一些有趣的无理数

中科院物理所 · 公众号 · 物理 · 2024-12-09 11:16

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在广袤的数学世界，一些重要的数字反复出现，为我们展现出不同领域的密切联系，引起我们的惊叹。这其中有一些整数是不足为奇的，因为毕竟相对于所有数字来说，整数太“稀疏”了，所以每个整数实际上都很特殊——甚至连这样在数学家哈代眼里乏味的整数也是特殊的——但是，无理数里也有一些有趣的数字。

哈代与拉马努金

不过，谈到“无理数”的时候，你千万不要觉得这是“没有道理”的数，而应该理解为“不能写成两个整数比值”的数，这是要牢记的。

一个重要的无理数就是圆周率。我们最初是在学习圆的时候遇到它的。这可能也是今天很多人遇到的第一个无理数——甚至在此之前我们连都还没有接触过。每年的月日，喜欢数学的人们总要聚集在一起吃掉圆圆的馅饼，表示“已经把‘派（）’吃下去了”。

虽然和圆密不可分，但是今天你见到这个数字如果只能联想到圆，那可就不行了。至少，你应该知道它和一系列级数有关。稍微深入一点的话，你还应该知道它是一个“超越数”——它不是任何整数系数的多项式方程的解。嗯，证明这一点确实是很不容易的。

另一个常见的无理数是自然对数的底。数学江湖上长久地流传着它的传奇。但这部分是由于，咳咳，怎么说呢？很多时候人们只是因为不愿意计算或者，而把底数换成而已。至少我是这么认为的，呵呵。和圆周率相同的是，也是一个“超越数”。

关于这个数的最有趣之处，就是所谓的欧拉公式：

指数居然可以是虚数，真让人瞠目结舌。

第三个出场的是黄金分割，它是方程的解。这显然是一个代数式了。已经有太多的文章介绍过这个数，我们这里只介绍其中的几点：一是这个数和所谓的斐波那契数列有密切的关系，而斐波那契数列在自然界分布很广；二是它不但和正五边形有密切的关系，还和正十二面体以及正二十面体联系紧密。

黄金分割与正五边形

这里我们要说一下什么叫黄金矩形和黄金菱形，前者指的是长宽之比为黄金分割率，后者则是对角线之比为黄金分割率。显然，后者是前者中点连线之比。

接下来我们继续关注三角形。一种非常特别的三角形的三边之比为，显然这是个直角三角形，非常经典，在正方体中就存在。这里就有两个无理数。

知道怎样快速获得这个角吗？容易得很：拿出一张A4纸，沿着对角线对折，就得到了这个三角形。这是因为A4纸的长宽之比就是。

图中所示角的倍就是，从正四面体的中心向它的四个顶点作连线，任意两条连线的夹角即为此值。也许你在生活中很少遇到正四面体？那么你家里做饭的时候是不是用天然气取暖？天然气的主要成分是甲烷，而一个甲烷分子是由一个碳原子和四个氢原子构成的，这些氢原子位于正四面体的顶点位置，碳原子位于正四面体的中心。在立体几何里，有一种特殊的几何体叫做“菱形十二面体”（下图中红色顶点处的平面角即是此角，由于立体图有一定的变形，有的角看上去像是锐角了），每个面都包含这个角度。不但如此，蜂巢的底部也含有这个角度。

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