数学家眼里的相同与不同

作者 | 张景中

来源 | 《数学家的眼光》

两样东西，相同还是不同，张三和李四可能有不同的见解。

一本小说和一本数学手册，对读者来说是很不一样的。到了废纸收购站，如果都是半斤，都是一样的纸，都是32 开本，就没有什么不同了。

即使是同一个人吧，他看小说的时候，内容的不同对他是很重要的。看得瞌睡了，把书当枕头，内容不同的书所起的作用也就大致一样了。

数学家看问题，关心的是数量关系和空间形式，用的是抽象的眼光。有些我们觉得不同的东西，数学家看来却会是相同的。

3 只小鸡、3只熊猫、3条恐龙，它们之间的差别可以使生物学家激动不已。但是对于数学家来说，无非都是干巴巴的数字“3”而已。月饼、烧饼、铁饼，到了数学家那里，无非都是圆。

数学家的眼光，又是十分精确而严密的。我们觉得一样的东西，或差不多的东西，数学家看来却会有天壤之别。

德国的鲁道夫曾经把圆周率π算到小数点以后的35位：

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288......

用这样的π值计算一个能把太阳系包围起来的大球的表面积，误差还不到质子表面积的百分之一，够精确了吧? 但数学家看来，它和真正的π有本质的不同：这个数是有理数，而π是无理数！

一条线段上有无穷多个点。如果把它的两个端点去掉，线段的长度不会变，因为点没有大小，不占地方。也许你觉得，多这两个点和少这两个点没什么关系吧！数学家却不这么大方。他们对这两个点，可真是斤斤计较，或者更确切地说，是锱(zi) 铢(zhu) 必较。在数学里，带有两个端点的线段叫“闭线段”，不带这两个端点的线段便叫“开线段”。一开一闭，大不相同。在高等数学里，不少定理对闭线段成立，对开线段就不成立。

在数轴上，不等式0≤x≤1表示闭线段，也叫闭区间[0,1]，而不等式0 闭区间 [0,1] 里有最大数1，有最小数0。可是在开区间(0,1)里，却没有最大的数和最小的数。

假想闭区间[0,1]里的每个点都是一个小人儿，下雨啦，他们撑起了无数的小伞，小伞替每个点都很好地遮了雨。有一条定理说：这时没有必要用无穷多把伞，从这些伞里一定可以挑出有限把，其他的都收起来，照样遮雨。这是微积分学里一条有名的定理，叫“ 有限覆盖定理 ”。

有趣的是，对开区间(0,1)，却没有“有限覆盖定理”。

比如，下面这无穷多的一串伞(图2-1)：

(1/3,1),(1/4,1/2),(1/5,1/3),(1/6,1/4), ……(1/n,1/(n-2)), ……确实遮盖了(0,1)中的每个点。如图所示：

具体地说，（1/3,1）包含了1/2，（1/4,1/2）又包含了1/3，（1/5,1/3）包含了1/4……（1/(n+1),1/(1/(n-1)）包含了1/n。

但是，决不可能从这一串“伞”里挑出有限把伞，替(0,1)中的每个点都遮好雨。事情很清楚，如果挑出来的这有限把伞里最左边的是（1/m,1/(m-2）)

那么，1/m这个点便淋雨了。比1/m更小的那些数所表示的点，当然也都是“不幸”的挨雨淋的小东西。

多两点与少两点，这里面大有文章，值得反复推敲。数学家看问题，就是这样反复推敲的。

* 文章选载自张景中著《数学家的眼光》。