数的演化——真的、假的、虚的数｜书摘

在上周的《数的起源 —— 从计数到十进制》中，为大家介绍了数的演化，接下来，实数和虚数开始粉墨登场了 ……

人们需要的是数

当希腊文化被其他影响代替时，实用的传统就更加重要了。这一点可以从阿尔·花拉子米的另一本著名的书（“代数”一词就是从这本书的书名得来的）看出来。这本书实际上是许多不同类型的实用或半实用问题的概要。阿尔·花拉子米在书中开宗明义地宣布，我们不再是生活在希腊数学的世界里，“当我考虑人们在计算中需要的是什么时，我发现人们需要的是数”。

阿尔·花拉子米的书的第一部分是讨论二次方程，以及处理二次方程所需的代数计算（当然都是用文字来表述的，什么符号也没有用）。他的方法实际上就是现在还在使用的二次方程公式，当然其中就需要求平方根。但是，在每一个例子里，需要求平方根的数都是完全平方数，所以平方根很容易求——阿尔·花拉子米得到的确实是一个数！

然而，在这本书的其他地方，就可以看到阿尔·花拉子米已经开始把无理的平方根看成类似于数的实体。他教导读者怎样对含有平方根的符号进行操作，而且给出例如下面那样的例子：（20 - ）+ ( - 10） = 10（当然都是用文字来进行）。在书的处理几何和量度的第二部分，甚至可以看到对于平方根的近似：“乘积为一千八百七十五；取它的根，这是一个面积；它是四十三多一点。”

中世纪的伊斯兰数学家不仅受到以阿尔·花拉子米为代表的实用的传统的影响，也受到希腊传统的影响，特别是欧几里得的《几何原本》的影响。在他们的著作里，人们可以找到希腊的精确性和比较实用的量度方法的混合物。例如在奥马尔·哈亚姆 （Omar Khayyam） 的《代数》一书里，就既有希腊风格的定理，又有求数值解的愿望。对三次方程的讨论中，哈亚姆既努力用几何作图的方法来求解，又哀叹自己不能找到数值。

然而，“数”的领域已经在慢慢地扩大。希腊人可能还是坚持 不是一个数，而只是一条线段的名称，即面积为10的正方形的一边，或者是一个比。在中世纪的数学家中，不论伊斯兰还是欧洲的数学家， 的性态都越来越像一个数，它进入了运算，甚至出现在某些问题的解答里。

对所有的数都给以同等地位

把十进制系统推广到分数，这个思想是几位数学家互相独立地发现的，其中最有影响的要推斯特凡 （Simon Stevin，1548-1620） 。他是弗兰德斯的数学家和工程师。他在1585年出版的一本名为De Thiende（原书为弗莱芒语，后来译为英语，书名《十进算术》）的小书中，普及了这个推广了的十进制系统。他把十进制推广到十分位、百分位等等，就创立了现在仍在使用的十进制小数。更重要的是，他解释了这个系统如何用于简化涉及分数的计算，给出了许多实际应用。事实上，书的封面上就宣布此书是为了“占星学家、测绘人员和地毯的量度者之用”。

斯特凡肯定知道他的举动所引起的某些问题。例如他知道1/3的十进小数展开是无限的。他的讨论只是说，尽管完全的无限的展开是正确的，但是在实际应用时加以截断不会造成多大的影响。

斯特凡也知道他的系统给出了一个方法，对每一个长度都提供一个“数”（指十进小数展开式），他看不出1.176 470588 2与 （前者是后者的小数展开式的前一部分）有什么区别，也看不出 与1.414 213 562 3（后者是前者的小数展开式的前一部分）有什么区别。在《算术》一书（就是《十进算术》）中，他大胆地宣布，所有的（正）数都是平方数、立方数、四次方幂的数等等，所以都能开方，而且开方以后所有的根也都是数。他还说：“没有什么荒唐的数、没有道理的数、不正规的数、无法研究的数，或者无法听闻的数。这些称谓都是无理数的各种名称，而无理数就是非分数的数。

于是，斯特凡所提出的就是要把“量”或者“大小”的种种多样性都摆平，汇合成一个包罗所有的以十进制展开式来定义的数的概念。他知道，这些数可以用一条直线上的长度来表示，这就相当于现在相当清楚的称为正实数的概念。

斯特凡的建议由于对数的发明产生了大得多的影响。对数和正弦、余弦一样，是实际计算的工具。为了应用这些工具，就需要制表，而表就需要用十进制小数来表示。很快，人人都使用起了十进制表示。但是，到晚得多的时候人们才了解，这个举动是多么大的跃进。正实数不仅是构成大一点的数系，而且构成了大得不可比拟的数系，它的内部的复杂性至今还没有被完全理解（见集合理论）。

真的，假的，虚的

当斯特凡在写作时，以后的步骤也在进行：在方程式理论的压力下，负数和复数都变得有用了。

斯特凡本人就已经意识到负数，虽然很明显，他并不喜欢负数。例如他是这样来解释 -3 是方程 + x - 6 = 0 的根的，他说，这就是指的3是相关的方程 - x - 6 = 0 的根，后一个方程是在前一个方程中用 -x 代替 x 而得到的。

这自然是一个简单的逃遁之道，但是三次方程式就产生了更困难的问题。由于16世纪好几位意大利数学家的工作，得出了一个求解三次方程式的方法。关键的一步里包含了求一个平方根。问题在于需要求其平方根的数，有时是负数。

在那以前，如果一个代数问题导致求某个负数的平方根，则这个问题总是无解的。但是方程式 = 15x + 4 确实是有解的—— x =4 就是一个解——而在对它应用三次方程式的公式时就需要算出 。

另一位意大利数学家和工程师庞贝里决定来啃这块硬骨头，看一看究竟发生了什么事。在他的1572年出版的《代数学》一书里，他硬着头皮往前闯，计算了这个“新的根式”，而且发现这样就可以找到三次方程式的解。这表明，三次方程式的公式这时仍然能用，更重要的是表明了这些奇怪的新数也可以是有用的。