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揭示纯数学与物理学之间的秘密联系

哲学园 · 公众号 · 哲学 · 2024-10-09 00:18

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揭示纯数学与物理学之间的秘密联系

一位杰出的数学家透露，他在研究千年数学问题方面取得的进展归功于源自物理学的概念。

牛津大学数学家金明炯Minhyong Kim长期以来一直隐瞒着自己的观点。

“数论学家是一群意志坚定的人，”他说。

数学中充满了奇怪的数字系统，大多数人从未听说过，甚至难以概念化。但有理数却很熟悉。它们是计数数字和分数——所有你从小学就知道的数字。

但在数学中，最简单的东西往往是最难理解的。它们就像一堵陡峭的墙一样简单，没有裂缝、壁架或明显的属性。

金旼炯牛津大学数学家 Kim 对找出哪些有理数可以解特定类型的方程式特别感兴趣。这个问题已经困扰了数论学家几千年。

他们在解决这个问题上取得了很小的进展。当一个问题被研究了这么久却没有得到解决时，我们可以公平地得出这样的结论：唯一的出路就是有人想出一个全新的想法。这就是 Kim 所做的。

“尽管我们已经研究了 3000 年，但技术并不多。

因此，每当有人想出一种真正新颖的做事方法时，这都是件大事！

Minhyong做到了这一点，” Jordan Ellenberg说，威斯康星大学麦迪逊分校的数学家。

在过去十年中，金姆描述了一种在看似毫无规律的有理数世界中寻找规律的全新方法。他在论文和会议演讲中描述了这种方法，并将其传授给现在自己继续进行这项工作的学生。

但他总是有所保留。他有一个激发他思想的愿景，这个愿景不是基于纯粹的数字世界，而是基于从物理学中借用的概念。

对金姆来说，有理数解决方案在某种程度上就像光的轨迹。

一种名为三孔环面的数学物体牛津大学金的白板

如果这种联系听起来很奇妙，那是因为它确实如此，甚至对数学家来说也是如此。因此，金一直对此讳莫如深。

“我一直隐瞒这件事，因为多年来我对这种物理联系感到有些尴尬，”他说。

“数论学家是一群意志坚定的人，物理学的影响有时会让他们对数学更加怀疑。”

但现在金表示他已准备好让大家知道他的愿景。“我想，这种变化只是衰老的一种表现！”53 岁的金在我们为这个故事交换的第一封电子邮件中写道。

他最近主持了一场会议，将数论学家和弦论学家聚集在一起。他还起草了一些文章，开始向不习惯通过与物理世界的直接类比来思考数字的数学界描述他的灵感。

然而，还有一个绊脚石——金尚需解决的物理与数学类比的最后一块拼图。他希望通过邀请其他人，尤其是物理学家，来参与他的愿景，从而获得完成这一愿景所需的帮助。

古老的挑战

方程的有理解对人类思维有很强的吸引力。它们就像拼图的碎片等待完美地拼合在一起一样令人满意。因此，它们是数学中许多最著名的猜想的主题。

有理数包括整数和任何可以表示为两个整数之比的数，例如 1、-4 和 99/100。数学家对用于解所谓“丢番图方程”的有理数特别感兴趣——具有整数系数的多项式方程，例如x 2 + y 2 = 1。

这些方程以丢番图的名字命名，他在公元三世纪于亚历山大研究过这些方程。之前有文章专门介绍见链接下:

蓝眼睛女孩的数学题

很难以任何全面的方式找到有理解，因为它们不遵循任何几何模式。想想那个方程x 2 + y 2 = 1。

这个方程的实数解形成一个圆。

去掉圆上所有不能用分数表示的点，你就剩下所有有理解，它们不会形成如此整齐的对象。有理解似乎随机散布在圆周周围。

Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine Minhyong Kim

“一个点有理坐标的条件根本不是一个几何条件。你无法写出一个有理点必须满足的方程式，”金说。

通常很容易找到一个或许多个有理解。但不喜欢麻烦的数学家更感兴趣的是找出所有有理解。这要困难得多。

事实上，这非常困难，甚至证明有理解数量的最简单陈述就足以让你成为数学界的杰出人物。

1986 年，格尔德·法尔廷斯 (Gerd Faltings) 获得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖，主要是因为他解决了一个称为莫德尔猜想的问题，并证明了某些类的丢番图方程只有有限多个有理解（而不是无限多个）。

法尔廷斯的证明是数论的一个里程碑式的成果。这也是数学家们所说的“无效证明”，这意味着它实际上并没有计算有理解的数量，更不用说识别它们了。

从那时起，数学家们一直在寻找一种方法来采取下一步行动。有理点看起来像方程式普通图上的随机点。

数学家们希望，如果他们改变思考问题的环境，这些点将开始看起来更像一个他们可以以某种精确方式描述的星座。问题是，已知的数学领域并没有提供这样的环境。

金在牛津的办公室里。

埃伦伯格说：“为了在理性观点上取得有效成果，我们肯定觉得必须要有新的想法。”

目前，对于这一新想法，主要有两种观点。一种来自日本数学家望月新一，他在 2012 年将数百页复杂、新颖的数学公式发布到京都大学教员网页上。

五年过去了，这项工作仍然难以捉摸。另一种新想法来自金，他试图在扩展的数值环境中思考有理数，其中隐藏的模式开始显现出来。

对称解决方案

数学家常说，物体越对称，研究起来就越容易。鉴于此，他们希望将丢番图方程的研究置于比问题自然发生的环境更对称的环境中。

如果他们能做到这一点，他们就能利用新相关的对称性来追踪他们正在寻找的有理点。

要了解对称性如何帮助数学家解决问题，请想象一个圆。也许你的目标是识别圆上的所有点。对称性是一个很好的帮助，因为它创建了一个地图，让你从已知的点导航到尚未发现的点。

假设你已经找到了圆周南半部的所有有理点。由于圆具有反射对称性，你可以将这些点沿赤道翻转（改变所有y坐标的符号），然后你突然就得到了圆周北半部的所有点。

事实上，圆具有如此丰富的对称性，以至于只要知道一个点的位置，再加上圆的对称性知识，你就可以找到圆上的所有点：只需将圆的无限旋转对称性应用于原始点即可。

然而，如果您处理的几何对象非常不规则，就像一条随机蜿蜒的路径，您将不得不努力单独识别每个点——没有对称关系允许您将已知点映射到未知点。

数字集也可以具有对称性，并且集合的对称性越高，就越容易理解——你可以应用对称关系来发现未知值。

具有特定对称关系的数字形成一个“群”，数学家可以使用群的属性来理解它包含的所有数字。

方程的有理解集不具有任何对称性，也不形成一个群，这给数学家们带来了一项不可能完成的任务：试图一次找到一个解。

从 20 世纪 40 年代开始，数学家开始探索将丢番图方程置于更对称的环境中的方法。

数学家Claude Chabauty发现，在他构建的更大的几何空间中（使用称为p进数的扩展数字世界），有理数形成它们自己的对称子空间。

然后，他将这个子空间与丢番图方程的图形结合起来。两者相交的点揭示了方程的有理解。

20 世纪 80 年代，数学家罗伯特·科尔曼 (Robert Coleman) 改进了查博蒂的工作。此后几十年，科尔曼-查博蒂方法是数学家寻找丢番图方程有理解的最佳工具。

不过，只有当方程的图形与较大空间的大小成特定比例时，它才有效。当比例不匹配时，很难找到方程曲线与有理数相交的确切点。

加州大学圣地亚哥分校的数学家 Kiran Kedlaya 说：“如果环境空间内有一条曲线，并且有太多有理点，那么这些有理点就会聚集在一起，你就很难区分哪些点在曲线上。”

这就是金的用武之地。为了拓展沙博蒂的工作，他想要找到一个更大的空间来思考丢番图方程——一个有理点更加分散的空间，这样他就可以研究更多类型的丢番图方程的交点。

空间的空间

如果您正在寻找更大的空间，以及如何使用对称性来导航它的线索，物理学是一个不错的选择。

一般来说，数学意义上的“空间”是指任何具有几何或拓扑结构的点集。一千个随意散落的点不会形成空间——没有结构将它们联系在一起。

但球体，即点的一种特别连贯的排列，是一个空间。圆环、二维平面或我们生活的四维时空也是如此。

除了这些空间之外，还存在着更奇特的空间，你可以把它们看作“空间的空间”。举一个非常简单的例子，假设你有一个三角形——这是一个空间。

现在想象一下所有可能的三角形的空间。这个更大空间中的每个点代表一个特定的三角形，该点的坐标由它所代表的三角形的角度给出。

这种想法在物理学中经常有用。在广义相对论的框架下，空间和时间不断演变，物理学家将每个时空配置视为所有时空配置空间中的一个点。

空间的空间也出现在物理学的一个领域，称为规范理论，它与物理学家在物理空间之上分层的场有关。

这些场描述了电磁力和重力等力在空间中移动时如何变化。你可以想象，这些场在空间中的每个点都有略微不同的配置——所有这些不同的配置共同构成了高维“所有场的空间”中的点。

物理学中的场空间与 Kim 在数论中提出的空间非常相似。要理解其中的原因，请考虑一束光。物理学家想象光在高维场空间中移动。

在这个空间中，光将遵循“最小作用量原理”的路径——即最小化从 A 到 B 所需时间的路径。该原理解释了为什么光从一种物质移动到另一种物质时会发生弯曲——弯曲的路径是最小化所需时间的路径。

物理学中出现的这些更大的空间具有它们所代表的任何空间中都不存在的额外对称性。这些对称性将注意力吸引到特定点上，例如强调时间最小化路径。

如果以另一种方式在另一种情况下构建，这些相同类型的对称性可能会强调其他类型的点——例如与方程的有理解相对应的点。

视频：金敏炯 (Minhyong Kim) 想确保自己在数论方面有具体的成果，然后才承认他的想法是受到物理学的启发。

将对称性与物理学联系起来

数论中没有粒子可以追踪，但它确实有类似时空的东西，并且它还提供了一种绘制路径和构建所有可能路径空间的方法。

根据这种基本对应关系，金正在制定一个方案，其中“寻找光的轨迹的问题和寻找丢番图方程的有理解的问题是一个问题的两个方面”，正如他上周在德国海德堡举行的数学物理会议上解释的那样。

丢番图方程的解形成空间——这些是由方程定义的曲线。这些曲线可以是一维的，如圆，也可以是高维的。

例如，如果你绘制丢番图方程x 4 + y 4 = 1 的（复）解，就会得到三孔环面。这个环面上的有理点缺乏几何结构——这就是它们很难找到的原因——但它们可以对应于具有结构的高维空间中的点。

Kim 通过思考如何在环面上（或方程定义的任何空间）绘制环路，创建了这个高维空间。绘制环路的过程如下。

首先，选择一个基点，然后从该点到任何其他点绘制一个环路，然后再返回。现在重复该过程，绘制将基点与环面上每个其他点连接的路径。

最终，您将得到一个由所有可能的环路组成的丛状结构，这些环路以基点为起点和终点。这个环路集合是数学中一个非常重要的对象——它被称为空间的基本群。

您可以使用环面上的任意点作为基点。每个点都会有一条独特的路径丛从其发出。然后，这些路径集合中的每一条都可以表示为高维“所有路径集合的空间”（就像所有可能三角形的空间）中的一个点。

这个空间空间在几何上与物理学家在规范理论中构建的“空间空间”非常相似：当您从环面上的一个点移动到另一个点时，路径集合的变化方式与当您在现实空间中从一个点移动到另一个点时场的变化方式非常相似。

这个空间的空间具有环面本身所不存在的额外对称性。虽然环面上的有理点之间没有对称性，但如果您进入所有路径集合的空间，您可以找到与有理点相关的点之间的对称性。您将获得以前看不到的对称性。

“我有时使用的一个短语是，这些路径中编码了一种‘隐藏的算术对称性’，与规范理论的内部对称性高度类似，”金说。

和 Chabauty 一样，Kim 通过思考他构建的这个更大空间中的交点来找到合理的解决方案。他利用这个空间的对称性来缩小交点范围。他希望开发一个方程来准确检测这些点。

在物理学中，你可以想象光线可能走的所有路径。这就是你的“所有路径的空间”。物理学家感兴趣的空间中的点是与时间最小化路径相对应的点。

金认为，与从有理点发出的路径丛相对应的点具有同样的性质——也就是说，这些点最小化了当你开始思考丢番图方程的几何形式时出现的某些属性。只是他还没有弄清楚这种属性可能是什么。

他在一封电子邮件中写道：“我一开始试图寻找的是数学背景下的最小作用量原理。我仍然没有找到。但我非常有信心它就在那里。”

不确定的未来

过去几个月，我向几位数学家描述了金的物理学灵感，他们都是金对数论贡献的崇拜者。然而，当他们听到对他工作的这种看法时，却不知道该如何理解。

“作为一名代表性数论学家，如果你向我展示金敏亨所做的所有令人惊叹的事情，并问我这是否受到了物理启发，我会说，‘你到底在说什么？’”艾伦伯格说。

到目前为止，金姆的论文中还没有提到物理学。

相反，他写了一些称为塞尔默簇的对象，并考虑了塞尔默簇在所有塞尔默簇的空间中之间的关系。这些是数论学家熟悉的术语。但对金姆来说，它们一直是物理学中某些类型的对象的另一个名称。

“应该可以利用物理学家的想法来解决数论问题，但我们还没有仔细考虑如何建立这样一个框架，”金说。“我们对物理学的理解已经足够成熟，而且有足够多的数论学家对此感兴趣，我们可以推动这一进程。”

Kim 方法发展的主要障碍在于寻找某种最小化所有环丛空间中动作的方法。这种观点在物理世界中很自然，但在算术中却没有任何明显的意义。即使是密切关注 Kim 工作的数学家也怀疑他能否找到它。

“我认为 [Kim 的程序] 会为我们带来很多好处。我不认为我们会像 Minhyong 所希望的那样，对有理点进行深入理解，因为有理点实际上是某种算术规范理论的经典解，” Arnav Tripathy说道在哈佛大学。

如今，物理学的语言几乎完全脱离了数论的实践。金认为这种情况肯定会改变。四十年前，物理学和几何学、拓扑学的研究几乎没有什么联系。

后来，在 20 世纪 80 年代，少数数学家和物理学家（如今都是杰出人物）找到了利用物理学研究形状特性的确切方法。这一领域从未回头。

“如今，如果不了解[物理学]，几乎不可能对几何和拓扑学感兴趣。我很确定，在未来 15 年内，数论也会发生这种情况，”金说。“它们之间的联系非常自然。”

更正：2020 年 10 月 22 日原文中称 Arnav Tripathy 是哈佛大学的教授。他是那里的研究员。

小编补充：最小作用原理

如果您曾经玩过磁铁，您就会知道，当您有两个或更多磁铁时，它们会自然地尝试将磁极向相反的方向对齐，以最小化系统的总能量，如图 2 所示。

最小行动原则：大自然总是选择使能量最小化的道路。

物理学中控制运动和相互作用的基本原理。宇宙总是走阻力最小的道路来保存能量。不要试图违背这个简单的原则，否则生活会把你咀嚼并吐出来。

相反，问问自己：在适应和乘风破浪的过程中，什么需要最少的能量......逆流而上是令人生畏的。

拉格朗日力学：该方法采用最小作用原理，关注动能和势能 L=T−V 之间的差异。它对于具有约束的系统非常强大，使复杂问题更易于管理。