现代世界中的大量个体之间彼此交互关联。当我们跳出来个体局限、以全局视角观察时，总会发现
局部
耦合可以使得系统
涌现出全新的整体
性质
。无论是生态系统的演替、金融市场泡沫的破裂，还是社交网络的信息扩散、神经网络中泛化能力的涌现，这些现象都体现出复杂系统的典型特征：多主体交互、非线性耦合、自适应和反馈机制、复杂的连接结构等。如何探究这些现象背后规律，是传统的还原论方法难以解决的难题，也是复杂系统领域的基础而前沿的问题。
网络科学为我们描述系统结构及其动态演化提供了基石，统计物理为我们理解众多微观主体间相互作用所涌现的宏观规律提供了理论工具。二者交叉下的复杂网络动力学研究，为我们刻画复杂系统的动力学机制、预测其未来演化甚至调控和干预带来重要突破口。这里，我们选择以下三个典型视角：
相变与临界现象展现了微观耦合如何驱动宏观秩序的自发涌现；扩散和随机游走过程为研究信息在复杂网络中的传输特性提供了新视角，其简洁的动力学形式直观揭示了网络拓扑结构对动力学行为的影响；而博弈论与网络科学的结合，则更贴近现实系统，使研究者能够深入探索多主体决策与社会互动中的合作、对抗及演化规律。
统计物理与复杂网络的交叉融合仍在继续深化，不断拓展洞察真实世界复杂行为的边界，为解决跨学科问题提供了新的平台。
本读书会将聚焦当代复杂网络理论所涉及的三个关键方向——相变与临界现象、扩散与随机游走、以及时序网络博弈。通过共读前沿文献并交流跨领域经验，我们期望在理论理解与实际应用之间搭建更紧密的桥梁，帮助各领域的研究者、从业者掌握新的方法论并激发创新。内容包括（详细论文清单见后文）：
相变与临界
现象
：
本部分包括三个方向，一是复杂系统的多稳态与临界点，将探讨复杂网络中多稳态系统的基本理论、关键临界点的识别方法，以及如何预判系统性风险并实施有效干预；二是同步与同步相变，将探讨系统的宏观一致性如何从微观非线性耦合中涌现，同步相变如何发生；三是网络逾渗，将探讨逾渗模型的临界性质，不仅能揭示从微观随机性到宏观有序的转变机制，还能探索相关的普适性和临界现象。
扩散与随机游走：
在复杂网络上，信息、资源或个体的扩散过程常被抽象为随机游走模型。这类模型不仅是理解舆论传播、物流调度、疾病扩散的基础工具，也衍生出多种谱分析与优化方法。读书会将梳理经典模型与新近的多层、时变网络扩散研究，以及其在跨学科领域的潜在应用。
时序系统中的网络博弈：
在演化博弈中，个体的行为与网络结构往往同时动态变化。当交互时间、网络关系和策略决策共同演化时，博弈结果更具复杂性。我们将重点关注真实协作系统中博弈规则对人类合作的影响，以及这些研究对跨学科团队和社会系统协作的启示。
史贵元
，理学博士，现任北京师范大学文理学院系统科学系特聘副研究员、硕士生导师。在Physical Review Letters等刊物发表学术文章十余篇。研究方向：非线性动力学理论与应用，复杂网络。
邱仲普
，北京师范大学系统科学学院系统理论专业博士生，导师为樊京芳教授。本科就读于四川大学物理学（试验班）专业，曾入选2018年度基础学科拔尖学生培养试验计划（珠峰计划）。主要从事相变与临界现象、地球系统复杂性与临界性分析、复杂网络上的同步与涌现动力学等方面的研究。
李明
，合肥工业大学物理系，研究员。本科毕业于安徽大学，博士毕业于中国科学技术大学。关注相变与临界现象、复杂网络、非线性动力学等研究方向。
张章
，北京师范大学系统科学学院博士生。研究兴趣集中于复杂网络与深度学习的交叉领域，具体包括机器学习，复杂系统自动建模等。
张毅超
，博士，同济大学副教授，博导。主要研究领域包括基于图的深度神经网络学习算法、链路及其权重预测、加权网络建模与随机扩散、社交网络上的信息扩散、网络博弈、金融数据分析、城市防灾。研究方向包括复杂网络、机器学习。曾一作或通讯共发表相关文章20余篇，专利13项，软著1项，专著1本；一篇会议论文获IEEE Outstanding Paper Award；一篇论文入编多院院士陈关荣教授《复杂网络基础》一书；主持国家自然科学基金青年项目1项，上海市自然科学基金面上1项，骨干参与科技部国家重点研发计划1项，国家自然科学基金重点项目1项，面上项目多项。
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模块一：相变与临界
1. 复杂系统的多稳态与临界点
在许多现实系统中，由于系统各组分间存在非线性相互作用与反馈循环，
系统通常存在多个稳态
。一旦越过特定的临界点，系统便会从一个稳态切换至另一个稳态，这可能给自然和社会带来不可逆的影响。当给定动力学方程的形式，以及描述两两之间相互作用关系的复杂网络时，我们能够从理论层面对临界点的取值或范围、不同稳态下的节点状态等进行定量分析，还可以评估影响系统状态的关键节点和参数等要素。然而在许多情况下，我们无法精确获知动力学方程及各组分间的相互作用关系，仅能监测到节点状态随时间的变化。为此，研究者们开发出一系列方法，
用于从节点状态的时间序列中识别出系统接近临界点的早期预警信号。
总之，
多稳态现象是许多现实系统的重要特征，而临界点是这些系统至关重要的信息之一。
研究复杂系统多稳态和临界点，有助于我们构建起量变引发质变的理论认识，对预防系统性风险、将系统调控至预期状态等也有指导作用。
重要综述：
[1] Scheffer, Marten, et al. "Anticipating critical transitions." science 338.6105 (2012): 344-348.
这是临界转变现象的早期综述，系统阐述了识别并预测临界转变的核心思想和方法。
[2] Dakos, Vasilis, et al. "Ecosystem tipping points in an evolving world." Nature ecology & evolution 3.3 (2019): 355-362.
探讨生态系统在动态环境中可能遭遇的临界点及其应对策略，为理解复杂生态演化提供了重要视角。
[3] Liu, Xueming, et al. "Network resilience." Physics Reports 971 (2022): 1-108.
全面地回顾了网络韧性领域中多维动力学方程建模、高维系统韧性现象与临界转变分析的研究进展。
基于网络结构和动力学方程的临界点分析：
[4] Gao, Jianxi, Baruch Barzel, and Albert-László Barabási. "Universal resilience patterns in complex networks." Nature 530.7590 (2016): 307-312.
通过二阶平均场理论（将邻居的邻居视为平均的节点）和动力学方程准线性近似，首次提出高维非线性动力系统降维的通用框架。
[5] Morone, Flaviano, Gino Del Ferraro, and Hernán A. Makse. "The k-core as a predictor of structural collapse in mutualistic ecosystems." Nature physics 15.1 (2019): 95-102.
通过阶梯函数近似，提出互惠互利生态系统崩溃的临界点可以用网络的最大k-core来解析表示。
[6] Wu, Rui-Jie, et al. "Rigorous criteria for the collapse of nonlinear cooperative networks." Physical Review Letters 130.9 (2023): 097401.
证明了高维非线性动力系统的临界点一定落在网络的最大特征值和最大k-core之间。
基于节点状态时间序列的临界点预测：
[7] Scheffer, Marten, et al. "Early-warning signals for critical transitions." Nature 461.7260 (2009): 53-59.
详细综述了从时间序列统计特征中识别临界转变即将发生早期信号的经典方法。
[8] Liu, Zijia, et al. "Early predictor for the onset of critical transitions in networked dynamical systems." Physical Review X 14.3 (2024): 031009.
使用机器学习方法早期定量预测复杂系统中临界点，该方法在各种不同系统上进行验证，并对噪声和不完整数据等具有鲁棒性，且成功预测了真实非洲植被生态系统中森林向稀树草原的临界转变。
调控系统使其处在期望的稳态：
[9] Sanhedrai, Hillel, et al. "Reviving a failed network through microscopic interventions." Nature Physics 18.3 (2022): 338-349.
通过对局部节点施加细微干预手段实现网络复苏，展现了在系统崩溃后重建稳态的可行路径。
主题推荐语：
复杂系统由多个相互作用的单元构成。它们在动态演化中相互协调，从而涌现出集体行为模式。
同步是
非平衡
涌现形式中最简单的一种
，涉及
通过微观耦合实现系统的宏观状态一致性
。以 Kuramoto 模型为代表的耦合随机自然频率振子系统是同步研究领域中的范式性模型。在这一框架下，振子们通过相互作用克服自身自然频率之间的异质性，发生同步相变，使得
秩序
（order）
从无序
(disorder)
中涌现
出来。
Kuramoto模型的
各
种变体可以描述自然和社会中的
多种多样的
同步现象
，其中的若干分支依然各自成为了相对独立的子方向。此外，深刻而新颖的概念方法也层出不穷，如自洽性方程、主稳定函数（Master Stability Function, MSF）、OA 拟设和重整化群等。
近年来，这一领域与多个学科交叉，产生了一些系列新模型、新概念和新方法。它们加深了我们对于同步现象和理论的理解，值得更多关注。
主题重点关注：
-
同步与统计物理的交叉领域——同步相变的临界性质；
-
新的内禀自由度——D维Kuramoto模型和耦合D维振子系统；
-
同步相变的临界性质：临界维数和普适类
[1] Daido, H. Lower Critical Dimension for Populations of Oscillators with Randomly Distributed Frequencies: A Renormalization-Group Analysis.
Phys. Rev. Lett.
61, 231–234 (1988).
通过重整化群分析揭示了随机分布自然频率振子系统的下临界维数，奠定了理解同步相变临界行为的基石。
[2] Acebrón, J. A., Bonilla, L. L., Pérez Vicente, C. J., Ritort, F. & Spigler, R. The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena.
Rev. Mod. Phys.
77, 137–185 (2005).
系统回顾了Kuramoto模型的基本理论与拓展应用，是研究同步现象的经典综述与入门指南。
[3] Hong, H., Chaté, H., Park, H. & Tang, L.-H. Entrainment Transition in Populations of Random Frequency Oscillators.
Phys. Rev. Lett.
99, 184101 (2007).
重点讨论了随机频率振子系统中的
协频转变（entrainment transition）
，解析求解了上临界维数，发现存在两种不同的协频转变模式。
[4] Hong, H., Chaté, H., Tang, L.-H. & Park, H. Finite-size scaling, dynamic fluctuations, and hyperscaling relation in the Kuramoto model.
Phys. Rev. E
92, 022122 (2015).
通过有限尺寸标度分析求解动力学涨落的临界指数。
[5] Daido, H. Susceptibility of large populations of coupled oscillators.
Phys. Rev. E
91, 012925 (2015).
研究了大规模耦合振子系统在接近临界点时的响应特性，求解了敏感性(susceptibility)和外场对应的临界指数。
D 维 Kuramoto 模型和耦合 D 维振子系统
[6] Chandra, S., Girvan, M. & Ott, E. Continuous versus Discontinuous Transitions in the $D$-Dimensional Generalized Kuramoto Model: Odd D is Different.
Phys. Rev. X
9, 011002 (2019).
系统性地研究了D-维广义Kuramoto模型在奇数D-维与偶数D-维下的同步转变方式，揭示了序参量维数奇偶性对于系统同步行为的显著差异。
[7] Dai, X.
et al.
Discontinuous Transitions and Rhythmic States in the D-Dimensional Kuramoto Model Induced by a Positive Feedback with the Global Order Parameter.
Phys. Rev. Lett.
125, 194101 (2020).
在全局序参量上引入正反馈，发现了D-维广义Kuramoto模型中的新的节律状态，区别于传统的奇美拉态。
[8] Kovalenko, K.
et al.
Contrarians Synchronize beyond the Limit of Pairwise Interactions.
Phys. Rev. Lett.
127, 258301 (2021).
探讨了“唱反调者”（contrarians）在多体相互作用情况下的同步现象，突破了传统二体相互作用的限制。
[9] Dai, X.
et al.
D-dimensional oscillators in simplicial structures: Odd and even dimensions display different synchronization scenarios.
Chaos, Solitons & Fractals
146, 110888 (2021).
面向单纯形结构中的高维振子，揭示了奇数和偶数维系统在同步动力学上展现的不同场景与机制。
[10] Zou, W., He, S., Senthilkumar, D. V. & Kurths, J. Solvable Dynamics of Coupled High-Dimensional Generalized Limit-Cycle Oscillators.
Phys. Rev. Lett.
130
, 107202 (2023).
提出了一类可解析的高维耦合极限环振子模型，是斯图加腾-朗道振子的高维推广，为研究高维同步与振荡特性提供了新工具。
集群振子模型
[11] O’Keeffe, K. P., Hong, H. & Strogatz, S. H. Oscillators that sync and swarm.
Nat Commun
8, 1504 (2017).
提出集群振子模型“Swarmalator”概念，将空间集群与相位同步结合，开辟了时空协同自组织研究的新领域。
[12] Yoon, S., O’Keeffe, K. P., Mendes, J. F. F. & Goltsev, A. V. Sync and Swarm: Solvable Model of Nonidentical Swarmalators.
Phys. Rev. Lett.
129, 208002 (2022).
针对非同质性Swarmalator系统建立可解析模型，深入揭示群体动力学与个体异质性之间的相互影响。
[13] Anwar, M. S., Sar, G. K., Perc, M. & Ghosh, D. Collective dynamics of swarmalators with higher-order interactions.
Commun Phys
7
, 1–11 (2024).
将高阶相互作用引入Swarmalator模型，揭示复杂拓扑下集群振子更加丰富多样的同步模式与动力学行为。
主题推荐语：
逾渗（percolation，也常译作渗流）相变是统计物理和相变理论中的经典问题，
描述了系统中随机连接形成大规模连通结构的临界行为
。这一过程广泛存在于自然界和技术网络中，如材料导电性、流体渗透、疾病传播、乃至复杂网络的形成与分解。通过分析逾渗模型的临界性质，我们不仅能揭示从微观随机性到宏观有序的转变机制，还能探索相关的普适性和临界现象。本部分将围绕逾渗相变的核心理论、最新进展以及其在复杂系统中的应用展开。
主题重点关注：
-
爆炸逾渗临界行为的关键特征？
-
不同类型的级联过程对逾渗相变的影响有何异同？
-
高阶相互作用的影响能否等效为若干简单机制的叠加？
逾渗最初在规则格子上研究连通性与临界相变，但如今已扩展到复杂网络及多领域应用。下面李明老师精选从2001到2024关于逾渗的文献，共计46篇，系统呈现出领域的脉络。
模拟算法
，除了普适的广度优先搜索（BFS），深度优先搜索（DFS），在网络系统中，一般还常用并查集（disjoint set）的方法动态记录逾渗集团的信息，具体见Newman-Ziff 算法[
Physical Review E
, 64(1):016706,2001]
计算方法
，生成函数方法（Phys. Rev. E 64 (2001) 026118），消息传递方法（Phys. Rev. Lett. 113 (2014) 208702，Phys. Rev. E 90 (2014) 052824，Phys. Rev. Lett. 113 (2014) 208701，Phys. Rev. E 91 (2015) 010801，Phys. Rev. E 95 (2017) 042322）
-
爆炸逾渗
（Explosive Percolation），通过引入集团生长的异质机制，产生了丰富的临界现象[Science 323, 1453 (2009)]。最初被认为是不连续相变[Phys. Rev. Lett. 103, 255701 (2009); Phys. Rev. Lett. 103, 045701 (2009); Phys. Rev. Lett. 103, 135702 (2009); Phys. Rev. Lett. 103, 168701 (2009); Phys. Rev. E 82, 051105 (2010); Phys. Rev. E 81, 036110 (2010); Phys. Rev. Lett. 104, 195702 (2010); Phys. Rev. Lett. 107, 275703 (2011).]，后被证明为连续相变[Science 333, 322 (2011); Phys. Rev. Lett. 105, 255701 (2010); Phys. Rev. E 84, 020101(R) (2011)]，进而大量数值结果显示其有异常的有限尺度标度行为[Phys. Rev. Lett. 106, 225701 (2011); Nat. Phys. 11, 531 (2015)]，而近期被证实在基于事件的系综下，仍服从标准的有限尺度标度理论[Phys. Rev. Lett. 130, 147101 (2023); Phys. Rev. Research. 6, 033319 (2024)];
-
k核逾渗
（k-core Percolation），关注更稠密或紧致的连通集团的涌现。临界现象的讨论（混合相变）[Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 040601; Phys. Rev. E 94 (2016) 062307; Phys. Rev. E 78 (2008) 022101; Phys. Rev. Lett. 122 (2019) 108301; New J. Phys. 26, 013006 (2024); Nat. Comm. 15 (2024) 5850]; 连续与不连续相变的交跨行为[Phys. Rev. Lett. 107 (2011) 175703; Phys. Rev. E 83 (2011) 051134; Phys. Rev. E 87 (2013) 022134]；k核在复杂网络上应用的综述[Phys. Rep. 832 (2019) 1-32]
-
相依网络逾渗
（Percolation on interdependent Networks），强调多层或互联网络之间的耦合失效对整体连通性的影响。模型的提出[Nature 464 (2010) 1025; Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 048701]；更简单的解析方法 [Europhys. Lett. 97 (2012) 16006]；混合相变的讨论[Phys. Rev. Lett. 109 (2012) 248701; Phys. Rev. Lett. 129, 268301,2022]
-
超网络逾渗
（Percolation on hypergraphs），超网络逾渗关注具有高阶相互作用的系统。[Phys. Rev. E 104, (2021) 034306, Phys. Rev. E 109, (2024)014306] 给出了单个网络和多个网络的逾渗理论。然而，超图中的超边往往包含多个节点，不同于简单网络中一条边中一个节点的删除必然会导致这条边被删除，[Chaos, Solitons & Fractals,173(2023), 113645] 提出了 (k,q)-core分解的方法来找到由至少连接k条基数大于等于m的超边的节点所组成的巨分支，[Nature Communications,14 (2023), 6223] 验证了(k,q)-core在超图中的高传播能力和局域性。此外，在渗流过程中，节点还可能对超边具有不同的作用机制，一种作用机制是一个或部分节点 [Chaos, Solitons & Fractals, 173, (2023), 113746] 的就会导致超边中的剩余节点的删除,而另一种机制是一个或部分节点的删除会导致超边的解体，而其余节点并不会被删除 [Chaos, Solitons & Fractals, 177, (2023), 114246; Chaos 34, (2024)043148]。另外，[Phys. Rev. Lett. 132, 087401 (2024)]研究了超图中由高阶连接所形成的高阶分支(higher-order components) 对超图上高阶传染动力学的爆发模式的影响。(此条由杭州师范大学刘润然教授整理)
书籍或综述：
[1] Stauffer D, Aharony A. Introduction to percolation theory[M]. Taylor & Francis, 2018.
偏向基础与经典，是系统、入门的书籍，从基本模型到临界理论都有清晰的讲述。
[2] Li M, Liu R R, Lü L, et al. Percolation on complex networks: Theory and application[J]. Physics Reports, 2021, 907: 1-68.
面向复杂网络领域，将逾渗理论与网络科学深度结合，涵盖了理论模型、仿真分析及应用案例，可帮助理解网络鲁棒性、传播动力学等问题。
逾渗相变与机器学习：
说明：以下研究以经典系统为研究对象，而非网络系统，供参考。
[3] Zhang W, Liu J, Wei T C. Machine learning of phase transitions in the percolation and XY models[J]. Physical Review E, 2019, 99(3): 032142.
采用机器学习识别逾渗与XY模型的临界点，展示人工智能在复杂相变问题上的可行性与高精度潜能，适合探索多模型通用性研究。
[4] Oh S M, Choi K, Kahng B. Machine learning approach to percolation transitions: global information[J]. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2023, 2023(8): 083210.
从全局信息出发，用机器学习方法揭示逾渗相变特征，为大规模网络或复杂系统中关键结构检测提供全局性视角。
[5] Kamrava S, Tahmasebi P, Sahimi M, et al. Phase transitions, percolation, fracture of materials, and deep learning[J]. Physical Review E, 2020, 102(1): 011001.
将深度学习融入相变、逾渗与材料断裂研究，探索多尺度复杂性下的预测与模拟，对材料工程与地质分析具有重要参考价值。
[6] Shen J, Liu F, Chen S, et al. Transfer learning of phase transitions in percolation and directed percolation[J]. Physical Review E, 2022, 105(6): 064139.
将深度学习融入相变、逾渗与材料断裂研究，探索多尺度复杂性下的预测与模拟，对材料工程与地质分析具有重要参考价值。
[7] Shen J, Li W, Deng S, et al. Supervised and unsupervised learning of directed percolation[J]. Physical Review E, 2021, 103(5): 052140.
结合有监督与无监督学习手段，深挖定向逾渗的临界行为，为基于数据驱动的非平衡相变探索提供了新思路与实用方法。
[8] Zhang J, Zhang B, Xu J, et al. Machine learning for percolation utilizing auxiliary Ising variables [J]. Physical Review E, 2022, 105(2): 024144.
[9] Hu G, Sun Y, Liu T, et al. Universality class of machine learning for critical phenomena [J]. Science China Physics, Mechanics & Astronomy, 2023, 66(12): 120511.
模块二：扩散与随机游走
