今天我们为大家介绍的是J. A. Hanley于本月发表在
Biometrika
上的文章《Studies in the history of probability and statistics. LI:
the first conditional logistic regression》。
1.背景介绍
在流行病学研究中，条件logistic回归通常用于配对病例对照研究。它能够通过控制潜在的混杂因素，提供相对可靠的疾病风险估计，是重要的统计工具。统计学家和流行病学家用到条件logistic回归时，通常引用的文章是Breslow N. E.等人于1978年发表在
American Journal of Epidemiology
上的《Estimation
of multiple relative risk functions in matched case-control studies》。
条件logistic回归在经济学研究中的首次应用是对“基于选择”或“基于结果”的抽样（McFadden, 1973），所以经济学家用到条件logistic回归时，通常引用的文章就是McFadden1973年发表在
Frontiers in Econometrics
上的《Conditional logit analysis of qualitative choice behavior》。
但是条件logistic回归可能有着更早的起源。早在1934年，Lionel Penrose和Ronald Fisher在研究“母亲年龄对唐氏综合征患病率的影响”时，可能使用了历史上第一个条件logistic回归模型。
2. Penrose和Fisher对唐氏综合症的研究方法
我们假设有若干家庭，这些家庭都只有两个孩子，且分别在母亲年龄为32和42岁时出生，另外每个家庭中有一个孩子患有唐氏综合征。用
和
分别表示在母亲年龄为32和42岁时出生的孩子患有唐氏综合症的概率，从而在母亲年龄为32和42岁时出生的孩子正常(N)的概率可以用
和
表示。因此对于这些恰有2个孩子家庭中，可以看成是每个家庭分别进行了两次独立的Bernoulli试验，概率分别为
和
，那么可能出现的四种家庭构成分别为
两个孩子都正常或者都患病的情况不在研究范畴；另外两种情况的比率
可以写作
或者
把
记为
（Penrose和Fisher使用的符号为
，并称其为relative odd），两种情况的比率还可以表示成
。所以在这样的家庭中，在母亲32岁时出生的孩子患有唐氏综合征的概率可表示为
。
需要指出的是，唐氏综合征的患病率
极低，所以和relative odd
在数值上十分接近，这很可能就是Penrose直接把relative odds作为唐氏综合征患病的relative probabilities的原因。
另外，一个很自然的推广是对于只有一个患有唐氏综合症孩子的家庭（孩子总数不限），如果一个孩子对应的relative odd为
，那么他患病的概率为
，其中
是这个家庭中所有孩子对应的relative odds之和。
3. 具体数值计算
为了简化运算，而且因为将母亲年龄作为协变量会使得回归模型有相当大的曲率， 所以Penrose选择了分段建模。具体来讲，他用7个参数来对年龄函数进行建模，每个参数对应一个5年宽的年龄段，Fisher称之为
序列。这7个参数就可以理解为上述的relative odds，只不过这里的
表示的不是在某一年出生孩子的患病率，而是某五年内出生孩子的患病率。
Fisher建议在获得试验值时将年龄分为五年或三年一组，并按照观察到的唐氏综合征儿童与期望值的实际比例，逐年增加或减少这些值，直至满足拟合条件。但是Penrose在整个过程中一直坚持使用了七个5年的分段（每个分段内的
是未知常数）。
当在每个年龄段内观测到的正常人数和患病人数与预期值相符时，可以认为所计算的
value是正确的。资料显示，Penrose在进行了7次迭代后，拟合频率与观察频率相差不到1%，此时得到的
values如表1所示。
表1 历次迭代得到的
values和患病儿童数量
该表中仍然沿用了当时的记号
，而没有使用
。另外，由于
values是“相对几率”，所以可将最低风险年龄组（25-29岁）作为参考类别，缩放后的几率记为1，其他括号内的值都是已做了相应缩放后的结果。
将Penrose的上述计算结果绘制成散点图，并在其上叠加显示：（i）母亲年龄的分布（ii）一个相对概率从1开始的比例尺（iii）使用clogit函数拟合带有3个自由度样条的平滑x曲线（iv）对拟合的x值进行重新定位，结果如图1所示。
4. 为什么Penrose和Fisher的方法就是条件logistic回归？
我们以Pardoe和Simonton（2008）对奥斯卡奖获奖者的预测为例，对最简单版本的条件logistic回归作简要介绍。假设有一个数据集合，对于任何给定的年份，它的每一行对应一个当年的提名者，包含了若干预测变量
和一个指示变量y（用于表示该行提名者是否最终获胜）。这样一来，在某一年度，指定提名者获胜的概率就是
其中
是对应的回归系数向量，分母的求和覆盖了该组所有提名者。
在评选出获奖者后，该年度的似然贡献还是相同的表达式，只是将其中指定的某个提名者的预测变量
替换为最终获奖者（y = 1）的预测变量
。用MLE很容易最大化似然函数求得回归系数向量。
Penrose和Fisher所提出的某个孩子对应的 relative odd（
或者x）可以按照上述形式表示为
其中，
是母亲年龄类别
中的孩子对应的relative odd的对数；指示变量
表示该孩子是否属于类别
。假设患有唐氏综合症的孩子属于第3类别，并将他的兄弟姐妹中的
总和表示为
