哥德尔卡尔纳普篇：数学是语言的语法吗？

哲学园 · 公众号 · 哲学 · 2024-12-02 00:00

正文

数学是语言的语法吗？

哥德尔

(1953/9-V)

众所周知，卡尔纳普（Carnap）详细论述了“数学是语言的语法（或语义）”这一概念。然而，人们对该概念背后的哲学主张、其原始内容及核心兴趣关注得并不充分，而这些内容并未因此得到证明。相反，这一语法方案的执行方式，以及任何可能的变体，反而更加显露出这些主张虚假的一面。我在此讨论以下主张：

I. 数学直觉——在所有科学上具有相关性的用途，特别是在应用数学中用于得出可观察事实的结论，可以通过符号使用及其应用规则的约定来替代。

II. 与其他科学不同的是，其他科学描述某些具体的对象和事实，而在数学中并不存在任何数学对象或事实。数学命题仅是关于符号使用规则的结果，因此与所有可能的经验兼容，是无内容的。

III. 将数学看作一种约定系统，使数学的先验有效性与严格的经验主义兼容。因为我们可以先验地知道这些规则，而无需诉诸任何先验直觉，这些符号使用的约定无法通过经验被证伪。

从语法的视角来看，数学的性质无疑具有其价值，至少在于它指出了数学真理与经验真理之间的根本区别。我认为，这种区别合理地体现在这样一个事实中：数学命题不同于经验命题，其真实性在于其中所涉及的概念。然而，采取名义主义的观点并将概念与符号等同起来时，语法理论将数学真理转化为约定，并最终使其陷入虚无。这种观点体现在上述的主张 I、II 和 III 中。

在我看来，为了对这些主张（如“内容”、“证伪”、“替代”等）中的术语进行恰当的解释，这些主张最终被证明是错误的。此外，我相信，可以直接证明，用来支持这些主张的论点（包括语法方案实际应用的存在性）都是错误的。使得主张 I 至 III 成立的这些术语意义的不足，尤其表现在它们要求对完全类似的情况作出客观解释时，却得出了截然不同的结果。

I 确实，通过应用某些符号使用规则（更具体地说，关于这些符号所组成命题的真假规则），可以得出与应用数学直觉相同的句子。然而，为了期望这些规则在应用中（例如弹性理论的基本规律）得出经验上正确的命题（例如关于桥梁承载力的规律），显然需要一定的事实知识（至少是某种概率）来理解语法规则。指望完全任意的规则能够揭示命题的真假显然是荒谬的。需要了解的是，这些规则本身并不隐含任何经验事实。这些规则可以称为“可接受的”（admissible）。在数学中，可接受性意味着一致性。

一致性要求表明，任何不一致性都会导致所有命题（包括经验命题）被推导出来。然而，事实证明，为了证明数学的一致性以及辨别数学公理的真实性，至少需要某种同样强大的数学直觉支持。特别是抽象数学概念（如“无穷集”、“函数”等），如果不借助抽象概念，则无法证明一致性，而这些抽象概念不仅仅是有限符号组合的可观察属性或关系。因此，虽然语法观的主要目的是通过语法解释来证明这些问题概念的使用是正当的，但事实表明，抽象概念在证明语法规则（如“可接受”或“一致性”）时是必要的。

如果数学能够以基于约定的方式进行解释，而这些约定的可接受性证明仅需要最简单的直觉，即针对有限符号组合的直觉，那么主张 I、II 和 III 将成立，尽管不是完全成立，但在很大程度上成立。换句话说，数学的表面内容在很大程度上将被证明是一种幻象。

然而，事实上，无论语法规则以何种方式被制定，所产生的数学的力量和实用性都与证明这些规则可接受性所需的数学直觉的力量成正比。这种现象可以被称为“数学内容在语法解释下的不可消除性”。这一逻辑循环，尽管可以通过在经验归纳的基础上建立一致性来避免，但无论如何，显而易见的是，数学直觉不能被约定所取代，而只能通过以下方式实现：约定加数学直觉，或者约定加包含某种意义上等价数学内容的经验知识。

值得注意的是，即使不涉及任何应用，也可以得到相同的结果。严格来说，没有事先证明其可接受性，约定本身就无法被构造，否则“约定”这一术语将失去意义。因此，数学直觉的作用被替代为：

(1) 确定某些约定的可能性，(2) 制定并使用这些约定。

因此，数学的语法解释并不能免除承认某些具有数学特征的命题（以非约定性的意义来说是真命题）的必要性，这些命题绝不是无关紧要的。

II. 主张 I 的错误揭示了数学内容的存在，即数学事实的存在。
如果数学的表面内容仅仅是一种虚假的外观，那么就必须可以在不利用这种“伪内容”的情况下令人满意地构建数学。然而，主张 II 的错误更加清楚地体现在以下论证中：

关于符号使用的约定仅在相对意义上才是无内容的，即它们只在不为理论增加任何超出其可接受性要求的内容时才是无内容的。例如，如果基于某些物理操作的关联性（如某些操作的结合律）的经验已知事实，引入了关于省略括号的约定，那么从这一约定可以得出这一操作的关联性，即一个经验命题。如果基于一致性引入某个数学符号的约定，情况也类似。通常，这样的约定虽然不暗含自身的一致性，但仍然包含某些仅稍弱的命题，即实质上与支持其引入的事实相同的一些事实。一般而言，自然规律可以被解释为其可接受性来源于该自然规律的约定。可以反驳说，为了推导与符号处理相关的经验可验证的一致性事实，数学公理本身不足以支持，因此也不足以支持相关的约定 X。然而，回答是，没有人会认为自然规律（如静电学的基本定律）是无内容的，因为它只有在与其他独立已知的规律（如关于物理空间和力学的规律）结合时才有可验证的后果。此外，还可以反驳说，一致性陈述因此是无内容的，因为，与自然规律不同，所有关于单个证明形式的实例（即所有可观察的内容）可以在约定 X 被提出之前直接从公理中推导出来。对此的回答是，理论中的形式推导过程本身就是一种观察。因此，这一反对意见与其说一致性无内容，不如说它指出了一种自然规律可以在不依赖其帮助的情况下通过直接观察确定的单个实例。
语法方案得以实现（如上文主张 I 的意义）仅基于以下两个条件：(i) 真实的数学命题来源于相对少量的原始命题；(ii) 它们在某种意义上可与其他命题分离，因为没有综合（经验性）命题从中推导出来。因此，如果我们有一种物理感知，其对象具有类似的规律性，并且与其他感知的对象类似地分离，我们也可以将基于这种感知的命题解释为无内容的语法约定，并不将任何事实或对象与它们或它们的组成部分相关联。数学直觉与物理感知之间的相似性非常显著。将“这是红色”视为直接数据是任意的，而将表达推理规则（如完全归纳法或可能从中推导出的更简单命题）的命题视为非直接数据却并非如此。这一区别在此处相关的范围内，仅仅在于第一种情况涉及概念与特定对象之间的关系，而第二种情况涉及概念之间的关系。此外，还有大量独立的数学直觉印象，尽管对于现阶段的科学来说，少量就足够了。可以说，与其他科学不同，数学经验并不是其断言所涉及的对象。然而，实际上，经验也不是大多数其他科学的对象。例如，在幻觉中看到的动物不是动物学的对象。另一方面，一个一般的数学定理在某种意义上具有与特殊情况相关的数学经验作为其对象。因此，再次表明数学与其他科学之间并没有本质区别。
即使数学被解释为语法性的，这也不会使其在“约定性”（即“任意性”）上比其他科学多一点。根据语法观，符号使用规则就是其意义的定义，因此不同的规则仅仅引入不同的概念。但概念的选择在其他科学中同样是任意的。然而，除此之外，一切基于定义可以断言的内容在数学中与其他科学中一样是客观决定的。从这一角度看，数学的内容体现在定义隐含地断言了被定义对象的存在上。特别是，如果通过规则引入一个符号，这些规则规定包含该符号的句子是真实的，那么从这些规则可以得出与假设存在满足这些规则的对象同样的结论。只有在特殊情况下，如显式定义中，这种假设的一致性才是微不足道的。
如果有人主张数学命题没有内容，因为它们本身并未暗含关于经验的任何信息，那么回答是，自然规律也是如此。没有数学或逻辑的自然规律同样几乎不暗含任何关于经验的信息，而没有自然规律的数学也是如此。数学至少在大多数应用中确实为自然规律的内容增加了某些内容，这一点从以下例子中可以看出：有些非常简单的规律涉及某些元素（例如电子管反应的规律）。这里，数学显然增加了有关如何连接某种方式的电子管系统的普遍规律。后者规律并不包含在前者中，从以下事实中可以看出：

(a) 后者规律可能包含前者中未定义的概念（例如任意有限数量元素的组合的概念）；

(b) 要理解自然规律，就数学概念而言，知道决定它们在每个特定情况下是否适用的规则就足够了。但这些规则绝不暗示支配它们的普遍规律。

例如，这可能发生在像哥德巴赫猜想这样的案例中，它显然隐含了计算机器反应的某种规律。值得注意的是，普遍数学规律甚至可能被用来预测单个观察的结果，例如，当后者依赖于物理元素的无限（如连续体）时。因此，对于某种物理理论，一个新的数学公理（解决了以前数学物理中无法判定的问题）可能导致新的经验上可验证的后果，恰如一条新的自然规律。数学命题，尽管如此，并不表达所涉及结构的物理属性，而是表达我们用以描述这些结构的概念的属性。但这仅仅表明这些概念的属性是独立于我们选择的，与物质的物理属性同样客观的。这并不令人惊讶，因为概念是由原始概念组成的，而这些原始概念及其属性，我们无法像物质的原始成分及其属性那样创造。然而，尽管概念真理具有客观特征，但明确区分这两种内容和事实（即“事实性”和“概念性”）仍然非常必要。卡尔纳普所称的“内容”实际上是“事实内容”。

即使不考虑数学公理可能因其与经过良好验证的自然法则结合而导致的错误经验后果被证伪的可能性，其仍然可以通过由其推导出的矛盾被证伪。如果矛盾未被视为证伪，而仅被视为该“约定”不合时宜的证明，同样的处理方式也适用于自然法则。这些法则也可以被解释为约定，一旦遇到反例便变得“不合时宜”。

请注意，不一致的数学公理也会导致错误的经验性命题，因此，在发现矛盾之前，它在应用中会像错误的自然法则一样发挥作用。如果经常忽视数学公理被证伪的可能性，这完全是由于数学直觉的说服力。然而，语法观的起点恰恰是拒绝数学直觉。从数学公理的可证伪性可以推断出，如果从实证主义的观点出发，在没有偏见的情况下研究数学，那么正确数学对象的一些内在存在应当被承认，与不一致的数学对象形成对比，就像正确物理学中的对象一样。

这些对象，例如，无穷集或属性的属性，具有特定的性质，即不同于其他科学的对象。需要注意的是，这些数学对象和事实无法被消除（例如，几何中的无穷点可以被消除），因为始终存在关于它们的原始数学术语和公理，无论是在科学语言中还是在元语言中。“公理”在这里指的是基于其直观证据或其在应用中的成功假设的命题。最不可能的是，实证主义者会将数学对象视为仅具有某种“伪存在”，因为两者之间的主要区别在于它们不同的直观特性，而它们在科学形式主义中扮演的角色非常相似（至少与更抽象的物理对象，例如力场、原子等相比）。因此，实证主义者基于他们的观点应当采取的态度是，将数学对象和公理视为科学中不可约的假设，正如场的假设及其治理法则一样。

III. 关于主张 II，足以说，任何不可接受的语法规则都会导致经验后果，因此可以通过经验被证伪。另一方面，只有通过广泛使用数学直觉，才能先验地确定替代数学的语法规则是可接受的（从而更加一致的）。

IV. 在数学命题内容空无性这一论点可能具有的任何可信性中起重要心理作用的因素，以及构成数学语法观所包含的部分真理的具体情形如下：

任何逻辑真命题都不存在被排除的可能状态，而命题的内容似乎恰恰在于其排除某些可能性的事实。
在经验命题中，逻辑概念的使用似乎不属于命题的主题，而是表达的手段。然而，如果一个命题已经因表达手段的属性而为真，它既不能说明主题，也不能说明表达手段，否则它们就不是表达手段，而是主题。
句子的意义由语义规则定义，这些规则决定在什么情况下一个句子可以被断言。在某些极限情况下，这些规则可能导致句子在所有情况下都可以被断言（例如，“明天会下雨或不会下雨”）。这样的句子是真实的，但没有内容。这类句子的否定已经因其结构而被排除为不正确，与其意义无关，正如不符合语法规则的句子被排除一样，因此逻辑可以被视为语法的一部分。

然而，对于第 1 点，可以回答说存在不同层次的可能性，这已显现在物理可能性和逻辑可能性的区别中。对于第 2 点，即使假设其前提成立，这也不排除逻辑概念可以被作为非经验命题的主题。此外，一个命题的内容被认为是什么，在很大程度上取决于人们的兴趣。例如，完全可以说，上述提到的命题，尽管它没有说任何关于下雨的内容，但确实表达了“非”和“或”的性质。