假如在你面前放着一堆橙子，怎么摆放才能最节约空间？
别以为这只是困扰水果店老板的日常烦恼之一。虽然任何人都可以凭经验或直觉断定，把上一层橙子交错着放到下一层橙子彼此相邻的凹处，显然要比直接一个叠一个的摆放更合理。但谁能从数学上证明，的确不存在比这更合理的方法呢？
1611年，开普勒提出，水果商堆橙子的办法对空间的利用率最高，可他自己却没法给出证明。在400多年的时间里，“开普勒猜想”（Kepler's Conjecture）难倒了众多数学家。直到1940年，匈牙利数学家拉兹洛·费耶·托斯才解决了开普勒猜想的简化版——圆环堆积问题。
1998年，一则数学新闻突然成了各大媒体报道的焦点：美国匹兹堡大学的托马斯·海尔斯（Thomas C. Hales）证明了“开普勒猜想”：在箱子里堆放大小一样的球，用“面心立方体”的堆积方式（即上层圆球安放在下一层圆球中间的各个凹处）可以使空间利用率最高。也就是说，水果商在箱子里装橙子的办法一直都是最有效的。
海尔斯解答了这个提出了400余年的难题，但水果商并不买账。一位水果摊小贩在接受电视台采访时说：“这简直是浪费时间又浪费我们纳税人的钱！”
不过，开普勒和海尔斯的智慧结晶当然不仅仅是用来装橙子这么简单——有关最密堆积的研究成果是现代通讯技术的重要工具，是信道编码和纠错编码研究的核心内容。
同样也是在17世纪，牛顿和大卫·格里高里因“牛顿数问题”争来争去。牛顿数，“Kissing Number”，是与一个ｎ维球外切的等维球的个数。很容易看出，二维的牛顿数是6（下图左）。牛顿确信三维的牛顿数是12，直到1953年，科特·舒特和范·德·维尔登才给出了一个证明。
二维（左）与三维牛顿数示意图
二维牛顿数是6，三维牛顿数是12
2003年，奥莱格·穆辛证明了4维的牛顿数是24。至于5维的牛顿数，目前只知道它在40到44之间。不过，我们知道8维的牛顿数是240，24维的牛顿数是196560，这两个数都是美国明尼苏达大学的安德鲁·奥德里兹克在1979年证明的。8维和24维的牛顿数证明起来其实比三维的牛顿数简单，它们还跟超密集的球体填充问题有关：8维E8点阵和24维Leech点阵。
这些发现令人惊奇，不过让普通人一头雾水的概念有什么实际意义？接下来听我说。
20世纪60年代，一位叫戈登·朗的工程师正在设计调制解调器系统。他需要从一个繁忙的频道（例如一个电话线）发出一个信号，信号由一系列的音调组成。但是，由于一个频道传递的信号过多，经常出现信号无法被完整接收的情况。朗将组成信号的声音用一串数字表示，信号即可被当作一个个包含信息的“小球”，为了使发送的信息量达到最大化，这些“小球”必须被尽可能紧密的排列起来。
20世纪70年代晚期，朗发明了采用E8堆积法传递8维信号的调制解调器。由于这项技术可以通过电话线进行信号传播，不必重新设计信号电缆，因此大大加快了互联网的发展。
概率论：从赌桌上的硬道理到保险业的发展
文艺复兴时期，意大利出现了一位大学者，卡尔达诺（Girilamo Cardano），他精通数学、物理、占星，在当时被称作百科全书式的学者。卡尔达诺嗜赌，但赌术却并不高明，在赌桌上输掉了大把的家产。不过，他由此写下《论赌博游戏》一书。此书于1663年出版，被认为是第一部概率论专著，开创了现代概率论研究的先河，也为今天的精算学做了铺垫。
一个世纪之后，法国赌徒梅内（Chevalier de Méré）遇到了难题。他常玩的两个游戏，一个是连续掷4次色子，看能否扔出一个6；一个是掷两个色子，连续24次，看能否扔出2个色子都是6的情况。梅内以为两者赢钱的概率相等，不过实际情况却与他想的不一样。玩第一个游戏他赢多输少，第二个游戏却是输多赢少。
梅内向朋友，数学家帕斯卡求助，帕斯卡随后在1654年和费马在信件往来中探讨了这个问题，为概率论的发展打下了基础。1657年，荷兰人惠更斯发表了《论赌博中的计算》，这也是第一部公开发表的概率论著作。
17世纪晚期，雅各布·伯努利发现，随机掷一次色子，每个数字出现的概率都是1/6，但连续掷6次色子并不能确保每个数字都出现。在卡尔达诺研究的基础上，他提出了伯努利实验。ｎ重伯努利试验（也称伯努利概型）常用来讨论ｎ次重复试验中某事件发生的次数及其概率。由于样本点不一定是等概率的，许多实际问题都可归结为这种模型。
更重要的是，伯努利还提出了大数定律，指在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率越趋近于一个稳定值。这个定律甚至促进了保险业的发展。
过去，保险公司只敢卖出有限的保单，因为卖出的保单越多，赔付的风险看上去就越高，保险公司担心卖出过多的保单会使公司不堪重负而垮掉。直到18世纪初，保险公司才开始像现在一样大肆推销保险。这都多亏伯努利的大数定理证明：保单卖得越多，赔付的概率就越趋于稳定，风险是可控的。
