是如此的重要， 以至于华尔街量化分析师的面试里有一个几乎必问的题目：请用七种不同的方法推导出布莱克-斯科尔斯-莫顿公式。在大学课堂里，讲到期权或者衍生品，这个公式也是无论如何必须讲授的。不过很多学生虽然可以将公式倒背如流，却未必对这个公式真正理解。本文跟读者分享几个“独特”的视角，以期能够帮助读者进一步加深对这个经典公式的理解。

我们知道，布莱克-斯科尔斯-莫顿公式如下图所示：

首先观察到这个公式的右边相当于融资买股票，融资金额为 N(d2) * K * e^(-r*(T-t))，买的股票数量为 N(d1)。这意味着看涨期权在本质上相当于加杠杆买股票，而 杠杆比率 为：

根据持有成本模型，期货价格 F 等于 S * e^(r*T-t)，因此杠杆比率可以写成：

仔细观察这个表达式，你会隐隐感觉到 分母所代表的含义是期权到期日标的资产的某种平均价格。这个平均价格等于标的资产所对应的期货价格乘以一个调整项，N(d1) / N(d2) 。这个观察很重要，下面我们会多次看到它的身影。

现在我们对布莱克-斯科尔斯-莫顿公式做一个小小的变形：等式的右边提取 e^(-r*T-t) 这一项，这样右边变为：

同样由持有成本模型上式可以写成：

这就是著名的布莱克公式，可以用来给期货期权进行定价。接下来是关键的一步，注意到 N(d2)代表的含义是到期日行权的（风险中性）概率，即：N(d2)=P[S>K]。我们提取 N(d2) 到括号外面，得到：

进一步地，可以将上式写成：

注意，上式中的 （1 - N（d2））代表不行权的概率。如果不行权，那么回报为零。这样看的话，期权的价格就等于未来回报的期望值的折现，符合我们常见的传统现金流折现的定价逻辑。

这里我们再次看到了FN(d1)/N(d2) 这一项，如前所述，它代表的是标的资产在期权到期日时的某种平均价格。可以更明确的是，它其实代表的是在行权的前提条件下标的资产的平均价格。换句话说，可以把一个欧式期权想象成一个二元期权：如果行权，计算期权回报的时候将标的资产的价格设为 FN(d1)/N(d2)；如果不行权，回报当然为零，不用考虑资产的价格。

现在再换个角度。我们知道，公司的股票等同于以企业价值为标的资产的看涨期权。这是由于股东的有限责任所决定的。假设企业的债务为D，到期时间为 T。那么当债务到期时，如果企业价值 V(T) > D，那么属于股东的权益为 V(T)-D；如果 企业价值 V(T) < D，那么属于股东的权益为零。这个股东权益的回报结构就是一个看涨期权的回报结构。基于这个原理，我们有以下股票的估值公式：