相对的世界里没有界限

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平淡的日子相对四处奔波的日子方显珍贵；夜晚安静读书写作的时光相对觥筹交错、烟味酒味充斥的场合更觉美好……一切都是相对的，有相对才有相互衬托，在相对的世界里没有界限，这就是阿贝读完《哥德尔、艾舍尔、巴赫》的感受。

想念 GEB——《哥德尔、艾舍尔、巴赫》

砖头一般厚重的 GEB，出差时无法随身带在身边，想读读不到。开智部落有位小伙伴居然把 GEB 按章节录成音频，真是别有用心、毅力可嘉。可是对于眼、手、心齐上阵读起来都困难的 GEB，仅凭耳朵一个感官，更难理解，未曾耐心认真听。
认知写作学倡导通感写作，就是动用身体的各种器官，包括耳鼻舌身意，联通各种感觉，来觉察和感悟世界、发现美，发现意义。
想念 GEB，可能不仅仅因为它是一本神作、天书，还因为对自己有过承诺，希望自己坚持读完它，看看能否得到开智……

图形和衬底

GEB 第三章前面的对话，这次只有阿基里斯一个人在说，引出艾舍尔的名画《镶嵌画 2》，想要表达一个概念：图形和衬底。

《镶嵌画 2》

你看到的黑颜色动物是正空间的图形，同时你也可以清晰地看见剩下的画面——白颜色的动物图案——相对于黑颜色的图形，它们是负空间的衬底。
这幅呈正方形石刻画，在 GEB 中反映几何学意义的图形和衬底。这个概念要艾舍尔的画来解释和描述，视觉促进了理解。一幅画的主题自然是图形形象，总要依托一定的空间范围，这个范围就是衬底。当然，艾舍尔的名画《镶嵌画 2》，图形和衬底可以腾挪变换，也可以把白色动物图案看成是图形，黑色动物图案是衬底。
作者候世达把艾舍尔这种把前景和背景、图形和衬底都能流畅画出的图形称为「倍流畅图形」，图形与衬底的每道界限都是双刃剑。界限其实并不是分明的——看艾舍尔倍流畅地画出的那些漂亮的鸟。

《以鸟作瓦》——艾舍尔

数学中有正数与负数，质数与合数，逻辑学中有真与假，画画中有图形与衬底，是不是在这相对的世界里并没有分明的界限？

数学中的图形与衬底

作者候世达把图形与衬底这个概念用艾舍尔的画讲清楚后，把它带到数学形式系统中，希望弄明白在形式系统中：
存在一个形式系统，其负空间（非定理集）不是任何一个形式系统的正空间（定理集）。
就是：
存在非递归的递归可枚举集
读到这里，又卡壳了——作者解释说，递归就是象艾舍尔的画一样，是「倍流畅图形」，图形与衬底相互映衬；递归可枚举集就是「流畅可画出」概念（没有明显衬底的图形）的数学对应物。——是否可理解成：存在一个形式系统，其衬底不是任何一个形式系统的图形？——空间是个范畴概念，如果说空间之外还有个非空间，这个非空间也是在一定的空间范围之内的，那还是个空间。——再次让人迷晕。
相对于候世达的形式系统，更容易理解艾舍尔的图形与衬底互衬的画作，一图胜千言。艾舍尔是否在借用图形与衬底这种相对性来表达某种哲学？空间无所谓正负，天地间无所谓界限，宇宙无所谓对错……

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