【泡泡机器人翻译专栏】三维旋转群的参数化方法

泡泡机器人翻译作品

原文标题：On the parametrization of the three dimensional rotation group

作者：JOHN STVELPIYAGEL

翻译：高江峰

审核：鲁涛

编辑：王亚慧

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I. 引言

       1776年，Euler首次提出欧式空间三维旋转群本身是一个三维流形（manifold），自此三维旋转群的参数化问题就一直备受关注。这种参数化方法主要应用于刚体运动方程的积分计算。要描述刚体相对于质心的姿态，我们假设已知两组相互正交的单位向量（或坐标系），一组向量（坐标系）与刚体固连，随之运动；另一组保持恒定，并在时刻与移动向量（坐标系）重合。在时刻的移动系可以由固定系旋转得到，满足微分方程，其中（单位矩阵）；通过三维矢量定义，其中是角速度矢量。假设已知，要想得到，就需要对矩阵微分方程求积分，或者说是九个标量方程的系统（区别于矩阵方程）。如果可以用少于九个参数表示，那么给定的系统就可以等价为少于九个标量方程的系统，这样就可以简化计算问题。

       本文将说明为什么全局三维参数化方法无法避免旋转群的奇点问题。这就是Brouwer不动点定理在域不变性条件下的推论。我们还指出，虽然 Hopf 在 1940 指出最少需要五个参数才能够以全局1-1的方式表示旋转群，但是，“四元数法”使用四个参数，以1-2的映射方式表示旋转群，已经能够满足实际应用需求。此外，文中提到的三种三维参数化方法以及 Hopf 的五维参数化方法都已经过验证。

【译者注：Brouwer: 对任何连续映射 ，必存在 ，使得 。】

        本文主要针对那些被此类实际问题困扰，且想知道是否只能通过增加冗余参数来改进当前旋转参数化方法。答案必须增加，但是可以只增加一个冗余参数，获得无约束旋转（unrestricted rotations）的表示方法，从而获得更简单的微分方程。

        作者十分感谢促成这篇文章的R. E. Kalman 博士（RIAS），与他的探讨使我获益良多。

II. 符号与预备知识

我们将使用表示形如的复数矩阵；由此可得：

我们看到在实数域是一个4维关联非交换可除代数，从到的映射是的一种四元数同构，其中表示四元数的基（usual basis）。的行列式值是四元数范数的平方。表示中行列式值为1的子集，表示迹为零的子集。中元素恰好是行列式值为1的复酉矩阵，所以是一个群，拓扑等价于三维球（的单位球），因为中元素都是以下形式

其中。可以由集合生成。对于固定的，定义对自身的线性映射：，定义域的矩阵在 Q下被分别表示为和。

       旋转群用表示；由行列式为1的正交矩阵构成。和分别被指定为n维单位矩阵和零矩阵；除可能混淆的情况下，下标将被省略。向量或矩阵的转置将由上撇表示，例如：是行向量，由列向量转置得到。对于任意矩阵，表示的迹。

我们将在之后的章节用到在域不变性条件下Brouwer不动点定理，它被Hurewicz 和 Wallman [2]证明描述如下：如果和是欧式空间的同胚子集，且是开集，则也是开集。

III. 的拓扑

 在Q下的矩阵可以写成：

       对于所有的都正交，且行列式值为1。同样的，对于，成立，所以是一个群同态。因为是连续的，且是紧连通的，则是的一个紧连通子群。已知的紧连通子群只有、和绕固定轴旋转的群。因为没有固定轴，所以。当且仅当时，，所以是到的一个2-1映射。是一个拓扑三维球，我们看到，拓扑等价于确定对拓点的球，即投影三维空间。

       要想找到k个参数的 1-1 全局旋转群参数化方法，需要将旋转群嵌入欧氏空间，即，找到可微的 1-1 映射，通过可微的逆（differentiable inverse）将映射到，并使用像点表示旋转矩阵。

【译者注：“嵌入”是一种在数学上应用广泛的手段，其主要目标就是通过嵌入到一个属性良好，结构丰富的空间，从而利用其某种结构或者运算体系。关键词：manifold embedding】

        因为是一个三维流形，每个点r都有一个邻域，是开子集的同胚。如果有一个在的同胚，根据 Brouwer 理论在是开映射，所以表示定义域为的所有的并集，在是开映射。但是是紧致的，是紧空间的连续像（image），也将是紧致的。众所周知，欧氏空间不可能包含开紧子集，所以说不存在这样的同胚。

        H. Hopf 于1940年首次证明将嵌入的拓扑不可能性[1]。该证明基于三维投影空间的同调环知识（homology ring），在此不作叙述。同时，Hopf 在文中指出将嵌入是可能的，我们在下一章讨论。

IV. 五/六维参数化方法

       只要确定的前两列元素，就可以得到其所有元素，因为第三列元素可由前两列元素叉乘得到。因此，通过由两个列向量构成的六维向量可以实现旋转群的 1-1 全局参数化。对于，表示删除最后一列之后的矩阵，所以微分方程等价于，仅包含6个变量。

        令列向量，表示矩阵的前两列元素，有恒等式成立，其中

因为，所以满足以上条件的所有点的集合包含于中的单位球中。设是不属于的上的任意点，可以将立体投影到超平面正交于，从而获得嵌入的集合，拓扑等价于在中的。

令为一个矩阵，且。子空间的投影，正交于。对于，令。这表示连接与的线和正交于的超平面的交点集合。只有在=时，分母为零，但是，所以定义域为。如果是一个5维向量，则为1-1对应，正交于，连接和的线与单位球相交于一点：

       若，则满足：

       此时，5维向量满足上述两个方程，能够1-1地表示上的点，我们希望找出满足微分方程的，当时， 

      上述的方程对求导，得到：

       得到的的方程显然不是的线性方程，而且该方法在减少参数数量方面没有明显的优势。可以找到一个嵌入的更简单的的方程，这种方法主要是定义一种全局的、1-1、连续参数化方法，给定的嵌入是最明显的，可能也是得到5参数的最简单嵌入。

V. 四元数方法

       正如在§3中见到的，单位标准四元数与中元素存在2-1的对应关系。给定中的微分方程，可以在中确定微分方程，得到，我们现在说明怎样进行。

       令，考虑作用于。 在基 下的矩阵为：

如果

且

则。如果是 的解，则 ，因为，易得。同样的，对于任意确定的，。因此，若， 对于的矩阵，则，且将的解映射到 的解。如果，则，得到所需的特解。

对于中的实参，微分方程变为：

      应该指出的是，原线性方程变形后仍是线性的；这不是5维的方法，所以该方法显然远胜于五维参数化方法。虽然参数化方法不是1-1，但是由于是局部同胚的，所以没有出现问题。

理当质疑这种形式的表示方法是否可行，即，一对多，仅使用三个参数，但仍有局部同胚的性质，没有奇异点。答案是否定的，因为这将强制参数集为的覆叠空间（covering space）是除外仅有的覆叠空间，而已知三维球不能够使用少于4个参数拓扑表示。

VI. 三维参数化方法

       正如前文所述，没有哪个三维的参数化方法既是全局的又是非奇异的；但是，实际中也会使用三维的参数化方法，常见的至少有三个，每种方法都有其优点，我们将在这里进行介绍。

       根据应用场景的不同，欧拉角有许多不同的定义方式。这里采用的方式是根据飞行器姿态等问题定义的，因为欧拉角分别对应于飞行器的横滚、俯仰和偏航。

若

       在中，定义的欧拉角：令。如果，则定义：

      若，则，可得，但是和不能唯一的确定，受以下条件约束：, 。特别的，当时，通常选择=0。这将唯一确定，但也会导致参数化方法在处不是的连续函数。欧拉角能够将分解为绕刚体垂向、横向、经向轴旋转的乘积。即，

       显然，欧拉角给出的旋转群的参数化方法，不包含（即）的点。

若，其中  参见§5，则可写成：

       因为等号左边的行列式是，显然，在处奇异，所以，只有当不取这些值时，才能确定。如果预先知道刚体哪些姿态无法确定，我们就可以通过选取初始坐标系使这些姿态与奇异点对应。这种情况下，欧拉角为表征的必要子集提供一种令人满意的方法。

       第二种旋转群的三维参数化方法基于以下条件：（1）对于任意斜对称矩阵，正交；（2）任意旋转矩阵都是斜对称矩阵的指数。

       令是一个的斜对称矩阵，且。则的特征多项式为：，故 。通过关系式 ，可以简化=的幂级数：

      的特征根是 1,  。不难看出，当且仅当和时，，对于整数 则成立，其中。特别的，如果我们注意时的斜对称矩阵，当且仅当和时，。

      反之，令，则 , 其中 。可得 ，因此存在唯一的角度 , 其中。如果，则

       如果，则。即，是斜对称的。如果，则有两个斜对称解，即。

综上，我们通过的斜对称矩阵的集合对旋转群进行参数化；每一个旋转矩阵至少对应一个斜对称矩阵，对于对应两个斜对称矩阵的情况（），我们定义：

       其中，向量，，且看作是拓扑等效的球，具有确定的边界点。

原微分方程变为：

      该方程的推导需要很复杂的计算，这里忽略。尽管参数减少到三个，但是显然变换后微分方程的形式要复杂的多。而且，变换后的方程在处存在极点，正如我们从映射的性质所见，对于， 的集合在指数映射到恒等式时崩溃。

       第三种三维参数化方法被称为 Cayley 参数化方法（不要与Cayley-Klein参数混淆），同样使用斜对称矩阵表示旋转。若是斜对称矩阵，令，则

       是正交的，且特征方程为：，其中，所以特征根为 1, 。只有当时，特征根为实数，即全部为+1。因此，这种方式下求出的旋转矩阵不存在特征根为-1的情况。

       反之，若，且，对于，

是斜对称的，这是上一对应关系的逆。对其求微分，代入，化简得到：，一个的Riccati 矩阵微分方程。

       这种情况下，如果事先已知不为 -1，则这个参数用来表示所有允许的姿态。

VII. 结论

      在评价一种参数化方法是否可用时，必须考虑以下因素：（1）所需参数的数量；（2）微分方程变换后的形式；（3）新方程对误差的敏感性；（4）通过微分方程积分得到的结果与所需输出的转换是否方便。

正如前文所述，六维参数化方法使用旋转矩阵的前两列描述，是线性方程，且输出形式易于使用，能够从六维参数很方便地求出。

      五维参数化方法会产生一个非线性方程，在计算输出时需要很大的计算量。所以与上一种方法相比，除了减少一个参数外，没有任何优点。在这里介绍，只是因为1-1全局参数化方法最少需要五个参数。

四维或四元数方法在仅使用一个冗余参数的情况下，具有线性微分方程的优势，表示了机体常见的运动。同时，的系数可以通过的二次函数求出。

       正如在 §3 所述，三维参数化方法无法同时兼顾全局性（global）和非奇异（nonsingular）。如果参数化方法是全局的，如：每个旋转矩阵对应一些有界的参数，一定存在参数值不是唯一确定的，此时，显然参数的导数没有定义，所以转换微分方程在这些点处奇异，即，导数为无穷大。这种情况通常发生在欧拉角和指数参数化方法中。另一方面，Cayley 参数化方法有一个明确的微分方程，非奇异，但是它不能表示迹为-1的旋转矩阵，这是一个明显的缺点：该方法无法表示绕固定轴旋转180°。

      文中所述的参数化方法中，常用的只有六维、四维和欧拉角。这些方法的详细对比在Robinson的[3]中；他得出结论，对于无约束的旋转，四元数是最好的方法，至少从模拟计算的结果来看是最佳的。而欧拉角主要用于直观理解横滚（roll）、俯仰（pitch）和偏航（yaw）。也就是说，欧拉角提供了一种有用的输出，而四元数则是积分后转换到旋转群的必要方法。

VIII. 参考文献

[1] H. Hopf, Systeme symmetrischer Bilinearformen und euklidische Modelle der projektiven Räume, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich, 1940.

[2] W. Hurewicz AND H. Wallman, Dimension Theory, Princeton University Press Princeton 1948.

[3] A C.Robinson, On the use of quaternions in simulation of rigid-body motion, Wright Air Development Center Technical Report 58-17, Dayton, Ohio.

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