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陈省身访谈录：数学是我唯一能做的事

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2020-11-06 07:34

正文

陈省身是当代最伟大的几何学家之一。他1911年10月28日生于中国嘉兴，2004年12月3日逝世，明天是他逝世15周年的日子。下文是1998年刊发于《美国数学会通报》( Notices of AMS ) 的陈省身访谈录，采访者杰克逊女士 (Allyn Jackson) 是该刊的资深作家和副主编。

陈省身幼年时期，正是中国兴西学，创办西方式大学学院之时，他未满15岁便进了南开大学学习，深深地被物理学所吸引，只是当他发现自己从事实验工作并不太顺手时，最终改为主修数学。1930 年，陈先生进清华大学研究生院，在那里，有许多已在西方社会获得了博士学位的数学家，其中中国微分几何研究的先驱者之一孙光远 (Dan Sun) 教授曾经是芝加哥大学莱恩 (E. P. Lane) 教授的学生。大约20 年后，陈先生成了莱恩教授的继任者。1932 年，德国汉堡大学的数学家布拉施克（Wilhelm Blaschke）访问北京大学时，他的讲演给陈省身带去巨大的影响。

陈省身 | 摄影：Peg Skorpinski

杰克逊: 您在中国学习以后，就决定到西方来获得博士学位了？

陈省身: 我是1934 年获得奖学金由清华大学派遣来西方深造的。我1930年在清华做了一年助教，之后在研究生院学习了三年。我觉得对我来说去欧洲比去美国更合适，通常的情况是来美国，但是我对普林斯顿大学和哈佛大学并不感兴趣。

杰克逊: 为什么?

陈省身: 感觉是不太适合我的情况。我想成为一个几何学家，美国方面不具备那种我想继续从事的几何研究的条件，所以我想去欧洲。那时，尽管我是初出茅庐的学生，但是我有自己的长处，对于我想研究的、国际上的数学状况、谁是最好的数学家以及什么地方是最突出的研究中心，我都有自己的想法。我的估测可能不对，但是我有自己的思想。我决定去汉堡，事实上，后来证明这是一个非常好的选择。十九世纪末期科学的中心在德国，包括数学也是如此，而德国的数学中心是在哥廷根，还有柏林、慕尼黑也不落后。当然，巴黎始终是数学的一个中心。

我于1934 年从清华大学毕业。1933 年希特勒在德国篡夺了政权, 德国大学开展大清洗运动，逼得犹太籍教授不得不流亡国外，哥廷根从此一蹶不振，汉堡成了最好的地方。汉堡大学是第一次世界大战以后新建立的大学，不是顶出名，但是它的数学系是出色的。于是，当时我就去了那儿。

就是在汉堡大学，陈省身首次接触了嘉当的研究工作，这给先生对数学的研究方法以决定性的影响。那时汉堡大学的凯勒是嘉当思想的主要阐述者之一: 凯勒已出过一本书，书中阐述的基本定理就是如今闻名的“嘉当—凯勒定理” 。凯勒在汉堡大学组织了研讨班，研讨班的第一天，所有的教授如布拉施克、阿廷、赫克等都参加了。

陈省身: 研讨班看上去就象庆祝会，班级里挤满了人。书也正好出版了，凯勒拿了一大堆书走了进来，每人分发一本。但是内容太难了，因此研讨班开了几次以后，就不再有人光顾参加。我想坚持到最后的就只有我一个了。我认为我能坚持到最后是由于我能紧跟其主题的缘故。不仅是那样，我当时正在写一篇有关应用其方法到另一个问题的论文。因此研讨班对我来说具有很重要的意义，我甚至去找凯勒先生。有多少次我们在一起吃饭。学院附近有一个餐馆，我们一边吃饭一边谈论各种各样的事情。我的德语是有限的，而那时凯勒先生不讲英语。不管怎么说，我们相处得很好。因此, 最后我很快地完成了我的论文。

大家都知道嘉当是最伟大的微分几何学家，但是他的文章非常难懂。其中一个原因是，他用所谓的外微分。并且在我们微分几何课题中，其中你谈到了关于流形，一个困难是几何是用坐标来描述的，但是坐标没有 (内蕴) 意义，因为它们是允许进行变换的。并且为了处理这种情况，一个重要的工具是所谓张量分析或里奇演算，对数学家来说这是新的。在数学中你有一个函数，你要写下这个函数、你计算，或加，或乘，或你能微分，你有非常具体的东西。在几何中，几何位置是用数 (坐标) 描述的，但是你能任意选择你的数 (坐标) ，所以为了处理这些，你需要里奇演算。

陈省身拥有三年的奖学金资助，但是他仅花了两年的时间完成了他的学历。第三年，布拉施克安排他去巴黎和嘉当一起工作。先生不太懂法语而嘉当只说法语。第一次会面，嘉当就给先生出了两个问题要他解决。过了一段时间，他们偶尔在庞加莱研究所的楼梯上遇见，陈省身告诉嘉当他还未能解出那两个问题。嘉当让先生到他的办公室来一起讨论它们。当陈省身在嘉当办公时间准时到来时，却见这位著名数学家的办公室被许多求见者挤满了。几个月后，嘉当邀请先生到他家里与其讨论问题。

陈省身: 通常在与嘉当会面后，我总能收到他的一封来信。他总是说: “自你走后，我对你的问题想得更多了…… ” 他会得出一些结果，并且也会有更多的问题，等等。他熟知所有的有关单李群，李代数的论文，而且烂熟于心。当你在街上遇见他或当某篇报告发表时，他总会抽出一些旧的信封，写上些什么, 给你一个答案。为了得到相同的答案，有时甚至花费我数小时或数天的时间。大概每隔二周看到他一次。很显然，我必须努力地学习研究。这样坚持了一年，到1937 年，我才回到了中国。

当陈省身返回中国后，成了清华大学数学系教授。残酷的日寇侵华战争限制了他与国外数学家的联系。他写信给嘉当说明了他的处境，嘉当寄了一箱他的重印本给先生，还包括一些以前的论文。先生花了大量的时间阅读和思考它们，尽管与外界隔离了，但是陈省身继续发表着他的论文，他的论文引起了国际上的注意。1943年他得到了几何学家维布伦教授的邀请, 希望他去普林斯顿学院继续深入研究。由于战争，先生花了一个星期才乘美军的军用飞机抵达美国。在学院的两年期间，先生完成了他对高维高斯-博内定理的内蕴证明，这把任意维闭黎曼流形的欧拉示性数表示为曲率在整个流形上的积分。这个局部几何性质和整体拓朴不变量的理论结合，在先生的工作中展示了深层的主题。

杰克逊： 在您的数学研究中，您认为最重要的是什么?

陈省身： 我想是纤维空间的微分几何。你知道，数学正走向两个不同的方向。一是一般的理论，例如每个人都必须学习点集拓扑学，学习一些代数学，由此打下一般的基础，那几乎覆盖整个数学的基本理论。然而也有一些课题是特殊的，而它们在应用数学上却起着重要的作用。这些东西你必须相当了解，例如一般线性群、甚至酉群。它们到处渗透，无论你是研究物理还是研究数学理论的。因此，数学中既有一般的基础理论，也有某些美妙的东西。纤维空间便是其中之一。你拥有一个空间，其纤维相当简单，这是经典空间，要把它们以某种方式放在一起。这就得到一个非常基本的概念。在纤维空间中，联络的概念极其重要，这是我研究工作的切入点。通常来说， 最好的数学研究工作，是把一些理论与一些非常特殊的问题结合起来，在特殊的问题促使一般理论得以发展 。 我就是应用联络的思想给出了高斯—博内公式的第一个证明。

高斯一博内公式是最重要最基础的公式之一，不但在微分几何，而且在整个数学领域也是如此。在我1943年来普林斯顿之前，我就已经考虑过这一点，因此从某种意义上讲，我在普林斯顿的发展是十分自然的。到普林斯顿后，我见到韦伊，他和阿仑道弗已经发表了他们的论文。韦伊和我很快成了朋友，所以很自然地，我们讨论了高斯-博内公式，之后我得到了我的证明。我想这是我最好的工作之一，因为它解决了一个重要而基本的经典问题，并且思想十分新颖。为了让你的思想付诸实践，你需要有技术上的天才。这不是轻而易举的，也不是只要你有想法就可以实行的。这是微妙的。所以我认为这是件非常好的工作。

杰克逊: 你最重要的工作之一是对示性类的发展。

陈省身: 示性类一一它们不是给人以那么深刻的印象: 示性类是非常重要的，因为这些是纤维空间基本的不变量。纤维空间是非常重要的，所以示性类产生了。不过这没伤我多少脑筋。它们经常出现, 包括一阶陈示性类 c ₁ : 因为在电磁学中你需要复线丛的观念。而复线丛引出 c _1，这在狄拉克关于量子电动力学的论文中就有。当然狄拉克并没有称之为 c ₁ 。当 c ₁ 不为零时，它是与所谓的磁单极有关。示性类的重要性是明显的，因为它们自然而然地出现在一些具体而基础的问题中。

陈省身诗 | 图源：林节玄

杰克逊: 1940年代当您首先发展陈类理论时，您是否意识到庞特里亚金的工作以及这样的事实：一个实纤维丛的庞特里亚金类可以从其复化的陈类重新得到？

陈省身: 我的主要想法是，人们应该在复数情形下做拓朴和整体几体的研究。复数情形有更多的结构，而且在许多方面要比实的情形更简单。因此我引进复情形下的陈类，而实的情形要复杂得多。我读过庞特里亚金的论文，但我没有看到他的详细论文，不过我想他在英语版的《科学纪事》上发表了摘要。我是从希哲布鲁赫处得知陈类和庞特里亚金类之间的关系的。陈类可以用局部不变量曲率表达。我主要对局部性质与整体性质之间的关系感兴趣。当你研究空问的时候，你所能测量的则是局部性质。重要的是，一些局部性质与整体性质是相关联的。高斯-博内公式的简单情况是，三角形三个内角的总和是180 度。它出现在非常简单的事实中。

杰克逊: 您被视为整体微分几何的主要专家之一，而且您喜欢用嘉当的微分形式和联络等工具。而德国学派，如作为代表的克林根伯格，却以不同的方法研究整体几何：他们不喜欢用微分形式，他们用测地线和比较定理等手段。你是怎样看待这种差异的呢?

陈省身: 没有什么根本的差异，这是传统的发展。例如，为了研究流形上的几何, 标准的技巧是里奇演算。基本的问题是形式问题，这是由利普希茨和克里斯托斐耳尤其是后者解决的。而克里斯托斐耳的想法又追溯到里奇，里奇写了关于张量的里奇运算的著作。所以所有的人，包括外尔，都是通过里奇演算来学习数学的。张量分析起着那么重要的作用, 于是大家都学，大家在微分几何方面都是从张量分析开始的。不管怎样，在某些方面，微分形式应该引入。我通常喜欢说，向量场就象一个男人，而微分形式就象一个女人，社会必须由两性构成。如果单有男人或单有女人，社会是不完整的。

1943 年至1945 年，陈省身在普林斯顿研究所访问两年，之后返回中国。在中国也呆了两年，他帮助建立了中央研究院数学研究所。1949 年他成了芝加哥大学的一名数学教授。1960 年又至加州大学伯克利分校任教。1979 年先生退休后依然积极活动，尤其是帮助创办了伯克利的美国国家数学研究所。从1981 年— 1984 年先生出任首任所长。陈省身已培养了41位博士。这个数字还不包括他在频繁的访华中已有联系来往的许多学生。由于“文化大革命”，中国失去了许多天才的数学家，数学研究的传统也几乎丧失殆尽，陈省身做了许多事情以恢复这一传统。特别是1985 年先生对中国天津南开数学研究所的创办起到了重要作用。

杰克逊: 您多长时间回中国一次?

陈省身: 近年来我每年都要回中国。通常呆上一个月或更长的时间。我在南开创办了数学研究所，最重要的是拥有了一批扎根中国的杰出的青年数学工作者, 这方面我们已获得了成功。我们新的研究人员包括龙以明 (动力系统) 、陈永川 (离散数学) 、张伟平 (指标理论) 、方复全 (微分拓扑) 等一批优秀的年轻人。我认为在中国对于数学研究最大的障碍主要是报酬太低。顺便说一下，国际数学联盟已将下一届国际数学家大会选定在北京举行。

杰克逊: 你认为中国在数学方面会有极大的提高吗?

陈省身: 嗯，是的。我所担忧的，倒是中国将会有太多的数学家了。

杰克逊: 中国是一个大国，可能他们需要大量的数学家。

陈省身 : 我认为他们不需要太多的数学家。中国是一个大国，自然她有许多人才，特别是在一些小地方。举个例子，有国际性的中学生奥林匹克数学竞赛，中国学生表现都是十分出色的。不过象这种情况，为了赢得竞赛，这些学生需要培训，结果其它课题就被忽视了。在中国，父母们总想让他们的孩子学英语，做生意，赚更多的钱。而竞赛是不给钱的。我想，如果哪一年这种培训方面他们投人得少了，中国的成绩就可能立刻下跌。

1943 年当先生选择去德国攻读研究生时, 在美国，几何学还只是一个刚刚起步的领域；到1979年他退休时，几何已经成为最辉煌的方向之一。这种变化多半归功于陈省身。然而，陈省身对他的成就却极为谦虚。

陈省身: 我不认为我高瞻远瞩。我只是在做一些小问题。数学中涌现出许多概念和新思想，你只是提出一些问题，然后尽力得到简单的答案，并期望给出简单的证明。

杰克逊: 那就是说，你先观察，然后产生想法？

陈省身: 对。在大多数情况下，你什么想法也没有。而在许多情况下，你的想法也行不通。

陈省身访谈录：数学是我唯一能做的事

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