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4.3 Hausdorff维数及其相关（3）—— 朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2017-03-19 20:58

正文

目标与步骤：

1. 对不起，因为我是生活在二次元的女孩【拓扑维数】；

2. 凿壁偷光的Cantor先生【Cantor集】；

3. 朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋【Hausdorff测度和Hausdorff维数】；

4. 人生代代无穷已，江月年年望相似【自相似集】；

5*. 差之毫厘，谬以千里【球覆盖测度和网测度】;

6*. 尖沙咀谁说了算？！【Minkowski维数和Minkowski容量】；

7*. 路人女主的养成方法【填充维数和填充测度】；

8*. 万法归一【Caratheodory构造】；

9*. 翻滚吧球宝宝~$￣︶￣*$)【Haar测度与一致分布测度】；

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　　我们前面提到，由于拓扑维数的值域是自然数，它并不能表现出集合太多的几何性质。既然如此，那我们所想要的新维数的值域最好就是所有的正实数了；这样给人一种连续的感觉嘛。

　　怎么做比较好呢？拓扑维数的定义是来自于覆盖，那我们新维数的定义也沿着覆盖这条路来走走吧。说起覆盖，好像我们前面在定义Lebesgue测度的时候也谈到了覆盖嘛。不过那里的覆盖是通过所有的小方块来对集合进行覆盖的，然后对所有的这些方块的面积求和。不过为啥我们要用小方块呢？

　　Hausdorff先生意识到了这一点。他因此就这样去定义的：对于任意的集合 $A\subset\mathbb R^n$ , 我们取一族集合 $\{E_i\},\,E_i\subset \mathbb R^n,\,{\rm diam}(E_i)\le \delta$ 去覆盖它，即 $A\subset \bigcup_i E_i$ ，然后我们计算 $\sum_i {\rm diam}(E_i)^{\alpha}$ . （这里的 ${\rm diam}(E)$ 指的是集合 $E$ 的直径，即 $\sup\{|x-y|\colon x,\,y\in E\}.$ ）自然这里的集合 $E_i$ 可能之间有很多的重合部分，所以自然地我们要对所有这样可能的集合族产生的数值取一个下确界。这样我们得到的一个数值 $\mathcal H^{\alpha}_{\delta}(A)$ 。

　　Hausdorff先生的想法其实和Lebesgue先生相似：这里的集合族 $\{E_i\}$ 就像是原来的那些小方块，而求和里面的 ${\rm diam}(E_i)^{\alpha}$ 就类似与Lebesgue测度定义里面的面积；不过现在是另外一种“尺度”下的面积而已。（事实上后面我们可以看到，Hausdorff测度和Lebesgue测度是有关系的。）【我会记住填这个坑的我一定会记住的啊哈哈哈~ =￣ω￣=】不过这里有一个奇怪的地方：为啥我们要对集合 $E_i$ 的大小有限制呢？

　　我们来看一个极端的情况： $\mathcal H^{1/2}_{\infty}([0,\,1]\cup [2,\,3])$ 是多少呢？如果我们用一个集合 $[0,\,3]$ 去覆盖它，那么我们得到的数值是 $\sqrt{3}.$ 如果我们用更小的集合呢？我们会发现这个数值可能会变得更大。比如我们用 $[0,\,1]$ 和 $[2,\,3]$ 去覆盖，那么得到的数值是 $1+1=2.$ 然而根据 $\mathcal H^{1/2}_{\infty}$ 的定义，我们希望数值越小越好，因为最后要取下确界嘛。因此在这种情况下，并不是越小的集合得到的结果越好；有时候反而大的集合产生的覆盖得到的结果更好。

　　不过细细想来，这似乎也是一件很自然的事： $[0,\,1]\cup [2,\,3]$ 本身是一个 $1$ 维的东西，而我们却在用“ $\frac 1 2$ 维”（不过我们暂时尚未定义维数）的“测度”（我们也尚未定义测度）去计算。正所谓“朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋”。 $\frac 1 2$ 还是太年轻太幼稚了，它无法看到 $1$ 维那么大的东西。自然而然，我们也就会期待这个数值是无穷大的。换句话说，我们的确需要用小的东西对原来的集合进行更加精确的覆盖和计算；这样才能够得到我们所想要的。

　　也就是说，我们想要 $\lim_{\delta\to 0}\mathcal H^{\alpha}_{\delta}(A)$ . 不过这个极限存在吗？注意到，如果 $0<\delta_1<\delta_2$ , 那么一族集合 $\{E_i\},\,E_i\subset \mathbb R^n,\,{\rm diam}(E_i)\le \delta_1$ 也可以看做是一族直径小于 $\delta_2$ 的集合。因而根据定义，我们知道 $H^{\alpha}_{\delta_1}(A)\ge H^{\alpha}_{\delta_2}(A)$ . 根据这个单调性，当 $\delta\to 0$ 的时候，我们的极限要么是一个有限的实数，要么是 $+\infty$ . 我们得到的这个极限值，就被称为是集合 $A$ 的Hausdorff测度 $\mathcal H(A).$

　　既然我们定义了Hausdorff测度，那它们和Hausdorff维数又有什么关系呢？刚才我们提到的 $\mathcal H^{1/2}_{\delta}([0,\,1]\cup [2,\,3])$ 的例子暗示我们Hausdorff测度有如下的性质：对于 $0\le s <t<\infty$ ，如果 $\mathcal H^s(A)<\infty,$ 那么 $\mathcal H^t (A)=0.$ 反过来，如果 $\mathcal H^t(A)>0,$ 那么 $\mathcal H^s(A)=\infty.$ （这个性质的证明并不难：用 $\mathcal H^{\alpha}_{\delta}$ 的定义证明上述性质对于 $\mathcal H^{\alpha}_{\delta}$ 成立，然后令 $\delta\to 0$ 即可。）所谓“小知不及大知，小年不及大年”。站在不同的高度，我们看待问题的结果也是不同的啊。所以我们要时常向长者学习一些人生的经验。【手动滑稽】

　　根据这个性质，我们就可以定义Hausdorff维数了。对于 $A\subset \mathbb R^n$ ，我们定义：

${\rm dim}_H(A)=\sup\{s\colon \mathcal H^s(A)=\infty\}=\inf \{t\colon \mathcal H^t(A)=0\}.$

自然地，根据定义我们也知道Hausdorff维数对于集合的包含关系也是有单调性的：如果 $A\subset B$ ，那么 ${\rm dim}_H(A)\le{\rm dim}_H(B).$

　　好啦，Hausdorff维数的定义我们已经拿到手了。不过它跟拓扑维数类似，有一个很大的毛病，那就是它的计算依赖于Hausdorff测度，而在计算Hausdorff测度的过程中我们需要取下确界，甚至于我们还要对 $\delta$ 取极限。所以计算任意一个集合的Hausdorff维数并不是一件容易的事；通常我们只能够得到一个大概的上界和下界，而不知道精确的值。不过对于一些特殊的集合，我们是可以计算它们的Hausdorff维数的，比如我们之前提到的Cantor集合。这是我们下一节即将讨论的问题。

　　所以这次我们的讨论就在这里结束啰 ~\(≧▽≦)/~啦啦啦~~