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小学数学常见“钟表题+扶梯题”，学霸看了都说难，你会吗？

小学数学 · 公众号 · 数学 · 2024-11-03 22:50

正文

1、钟表问题

钟表行程问题是研究钟表上的时针和分针关系的问题，常见的有两种：

⑴ 研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；

⑵ 研究有关时间误差的问题。在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解　

例题1

4时与5时之间，什么时刻时钟的分针和时针反向成一条直线？

解答

我们从4时开始让时针和分针追及，分针和时针成一直线，分针比时针多走50格，每分钟多走1-1/12=11/12格，则50÷11/12=54又6/11分

答：4点54又6/11分时钟的分针和时针成一直线。

例题2

当钟表上4时10分时，时针与分针的夹角是多少度？

解答

分针每分钟走360÷60=6度，时针每分钟走30度÷60=0.5度，4点整分针与时针相差120度，从4点开始追及，10分钟后分针比时针多走（6-0.5）×10＝55度。

120度-55度=65度。

答：当钟表上4时10分时，时针与分针的夹角是65度。

2、扶梯问题

与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是“单位时间运动了多少米”，一种是“单位时间走了多少级台阶”，这两种速度看似形同，实则不等。

拿流水行船问题作比较，“单位时间运动了多少米”对应的是流水行程问题中的“船只顺(逆)水速度”，而“单位时间走了多少级台阶”对应的是“船只静水速度”，一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即“单位时间走了多少级台阶”。

所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单。

例题1

小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯。已知该自动扶梯共有150级阶梯，每秒运行1.5级阶梯，问警察能否在自动扶梯上抓住小偷？

答：_____。

分析

全部以地板为参照物，那么小偷速度为每秒1.5级阶梯，警察速度为每秒2.5级阶梯。

警察跑上电梯时相距小偷1.5×30＝45级阶梯，警察追上小偷需要45秒，在这45秒内，小偷可以跑上1.5×45＝67.5级阶梯，那么追上小偷后，小偷在第112～第113级阶梯之间，没有超过150，所以警察能在自动扶梯上抓住小偷。

例题2

在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼，并在上向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层。

当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，那么，自动扶梯不动时从下到上要走多少级？

分析

向上走速度为甲和自动扶梯的速度和，向下走速度为甲和自动扶梯的速度差。当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，60÷80=3/4，这说明甲乙处于同一高度时，甲的高度是两层总高度的3/4。

则甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是3/4：(1-3/4)=3：1，即甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等。

向下走速度向上走速度的1/3，所用时间为向上走的3倍，则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的3倍.因此甲向上走了80÷(3+1)=20级台阶。

甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲走20级台阶的同时自动扶梯向上移动了10级台阶，因此如果自动扶梯不动，甲从下到上要走20+10=30级台阶。

例题3

商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？

分析

因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80-40）÷2＝20（级）

所以扶梯可见部分有80-20＝60（级）。

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