鬼影、帽子和海龟，它们的共同点：“爱因斯坦”

制图：米里亚姆 ·马丁西克（Miriam Martinc ic）

撰文 | 克雷格·S.卡普兰（Craig S. Kaplan）

翻译 | 陶兆巍

2022年11月，我的一位同事不经意间问起我的研究工作。当时我正高强度地思考问题，头脑已经有些神志不清了，于是茫茫然回答道：“我感觉我马上就要解决一个重大的未解难题了。”一 周以前，我收到一封邮件，邮件作者希望我检查他发来的一个多边形。那是我第一次看到“ 帽子 ”，它看起来平平无奇，结果却 被证明是一个几十年未解决的数学问题的答案 。

制图：珍·克里斯琴森（Jen Christiansen）

这封邮件来自 戴维·史密斯 （David Smith），我知道他的名字，他和我都在一个小众的“密铺问题”的邮件名单上。“ 密铺 ”这个数学领域研究的是 如何用几何形状来完美覆盖整个平面 。史密斯不是数学家，他自称是一位几何学爱好者，业余时间会在英格兰约克郡的家中做几何实验。

在收到史密斯发来的“帽子”多边形之后，我们开始频繁地联系，把2022年剩下来的所有时间都花在研究这个帽子上。2023年，我们又邀请了两名研究人员加入，一位是数学家哈伊姆·古德曼-斯特劳斯（Chaim Goodman-Strauss），另一位是软件开发者约瑟夫·萨缪尔·迈尔斯（Joseph Samuel Myers），他们也在那个邮件名单上，是密铺领域里更为知名的研究者。我们四个继续研究这顶帽子，在最短的时间里，我们证明了它正是我们长久以来寻找的、很多人认为并不存在的形状——“ 非周期单一瓷砖 ”（aperiodic monotile），也称“ 爱因斯坦瓷砖 ”（einstein tile）。

事实上，我们最终发现史密斯的帽子只是整个新大陆的一角。当我们在帽子形状所揭示的想法周边探索新地图时，我们惊讶地挖掘出了更多的宝藏，它们进一步加深了我们对整个密铺领域的理解。发现帽子后不久，我们又找到了“海龟”、“鬼影”等众多奇奇怪怪的“品种”，它们给我们带来了 远超初始预期的收获 。

迷人的密铺

密铺问题自古就对人类充满吸引力。然而，直到20世纪，数学家才开始认真地研究这个问题。所谓的“ 平面密铺 ”指的是 一组无穷多个二维几何形 状（“瓷砖”），用它们可以 完美地铺满整个平面 —— 没有重叠，也没有缝隙 。其中，数学家比较关心无穷多个二维平面瓷砖只有有限多个不同形状的情况。

想象一下，商店里提供了有限多种不同形状、不同大小的瓷砖产品，但是每种瓷砖都可以下单无穷多份，我们的目的是不重叠且没有缝隙地铺满整个地板——地板是一个无穷大的二维平面。我们可以 旋转 、 平移 （移动瓷砖，但不发生转动）和 镜像翻转 （相当于把瓷砖翻过来用）每一块瓷砖（当然把瓷砖切开是肯定不允许的）。如果最终用某个方案能铺满整个平面，我们就可以说这一系列几何形状（商店里这一套有限多种瓷砖形状，也称为一个几何形状集合）密铺整个平面。

当然，并 不是所有几何形状集合都可以密铺平面 ，比如只有一种正五边形就不行。而一个固定大小的正方形可以密铺平面，由于这个集合只有一种形状，我们就把它称之为“单一瓷砖”（monotile）。正八边形也不能单独密铺平面，但是正八边形搭配同等边长的正方形就可以了，此时这个集合里就有两种形状。

我们 如何判断一个形状集合是否可以密铺平面 ？答案是“没有普适的办法”——并不存在一种普适性的算法 可以判定一系列形状是否可以密铺平面。这种问 题在理论计算机科学领域里被称为“不可判定的”（undecidable）。不过退而求其次，我们可以单独研究不同的瓷砖集合，来判定并证明是否存在它们对平面的密铺方案。

有很多种方法可以判断某种形状的单一瓷砖能否密铺平面。 比如像史密斯，他甚至会在物理意义上尝试密铺：直接裁出某种形状的纸质瓷砖，然后在桌面上拼拼看（可惜我们的桌子并不是无限的二维平面），通过这种即时触觉来增强几何直觉。用这种方法，史密斯这种经验丰富的老手可以很快看出其中隐含的关于密铺的秘密。 在帽子形状出现以前，单一瓷砖只表现出两种可能的行为。

一种可能是它不能密铺平面 。我们可以做一个快速测试：在一个瓷砖周围尝试用相同形状的瓷砖完全环绕，不留一点空隙，如果这都做不到，那这种形状肯定不存在密铺。用这种方法可以验证，正五边形是不可密铺的。但它并不能证明一个形状可以密铺，因为存在一些比较有欺 骗性的情况，比如单一瓷砖可以被相同形状的瓷砖无缝隙地环绕几圈，但是它无法形成密铺——它总是会在你铺得 越来越大的时候卡住。

在1968年，数学家海因里希·黑施（Heinrich Heesch）展示了一种单一瓷砖，它可以被自己的副本环绕一圈，但是两圈就不行了。他还提问：是否这类无法形成密铺的单一瓷砖能够环绕自己的圈数存在上限。这个问题目前还无解。我们把这种 环绕圈数的上限 称为单一瓷砖的“ 黑施数 ”，目前发现最大的(小于无穷大的)黑施数是6，对应的瓷砖是一种看起来十分暴躁的多边形。

另一种可能是这种单一瓷砖可以“周期性地”密铺整个平面 。周期性密铺指的是这种密铺形成了周期性的图案，我们用一些瓷砖铺成周期性的图案单元，然后这种图案可以以平行四边形平移的方法铺满整个平面。

我们可以用 三个信息 来描述一个 周期性密铺 ：一个是“ 平移单元 ”（translational unit），指的是几个瓷砖构成的上述周期性图案；还有两个是图案排列时对应的 平行四边形网格的两条单位边 。如果假定平移单元一开始位于网格的原点处，我们可以复制这个单元的图案，然后将它们各自平移到网格的每一个格点，这样它们就恰好会形成平面的密铺。这种方法可以快速测试一个单一瓷砖是否可以密铺平面——首先用多块瓷砖搭建一些平移单元的候选，再看看它们中的哪个可以以平行四边形的方式密铺平面。

然而，当史密斯开始测试他的帽子瓷砖时，他发现 这个帽子不符合上述两种行为的任何一种 。首先，它似乎并不能很简单地用刚刚那种“平移单元”的方式周期性地密铺整个平面，但又无法肯定它不能密铺整个平面——史密斯可以在帽子周围用这个形状环绕非常多圈而一直不被卡住。

那么，有一种可能是：这种单一瓷砖的形状并不能密铺，但是它的黑施数非常大；另一种可能则是：它可以周期性密铺，但是它的平移单元非常大。史密斯知道这两种情况应该非常罕见，那么 不排除是第三种从未出现过的、令人激动的可能性…… 于是，他给我发了一封邮件。

寻找“爱因斯坦瓷砖”

大概60年前，数学家开始思考是否存在这样 一组瓷砖形状 ，它们 能够密铺整个平面 ， 但是所有的密铺方式都不是周期性的 ，也就是说我们无法找到它们的周期性平移单元。我们把这种瓷砖组称为 非周期性 （aperiodic）瓷砖集合。这个概念存在一个关键点：刚刚定义的“非周期性”是一个比“无周期性”（nonperiodic）强大很多的性质。很多形状，比如2×1的长方形，既可以以周期性的方式，也可以不以周期性的方式（无周期地）铺满整个平面，这种情况不叫“非周期”的，非周期的瓷砖集合不存在任何一种周期性的方式铺满平面。

这种“非周期性”是首先由华人数学家王浩（金岳霖先生的学生）在60年代早期给出明确定义的，当时他是哈佛大学的数学教授，正在研究所谓的“ 王氏砖 ”——就是 正方形瓷砖 ， 但是 上下左右四条边都被染上了特定的颜 色。当考虑 王氏砖的密铺 时，我们要求 相邻两块砖的贴合边必须有相同的颜色 。

王浩发现，如果给定一组王氏砖，我们可以用它们的副本拼出一个长方形，它的上下颜色依次完全相同，左右颜色也完全相同，那这个长方形就可以作为平移单元，因此这组王氏砖可以密铺平面。然后他对其逆命题提出猜想:如果一组王氏砖可以密铺平面，那么一定可以找到这种长方形的平移单元。换句话说，他猜想王氏砖的密铺一定不会是非周期的。

以当时大家对密铺的理解来看，王浩的猜想极为合理。但是几年后，他的学生罗伯特·伯杰（Robert Berger）推翻了他的猜想。伯杰构造出了世界上第一个非周期性瓷砖集合，它由20426种不同的王氏砖组成。 自然而然地，他提问是否有更小的非周期性瓷砖集合，由此，整个数学界展开了一场势不可挡的竞赛，大家纷纷想知道可以 形成 非周期密铺的王氏瓷砖组可以有多小 。1971年，美国加利福尼亚大学伯克利分校的拉斐尔·M.罗宾逊（Raphael·M. Robinson）发现这个集合只需要6种类似王氏砖的修改过的正方形就够了。

此后的1973年，英国牛津大学的数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）有了突破性的发现—— 只需要两种瓷砖 （不是正方形的王氏砖）就可以形成非周期密铺了。这两种形状分别是 “风筝”和“飞镖” 。

彭 罗斯的工作让我们迅速 逼近 非周期密铺的终点 ，但在冲线之前，一个很明显的问题是“ 单一一种瓷砖是否可以形成非周期密铺 ”？我们称这种单一瓷砖的形状为“ 爱因斯坦瓷砖 ”（“einstein”），这里的“爱因斯坦”与著名的物理学家爱因斯坦无关，它其实是 德语“einstein”的音译，意思是“一块石头”。所以 寻找非周期单一瓷砖的问题也被称为“爱因斯坦”问题 。

在彭罗斯之后，这个问题的进展停滞了近乎50年。通常情况下，对于一个未解问题可能的答案，数学界往往有一个较为一致的共识。比如，虽然哥德巴赫猜想还没得到证明或证伪，但是我们有足够多的证据表明它应该是对的。但是“爱因斯坦”瓷砖最吸引我的地方在于， 它的存在与否似乎一直没有什么明确的支持或者反对性证据 （除了整整50年没有进展的残酷现实以外）。

有一些数学家认为，不可能存在这种非周期单一瓷砖，但是我一直认为两种结局都有可能。如果没有意外情况出现，我可能会认为写一个存在性证明比写一个不存在性证明更容易一些。因为前者我们只需要证明一个特定的形状可以非周期密铺，但是后者却需要对所有形状给出证明。不过还好现在我们知道，在这个问题上，宇宙还是 挺照顾我们的。

宇宙的眷顾

史密斯最初的目标并不是要找到“爱因斯坦”瓷砖 ，但他当然知道这个问题的历史和重要性。在他的探索中，他 总是尝试发现一些非周期性的迹象 。在2022年11月24日的一封邮件里，探索非周期排列许久的史密斯斗胆猜测，他的“帽子”可能就是“爱因斯坦”瓷砖。然后他很谦虚地问道，“这个应该挺重要吧？”

史密斯和我开始尝试理解帽子表现出的行为。帽子是一种“ 多格形 ”（polyform），多格形指的是由 一堆全等的基础形状拼合而成的图形 。比如，每一种俄罗斯方块都是多格形，因为它们都是由四个全 等的小正方形组成[这种由若干个全等正方形组成的多格形叫“多格骨牌”（polyomino）]。

帽子则由八个风筝形组 成。这里的“风筝”和彭罗斯的“风筝”并不全等。史密斯的风筝是正六边形的六分之一，通过连接正六边形中心和各个边的中点切割得到。

史密斯知道我最近编写了一个可以计算多格骨牌、多格正六边形和多格正三角形的黑施数的程序，所以他问我能否计算“多格风筝形”的黑施数。非常幸运，一年前我在滑铁卢大学的一位本科生阿娃·潘（Ava Pun）的帮助下加入了对筝形的支持。

我的程序马上生成了一大簇的帽子集群，根本没有停下来的意思，这强化了我们认为这个帽子可以覆盖整个平面的信念 。更妙的是，这些由计算机生成的新集群成为了史密斯和我用来完善我们直觉的原始数据。我们开始用不同的方式来组合帽子瓷砖，通过手动给一些瓷砖填色（颜色用数字表示）之类的方法，努力寻找它们排列的规则。很快我们发现，一些镜像帽子稀疏地镶嵌在非镜像帽子构成的更大区域中,而在它们的周围,重复的图案开始涌现。（史密斯在他的剪纸拼图实验里也发现了这点。）

但是这些重复的图案始终无法形成平移单元 。并且，这些瓷砖开始在多个尺度下形成一系列具有类似“图案”结构的图案族。这种类似的“有层次感的重现”暗示着非周期性的存在：我们有机会借此找到所谓的“ 替换法则 ”组（substitution rules）。在有替换法则组的系统中，一组瓷砖图案中的每一个瓷砖形状都带有一条替换法则，我们可以使用法则将它替换为一个由多个缩小一定比例的全等瓷砖形状拼合而成的图案。 如果帽子形状有一个适当的替换法则组 ，那么我们可以 从瓷砖组成的一个“种子”图案开始 ，然后 不断使用替换法则 ， 每使用一次 ，我们 对视野进行一次对应比例的放大 。通过这种方法，我们可以定义一系列瓷砖数量越来 越多的帽子集群，最终将能铺满整个平面。 有很多的非周期性瓷砖集合（包括彭罗斯瓷砖）都可以通过替换法则的方式铺满平面 。

在我50岁生日那天，也就是第一次见到帽子形状大约两周以后，我找到了一个初步的替换法则组。这里有个技巧，我们不能在原始帽子形状的镜像上直接应用替换法则。 原始帽子的镜像的行为和非镜像版本的行为是不同的 。我将一个镜像帽子和周围的三个非镜像帽子看作一个整体，作为一块新的不可分割的“ 元瓷砖 ”。元瓷砖和非镜像帽子一样，是 一个 拥有自己的替换法则的“成熟”形状 。

2022年余下的时间里，我改进了元瓷砖和它们的替换法则组，最终得到一个拥有四块元瓷砖的替换法则组，其中每一块元瓷砖都由几个帽子构成。（其中一个就是原始的非镜像帽子，还有两个构成相同但是替换法则不同。）

构建“无穷之塔”

到了2023年初，史密斯和我完成了非周期密铺的证明的一半，不过看起来是容易证明的那一半。 我们的元瓷砖和替换法则组能证明帽子的确可以铺满无限大的平面 ，而非仅仅是拥有一个巨大但是有 限的黑施数，同时 这种密铺的确是 无周期 的。但请记住， 无周期和非周期还差得很远 ——非周期指的是每一种可能的密铺都是无周期的，我们还不能排除一种可能：帽子其实可以形成平移单元，从而导致周期性密铺，而我们刚刚完成的无周期构造只是一个过于复杂的操作。

为了完成另一半证明，我们 需要证明帽子形成的任何密铺都是无周期的 。我对如何完成这一步略知一二，但我此时的感觉就像去年11月的史密斯一样，这已经接近我数学专业知识的极限。是时候请 援军 了。

2023年1月初，史密斯和我联系了数学家古德曼-斯特劳斯，他曾在密铺理论方面发表过不少重要的文章，我认为他是当代密铺研究的权威。同时，他也是有名的数学传播者和实践活动的组织者，当时他正在转型担任美国纽约市国家数学博物馆外联数学家的新职务。换句话说，他已经忙得要命了。但他提出了宝贵意见，并且坚持让我们马上联系迈尔斯。迈尔斯在获得组合数学的博士学位后，离开了学术界，但他仍然对密铺问 题感兴趣。事实上，他还负责维护一个编目多格形密铺性质的项目。我在2006年时还帮他做过一些计算，而我自己对黑施数的研究也使用了他的程序。

但是我从未如此紧密地和迈尔斯合作过，他的精神力、编程水平和领域知识的结合属实让我大吃一惊。他此前在密铺问题上的工作让他为这一刻做好了准备。在加入我们一起工作8天以后，迈尔斯就完成了证明。 在一月下旬，我们确认这顶帽子是第一个非周期单一瓷砖 。

我们得到了战果，于是在2023年2月初，我们开始撰写论文手稿，和全世界分享这顶帽子。 如果不是史密斯的数学洞察力，这个神奇的故事可能到此就结束了 。但早在2022年12月，他通过邮件给我分享了 第二个形状 ，也是一个“多格风筝形”的图案， 我们叫它“ 海龟 ”，它的行为和帽子很相似，海龟也具有不可思议的非周期性。大家苦 苦找寻了50年，结果史密斯一下子发现了两个革命性的形状，这可能吗？再给我点时间 吧，我的脑袋里已经塞满帽子了，我现在只想冷静冷静。

帽子可以看作一个多边形，它的边长是1和3 （它有一条长度为2的边，由两个长为1的边组成）。就像长方形有长和宽两个参数一样，我们也可以用两个参数a和b替代帽子的边长，得到的 新的多边形称为Tile(a,b) ，帽子其实是Tile(1,3)，而海龟则是Tile(3,1)，迈尔斯证 明了 几乎所有的Tile(a,b) 都是 使用相同方式进行非周期密铺的单一瓷砖 ， 除了三个特例 ：Tile(0,1)（“V字肩章”）；Tile(1,0)（“彗星”）和等边的多边形Tile(1 ,1)（可惜它没有一个酷酷的名字），这三个特例的瓷砖更灵活一些，它们不仅能实现非周期密铺，还可以有周期性密铺。

不久之后，迈尔斯深化了他发现的帽子和海龟的联系，基于Tile(a,b)的连续性结构给出了论证帽子非周期性的 第二种证明 。他采用了经典的 反证法 ：假设帽子存在周期性的密铺，我们可以推导出荒谬的结论，表明这种存在并不成立。具体而言，他发现通过拉伸和压缩这个周期性帽子密铺的边，就能得到一个等价于上述V字肩章和彗星的周期性密铺。但是肩章和彗星都是“多格正三角形”，它们的密铺建立在平面的正三角形密铺上，区别在于缩放尺度不同——两个肩章的组合图形其实相似于一个彗星。

经过结合了组合学、几何学和少量数论的论证过程，迈尔斯证明了由于肩章和彗星的密铺都源于帽子密铺的形变，而且它们的底层都是正三角形密铺，但二者之间存在一个数学上不可能的缩放比。由此，我们得到了证明帽子是非周期单一瓷砖的第二种方法。它令人兴奋的点不仅仅在于它 又一次验证了帽子的非周期性 ，更是 为这个领域带来了一种全新的证明方法 ，这 可能有助于未来人们分析密铺问题 。