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灵机一动 | 第348期求和

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2017-11-20 07:18

正文

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

有奖竞答

在上周六（11月18日）的有奖竞答中，答案正确完整，且最先发送解题方法的前三名题友分别是 miaow、神灰大炮、wang ，以上三位题友将获得由好玩的数学提供的《挑战思维极限：勾股定理的365种证明》（点击可查看详情）各一本，请尽快联系发放奖品，微信号： zalyork

▲有奖竞答奖品

本期问题来了

NO. 348

求和

求小于 315 且与 315 互质的所有自然数的和。

★ 右下角 写留言 开始答题，鼓励大家把思考的过程写出来。

★ 如果想不出来，可以转发朋友圈向朋友求助哦！答案将在下期公布。

★ 公众号中回复 题友会 申请加入题友会微信群，与题霸们一起刷题。

上期问题回顾

NO. 347

完全立方数

已知 n 是整数，n²+11 是素数，问 n+4 是否有可能是完全立方数？

分析与解答

答案：不可能。

假设存在整数 n 能同时满足两个条件，不妨设n+4=a³，此时 n²+11=a ⁶ －8a³+27，这时考察因式分解已经很明显了，如果可以将这个式子分解成两个式子之积，则不满足 n²+11 为素数的条件，矛盾。

一般而言初中因式分解的题都是可以分解的，注意式子中有 a 的六次方和三次方，和一个常数，先看△=64-4×27＜0，故不可能用十字相乘，再看，发现三项都是三次方，由此想到三个立方和的最常用公式：

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