有意思! 断点回归设计RDD的两大分析框架, 哪个场景使用哪一个呢?

计量经济圈 · 公众号 · 财经 · 2024-12-28 08:00

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接着 “ 陈强: 计量经济学实证论文写作全解析 ” ，今天看看最新关于断点回归设计RDD的综述方法类论文“断点回归的两大分析框架：我们究竟该用哪一个？”。如果你不在意选择哪个框架，哪个好用就用哪个，或者别人怎么用你就用哪个，也可以熟悉一下断点回归设计研究思路。

假定、带宽选择还是推断方法上均有相当差异。其中，基于连续性的框架（continuity-based framework）假定潜在结果的条件期望连续，在实证研究中广泛应用。局部随机化的框架（local randomization framework）则为后起之秀，该框架假定在断点附近的小窗口，驱动变量可视为随机分配。本文详细介绍了这两大框架的原理与技术细节，包括识别、估计、推断与证伪，并通过蒙特卡罗模拟与经典案例深入比较了二者的差异。

文献中一般认为基于连续性的框架所依赖的假定更弱，但本文发现，一方面，该框架隐含假定驱动变量在带宽内为外生变量，在实践中未必满足；另一方面，局部随机化的框架所选窗口一般更窄，故驱动变量的外生性条件更易满足，且适用于离散驱动变量的情形。由于局部随机化框架的有效样本容量一般较小，易受离群值影响，故本文提出使用“留一估计”（leave-one-out estimation）作为稳健性检验。

简要介绍：

断点回归设计（regression discontinuity design），简称“断点回归”（RD），是经济学实证研究中最为流行的准实验因果推断方法之一。Thistlethwaite & Campbell（ 1960）首次提出断点回归，并以此研究奖学金对于未来学业成就的影响。由于奖学金由考试成绩决定，而学生无法精确控制其成绩，故成绩刚好达到获奖标准与差点达到的学生具有可比性。自20 世纪90 年代以来，断点回归在经济学的多个领域，包括教育经济学、劳动经济学、发展经济学、健康经济学、政治经济学以及区域经济学等领域得到了广泛应用。

断点回归设计包含两个基本前提。首先，个体获得一个得分（score），①若此得分超过已知的某个断点（cutoff 或threshold），则进入处理组，接受政策处理；反之，则进入控制组。此前提正是断点回归所特有的“处理配置机制”（treatment assignment mechanism）。其次，在此断点附近两侧的处理组与控制组个体具有“可比性”（comparability），故可将对方作为“有效的反事实”（valid counterfactuals）。此前提排除了在断点两侧存在“内生分组”（endogenous sorting）的可能性，因为若个体可精确地控制进入断点的某侧，则断点附近两侧的个体将失去可比性。

针对断点附近两侧个体的可比性所使用的不同数学表达，文献中出现了两个分析框架。一方面，基于连续性的框架（continuity-based framework），简称“连续性框架”，假设潜在结果的条件期望在断点处连续，这保证了在断点附近两侧的处理组与控制组个体的特征相近。基于此连续性假定，可识别在断点处的“局部平均处理效应”（local average treatment effect），并使用非参数的局部多项式回归（local polynomial regression）进行估计与推断（Hahn et al.， 2001）。另一方面，局部随机化的框架（local randomization framework）则假设在断点附近的小窗口内，个体的驱动变量及处理状态可视为随机分配（as-if randomly assigned）。基于局部随机化的假设，可使用分析实验（analysis of experiments）的方法进行估计与推断（Cattaneo et al.， 2015）。

一个重要问题是如何在断点回归的两大分析框架之间进行选择。连续性框架出现更早，是目前的主流框架，在实践中广泛应用。局部随机化框架出现较晚，当前仍主要作为替补方法或稳健性检验。然而，作为后起之秀的局部随机化框架，有望在未来的断点回归实证研究中发挥日益重要的作用，原因如下：

首先，一方面，尽管连续性假设弱于局部随机化假设，但基于连续性框架进行局部多项式回归时，仍隐含假定驱动变量在所选带宽内为外生变量，以保证局部多项式回归的一致性。然而，此外生性条件一直为文献所忽略，实证研究者通常非正式地视断点回归为“ 局部随机实验”（local randomized experiment），故默认接受此外生性条件。但连续性框架并未假设局部随机实验，在选择带宽时也完全未考虑须保证驱动变量的外生性，只是通过最小化均方误差（MSE）来选择最优带宽，称为“MSE 最优带宽”（MSE-optimal bandwidth）。由此所得最优带宽一般比较宽，可能难以保证驱动变量的外生性，遑论局部随机实验。另一方面，局部随机化框架并不通过最小化MSE 来选择带宽，而是通过一系列的协变量平衡（covariate balance）检验来选择带宽，以满足局部随机化的假定。①因此，局部随机化框架所选带宽一般更为狭窄（Cattaneo & Vazquez-Bare， 2017），这使得驱动变量的外生性更易被满足。当然，选择更窄带宽的后果是在此带宽内的有效观测值可能大幅下降。为此，Cattaneo et al.（ 2015）建议使用适用于小样本的“费雪推断法”（Fisherian inference），通过随机化检验（randomization test）进行统计推断。

其次，一方面，连续性框架通常假定驱动变量连续，且在断点处的密度函数为正，这使得连续性框架在离散驱动变量的情况下不便使用，而不得不引入额外假定；另一方面，无论驱动变量连续或离散，局部随机化框架均可照常使用。

再次，一方面，由于连续性框架仅能识别在断点处的局部平均处理效应（local average treatment effect，简记LATE），其“外部有效性”（external validity）较弱。尽管文献中已有若干将此局部平均处理效应拓展外推（extrapolation）的尝试，②但均须施加额外的较强假定，在实践中鲜有应用。另一方面，局部随机化框架所识别的是在带宽内所有个体的平均处理效应（ATE），尽管其带宽通常较窄。

总之，断点回归的两大分析框架各有优缺点，而局部随机化框架在未来可能越来越重要。进一步，本文通过蒙特卡洛模拟，深入比较了二者的表现。结果发现，若驱动变量在更宽的MSE 最优带宽内外生，则连续性框架的估计更有效率。然而，若驱动变量仅在更窄的局部随机化带宽内外生，则连续性框架的估计不一致，而局部随机化框架的估计依然一致。另外，本文还通过美国参议院选举的经典案例（Cattaneo et al.， 2015）进行演示，比较两大框架在操作上的具体差异。

有关断点回归的英文文献综述包括Cook（ 2008）、Imbens & Lemieux（ 2008）、van der Klaauw（ 2008）、Lee & Lemieux（ 2010）、Cattaneo & Titiunik（ 2022），以及 Cattaneo et al.（ 2020a， 2023）所提供的实践指南，而中文文献综述包括谢谦等（2019）、刘生龙（2021）、张泽宇等（2022）及刘冲等（2022）。其中，刘冲等（2022）在国内文献中首次将断点回归的两大分析框架进行了对比，并介绍了断点回归的一些新应用场景及拓展，包括多重驱动变量、多重断点、拐点回归设计等。与这些综述文献相比，本文详细地介绍并比较了两大框架的原理与技术细节，包括识别、估计、推断与证伪，特别是国内学界还比较陌生的局部随机化框架；并通过蒙特卡洛模拟与经典案例深入考察了二者的差异。本文的创新之处包括，首次指出连续性框架的断点回归可能存在内生性偏差，并通过蒙特卡洛模拟进行验证。另外，由于局部随机化框架下的有效样本容量可能较小，易受离群值影响，本文提出使用“留一估计”（leave-one-out estimates）进行稳健性检验。本文还使用美国参议院选举的经典案例（Cattaneo et al.，2015），演示两大框架的具体操作。

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断点回归两大框架的比较

断点回归的连续性框架与局部随机化框架无论在假定、识别、估计及推断方面均有相当差异。一方面，连续性框架始于Hahn et al.（ 2001）的非参数识别，成熟于Calonico et al.（ 2014）的偏差校正稳健估计，技术已十分完善，是目前断点回归的主流方法。另一方面，局部随机化框架起步较晚，始于Cattaneo et al.（ 2015），经过Cattaneo et al.（ 2017）的拓展，也趋于成熟。局部随机化框架目前应用较少，仍主要作为稳健性检验或替补方法。

断点回归两大框架一主一辅地位的形成，表面原因是局部随机化框架出现较晚，而连续性框架占据先发优势，早已在实证研究中普及。更重要的原因则是，学界普遍认为连续性框架的假定比局部随机化框架更弱，而出于稳健性考虑，我们一般偏好假定更弱的方法。但事实上，连续性框架的假定并不一定比局部随机化框架更弱，因为它隐含地假定驱动变量在最优带宽内为外生变量。为此，本节首先考察连续性框架的隐含外生假定，以及离散驱动变量的问题，并以表格形式全面对比两大框架的不同特征。

（一）连续性框架的隐含外生假定

众所周知，在进行线性回归时，一致估计的最基本要求是解释变量为外生变量，即解释变量与扰动项不相关。此结论对于非参数回归依然成立，因为非参数回归仅解决回归函数误设问题，本身并不解决可能存在的内生性。具体到断点回归的连续性框架，一致估计要求驱动变量Xi 在所选最优带宽内为外生变量。显然，假定2.1（驱动变量的连续性）与假定2.2（结果变量条件期望的连续性）均无法保证驱动变量的外生性。进一步，在实践中，连续性框架的MSE 最优带宽通常较宽，一般也难以满足局部随机实验的假设。例如，在美国参议院选举的经典案例中（Cattaneo et al.， 2015），使用三角核进行局部线性回归所得的MSE 最优带宽为[-17.754， 17.754 ]。①在民主党得票率与最强竞争对手相差达±17.754% 的区间内，显然未必是势均力敌的选举（close election），故难以满足局部随机实验的假设。事实上，根据Cattaneo et al. （2015）所汇报的结果，满足局部随机化带宽仅为[-0.75， 0.75 ]。然而，实证研究者经常非正式地将MSE 最优带宽内的断点回归一概视为局部随机实验（无论此带宽有多宽），而不担心驱动变量可能的内生性。为此，本文在文献中首次引入如下外生性假定，以保证连续性框架的一致估计。

假定4.1（驱动变量的外生性）：驱动变量Xi在所选最优带宽内为外生变量，与局部多项式回归方程的扰动项不相关。

很遗憾，假定4.1 长期为文献所忽视，而实证研究者则通常将其看作理所当然的隐含假定。当然，实证研究者也担心存在内生分组的可能，故一般通过密度检验（McCrary， 2008；Cattaneo et al.，2020）考察在断点处存在个体完全操纵的可能性。然而，即使密度检验通过，也依然无法保证驱动变量在整个最优带宽内的外生性。

由于学界对于假定4.1 充满信心，以至于经常以一元回归进行断点回归，而不在回归方程中加入任何协变量。进一步，即使加入协变量，也认为只是改进了估计效率，而不影响估计的一致性（Calonico et al.， 2019）。基于同样的原因，在使用面板数据进行断点回归时，一般也认为不必考虑个体固定效应，尽管控制个体固定效应可以提高估计效率（张春丽等，2020）。然而，由于连续性框架所选最优带宽一般较宽，故局部随机实验的假设难以成立，这使得假定4.1 也可能不成立。这提示实证研究者，在使用连续性框架进行断点回归时，应重视引入协变量，以解决可能存在的遗漏变量偏差。类似地，在使用面板数据进行断点回归时，则建议控制个体固定效应，以缓解内生性偏差的顾虑。

局部随机化框架在通过协变量平衡检验选择带宽时，已充分考虑满足局部随机化的假定，且所选带宽通常更窄，故假定4.1 在局部随机化框架下更易满足，从而在源头上避免了可能的内生性偏差。在第五节，我们通过蒙特卡罗模拟，进一步比较了连续性框架与局部随机化框架，以揭示连续性框架可能存在的内生性偏差。

（二）离散驱动变量

连续性框架假设驱动变量为连续型随机变量，且在断点处密度为正数（假定2.1）。这意味着，若驱动变量离散，则使用连续性框架进行断点回归可能会遇到困难。若驱动变量离散，则在断点处的局部平均处理效应不再是“非参数可识别”（nonparametrically identifiable），因为在断点两侧的极限lim x↓c E (Yi |Xi = x ) 与lim x↑c E (Yi |Xi = x ) 没有定义。此时，连续性框架的识别与估计必然要求对驱动变量的取值范围进行外推（extrapolation outside the support of the running variable）。

不失一般性，假设离散驱动变量的可能取值为{ x-K，⋯，x-1，c，x1，⋯，xK}，其中，为了简便，假设断点c 为中位数。在此情形下，若使用连续性框架，则需加上两个额外假定，即（1）从Xi = x-1 到Xi =c 所作的参数外推（parametric extrapolation）足够精确；（2）样本中驱动变量不同取值的个数足够大。如果满足这两个额外条件，则连续性框架的局部多项式回归仍可使用（Cattaneo & Titiunik， 2022）。

相反，无论驱动变量连续或离散，局部随机化框架均同样适用，无须额外假定。这凸显了局部随机化框架的另一优势。进一步，如果样本中驱动变量的重复值（repeated values）足够多，甚至可以选择最小的窗口，即直接使用满足Xi = x-1 到Xi = c 的观测值进行局部随机化的估计与推断。即使需要更宽的带宽，也可以每次按照驱动变量的离散取值来扩大窗口。

需要指出，尽管局部随机化常使用小样本的费雪推断法进行统计推断，但并不意味着其适用于原始样本就比较小的数据。如果原始样本容量已经较小，则在协变量平衡检验所选取的较窄带宽内，有效观测值可能更少，依然不利于小样本推断。由表1 可见，使用局部随机化框架的两大场景为离散驱动变量，或驱动变量在连续性框架最优带宽内可能存在内生性。由于这两种情形（尤其是后一种情形）均比较常见，故局部随机化框架在未来的断点回归实践中可望发挥更大的作用。

Reference: 陈强,齐霁,颜冠鹏.断点回归的两大分析框架：我们究竟该用哪一个？[J].经济学动态,2024,(11):128-144.

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