南山育才九年级期中数学压轴，四边形中的折叠问题，功底不够满分难拿！

(南山育才)【综合与实践】在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点.

证明过程如下：连接CH，

∵正方形ABCD沿CE折叠

∴∠D=∠B=∠CGH=90°，_______,

又∵CH=CH

∴△CGH≌△CDH

∴GH=DH

由题意可知E是AB的中点，设AB=6，DH=x，则AE=BE=EG=3，

在Rt△AEH中，可列方程：_______

解得：DH=______,即H是AD边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为AC，沿DE翻折得折痕DE交AC于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MN||AD.

【思考过程】

(1)“乘风”小组的证明过程中，三个空所填的内容分别是______; _______; _______;

(2)结合“破浪”小组的操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论：

【拓展提升】

(3)如图3，在菱形ABCD中，AB=5，BD=6，E是BD上的一个三等分点且DE连接AE，使点D关于AE的对称点为D´,连接ED´并延长与菱形ABCD的边交于点F，并依照上述描述在图3中将图补全，并直接写出D´F的长_______

解：(1)CG=CD,,2

(2)证明：延长DE交CB延长线于点H，易知△ADE≌△BHE，得BH=AD，AD:CH=1：2，故AG:GC=1:2，而MG||BC，得AM：MB=1：2,即M为AB的三等分点；

(3)如图，易知△EMD´~△EFB得，得EF=2EM，设EM=m，则EF=2m，BM=4-m同时△MED´~△MAB，得，得AM=，MD´=,AD´=5,即=5,得m=，D´F=

点评：题目篇幅有点长，但是立足点仍然是几何证明及求解，从全等至相似，从正方形到菱形，难度上有一定的梯度，有一定的探究性.建议减小题目篇幅，否则有些偏离了数学的简洁美，将简单问题复杂化，走偏的风险在增加.

2025版《中考压轴》经历了较长时间的修订，专题一增加了《解决几何最值问题的核心技巧》,帮助同学们站得更高，确保拿下此类题型.

增加了《平面几何综合压轴25题》,题目源自2024中考真题及模拟题，经历反复推敲和选择确定.

中考真题经典系列，增加了2024年各地中考及模拟题中的填空及选择题压轴，作为平时的练习题.