最近，笔者的很多老同学、老朋友向笔者咨询孩子求学选专业的问题。笔者一直在计算机系和数学系从事教学和科研工作，对此一直有自己的观点：本科期间尽量多地学习基础数学理论，研究生期间再根据志趣选择计算机或者数学。这两个方向具有迥然不同的价值观念、知识结构和技能体系，更有不同的社会需求和职业道路。数学以追求自然真理为目的，具有强烈的美学价值和超越世俗的出世倾向。任何青少年，如果能够领悟音乐的魅力，会自然而然地追求数学的境界。但是现实的障碍在于数学需要在求学关键时期遇到优秀的老师，融入到浓厚的数学文化氛围之中，迅速建立抽象思维能力，领悟现代数学的思想和方法。计算机以实现算法、改善物质世界为目的，具有强烈的的入世倾向。相对于数学，计算机的能力更加容易自学并且通过实践进行修炼提高。计算机能力归根到底是将思想转化成算法，到了高级阶段之后，计算机能力的瓶颈在于基础数学能力。与数学能力的培养相类似，计算机能力的培养也需要多年的实践磨练。这样就产生了一个矛盾，大学本科低年级应该偏重数学还是计算机？笔者倾向于数学，因为数学能力的智力开发更需要“童子功”，对于年龄要求更加严苛一些。计算机能力的培养可以推迟一些。
下面是笔者亲身经历的一个例子，这个例子可以解释计算机和数学方向的异同，或许对于孩子的专业方向选择有些参考作用。
近期元宇宙（metaverse）、数字孪生（digital twin）的概念持续升温，虚幻引擎（Ureal 5）的Nanite虚拟几何技术日益引发关注，3D技术似乎又一次回到时代舞台中央。
图0. 人脸曲面的拓扑四边形网格（与封面，by Andor Kollar）.
在计算机中，3D曲面和实体的表达主要归结为三角剖分和样条表示，后者归结为曲面的四边形剖分和实体的六面体剖分。计算几何体剖分的过程被称为是网格生成。虽然现代的影视动漫、医学图像、机械工业都是基于这些几何表达，每天全世界数十万、数百万的工程技术人员都在处理这些几何数据，但是网格生成依然是一门“艺术”，而非一门“技术”，其理论基础远未成熟。特别是在实体网格生成领域，三角剖分的主要算法是基于Delaunay Refinement，其理论基础是盖尔方德的Secondary Polytope理论；实体六面体网格生成虽然有各种基于经验的算法，其基础理论基本上是一片尚未开发的宝藏。
图1. 斯坦福兔子曲面的四边形网格剖分。
其实曲面四边形网格生成的情况也是非常相近。无论是在动漫领域，还是在工业设计领域，网格生成都强烈依赖于大量的手工操作，无法自动生成。而手工生成高质量的四边形网格，成为建模师的核心竞争力之一。
在1970年代，汽车工业刚刚兴起，法国雷诺汽车的工程师贝塞尔发明了贝塞尔样条曲面，成为3D技术的发轫。构造样条曲面的前提是曲面的四边形网格剖分。如图1所示。每个面是一个四边形，与每个顶点相连的边数被称为是顶点的度（degree）。度为4的顶点被称为是正常点，反之被称为奇异点。通过大量的手工实践，工程技术人员很快认识到这一问题的复杂性。早在1973年，人们就提出了下面的开放问题（Open Problem）：
问题1：在亏格为1可定向的封闭曲面上（例如轮胎表面），可否构造一个四边形网格，只有两个奇异顶点，一个度为3，另一个度为5？
如图2所示，小猫曲面的亏格为1，我们可以进行各种四边形剖分，但是无论如何，我们无法得到只有两个奇异点、度分别为3和5的四边形网格。这个问题小学生都会理解，但是在长达半个世纪的时间里，这一问题一直没有令人满意的回答。这再度验证了爱因斯坦的名言：
我们无法在创造问题的意识维度上去解决问题，因为正是原有的意识创造了你当下的问题。当你需要解决问题时，必须来到一个新的意识维度。
图2. 小猫模型的四边形网格剖分。
首先，如果我们从拓扑角度考虑，假如问题1中的四边形网格存在，它并不违背欧拉公式，因此无法从拓扑角度加以否认；如果我们从黎曼几何角度考虑，假设每个四边形都是标准单位正方形，这样得到一个黎曼度量，由此诱导了顶点处的高斯曲率（测度），这一曲率测度满足高斯-博纳定理；用曲面Ricci流理论，我们的确可以证明满足这样曲率条件的黎曼度量的存在性。其实，这一问题的本质在于共形几何。
我们的证明主要有两大步骤：
-
如果问题1中的四边形网格存在，则我们可以在曲面上构造一个亚纯函数，只有一个极点和一个零点；
-
亏格为1可定向封闭曲面上，不存在亚纯函数，只有一个极点和一个零点。
由此，用反证法，可以推出问题1中的四边形网格实际上并不存在。
这里第二步骤的证明比较初等，并且有两种证明方法，第一种比较简单，但是不容易推广；第二种比较复杂，但是可以直接推广到任意亏格的曲面。我们先讨论第一种证明：假设问题中的曲面有一个黎曼度量，这样曲面上任取一点，我们可以找到一个邻域，和该邻域的一个参数化，使得黎曼度量可以写为：
这里
被称为是等温坐标。曲面的所有等温坐标卡构成了曲面的共形图册，因此曲面是一个黎曼面。从几何上看，黎曼面上的一个亚纯函数是从黎曼面到单位球面（看成是复平面加上
）的一个保角（全纯）映射。全纯映射都是保定向的分支覆盖映射。如果亚纯函数只有一个极点和零点，则分支覆盖映射的度为一，即此全纯映射将黎曼面包裹在单位球面上，并且只包裹了一层。由此，这一全纯映射为微分同胚。但是，我们知道，亏格为一的曲面和亏格为零的曲面之间不存在同胚。假设错误，这样的亚纯函数并不存在。
第二种证明更加初等，但是比较通用。首先，根据曲面拓扑定理，亏格为1的封闭曲面
存在万有覆盖空间
，
是投影映射。由单值化定理，我们存在一个黎曼度量
使得曲面上的高斯曲率处处为
。
可以提升到万有覆盖空间上，使得
是欧氏平面。这时，曲面
为平环，可以表示为
这里
是格
给定亚纯函数
，我们构造一个映射,
，定义如下：对于球面上的任意一点
，
即
的所有原像之和在平环上的位置。由拓扑原理，曲面间的映射可以被提升为它们的万有覆盖空间之间的映射，即得到原来初始映射的一个“升腾”。球面
的万有覆盖空间就是其本身
，平环
的万有覆盖空间是复平面
，我们记升腾为
，满足条件：
我们知道，
将整个球面映到一个平环上，因此
的像是有界的。由复变函数中的刘维尔定理，定义在复平面上的有界全纯函数必为常数。因此
为常值映射，
也为常值映射。这意味着
，如此得到平环上的Abel定理：在平环上，任意一个亚纯函数的零点之和减去所有极点之和为零。如果只有一个零点和一个极点，则它们彼此重合。即一个点同时既是零点又是极点，矛盾。因此假设错误，单零点、极点的亚纯函数不存在。
这个证明可以被推广到任意亏格的黎曼面上，这时我们在黎曼面上找到一族全纯微分的基底
，
为周期矩阵。我们定义
为Jacobi簇。任选基点
，对于任意一点
，任选一条连接基点的路径
，计算积分
如此我们将点
映到
中的一点。应用上面同样的证明如下的Abel定理：
黎曼面
上的任意一个亚纯函数，在Jacobi簇中，其零点之和减去极点之和等于零
。而Abel-Jacobi理论正是曲面四边形网格生成的理论基础：四边形网格的奇异点满足Abel-Jaocbi条件。
现在，我们再来看第一步的证明，这一步的困难主要是概念上的，我们需要用到亚纯微分的概念，而微分形式的概念是初学者必然遇到的一个难关。形式上，假定我们有一个四边形网格，每个面都是平面标准单位正方形。我们用一个共形图册来覆盖：每个面，边和顶点都用一个局部坐标系来覆盖，面和边的局部坐标之间的变换为平面
刚
体变换，正常顶点局部坐标和相邻的边与面的局部坐标变换都是
刚
体变换。这里的刚体变换涉及到旋转
，
。如果一个顶点的度为
，则局部坐标变换涉及到分数幂次变换
。我们在每一个局部坐标卡上定义全纯微分形式
。假如相邻的面与边的局部坐标变换满足
，则
，我们看到
在
刚
体变换下不被保持，因此不是全局定义的。但是我们有
