意识的数学模型 （4万字）

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Mathematical Models of Consciousness

https://arxiv.org/abs/1907.03223

摘要：

近年来，提出了一些有前景的数学模型，旨在描述意识体验及其与物理领域的关系。尽管这些理论的公理和形而上学观念得到了谨慎的论证，但它们的数学形式化尚未如此。在本文中，我们旨在弥补这一不足。我们阐述了对现象体验进行数学表征的合理性，推导出一个考虑意识认识论背景的一般数学框架，并研究意识体验的一些关键特征所暗示的数学结构，明确指出数学方法在何种程度上能够超越传统方法所能达到的范围。其结果是一个可用于理论构建过程的意识模型的一般数学框架。

关键词：意识模型；意识理论；体验空间；现象空间；数学意识科学；数学现象学；现象意识；认识论不对称性；不可公度性

1. 引言

意识体验及其与物理领域的关系一直是哲学家、神学家和科学家研究了数个世纪的主题 [1]。在过去的三十年中，科学调查出现了复兴。神经科学、认知心理学和分析哲学的突破性发展促生了一门专门的意识科学，其目标是发展关于意识体验及其与物理领域（例如，大脑过程）关系的科学解释。

意识模型是一种关于意识体验与物理领域关系的假设性理论 [2]。其中包括全局工作空间理论 [3,4]、多重草稿理论 [5]、高阶思想理论 [6]、整合信息论 [7]等，还有很多其他理论。意识模型补充了意识的形而上学理论，例如各种功能主义、同一性理论、交互二元论或中性一元论。这些理论主要关注本体论问题，并探讨意识与物理领域之间的总体关系类型。

1.1 数学在意识研究中日益增长的重要性

近年来，许多意识模型被提出，它们本质上是数学化的。在神经科学中，主要例子是整合信息论的最新版本 [7–9]，该理论旨在通过复杂的数学算法确定一个系统的意识体验的质量和数量 [10,11]，还有预测性处理理论 [12]，它可以被解释为通过高级的最小化原理来确定一个系统的意识体验内容 [13]。然而，其他学科也提出了有前景的模型，包括哲学 [14]、物理学 [15,16]、数学 [17–19] 或心理学 [20]，这些模型都基于关于意识的不同形而上学观念。

这些发展表明，数学工具和方法在意识的科学研究中变得越来越重要，这与过去一个世纪中其他科学学科的发展情况类似，并且有望带来新的见解。然而，仅仅数学化本身并没有独特的科学价值。只有当数学化基于并整合了以往的理论、实证和概念性工作时，才能取得有价值的进展。

1.2 意识为何成为问题

意识是一种与其他自然科学所研究的现象截然不同的现象。作为一种研究对象，它在特征和认识论背景上都是独一无二的。这尤其适用于意识最相关且神秘的含义，意识科学的大部分研究以及本文所关注的，即现象意识。现象意识指的是世界向我们呈现的方式，即我们体验世界的方式。这可以大致概括为“纯粹的主观体验”。

心灵哲学的大部分内容致力于详细分析现象意识的特征，以及这些特征如何与形而上学观念和科学研究的努力相联系。被认为对现象体验至关重要的特征是其本质的主观性，这有时被理解为现象意识体现了一种特定的视角，但同时，它的某些部分或属性似乎不可言喻、私密，或者无法通过认知和语言处理或交流。

现象意识的基本属性或简单构成要素被称为“感受质”，但到目前为止，这一术语已被赋予了许多不同的含义。感受质被各种主张为内在的、非关系性的，或者具有定性和不可量化的性质。现象意识还被认为是可以直接或立即被感知的，是透明的，即它似乎让我们直接接触到我们意识体验的内容，或者是同质的。所有这些概念都有各种不同的含义，不同的哲学家支持其中的不同组合。

补充这些意识特征的是其独特的认识论背景，这一背景源于现象意识本身仅对体验系统自身是可及的。因此，在任何科学研究方法中，有两种根本不同的方法可以收集信息：第一人称视角和第三人称视角。这被称为意识的认识论不对称性。

1.3 数学基础的必要性

任何试图解释现象意识的科学分析，至少需要将意识的这些特征视为认识论限制，以约束和塑造对意识体验的经验性研究。如果完全忽视这些特征，就等于忽略了意识问题的本质，这是任何严肃的科学研究都无法承受的。

迄今为止，几乎没有任何现有的形式化模型真正考虑了意识的这些属性。尽管数学结构常常与“感受质”“主观体验”或“意识行为”等术语联系在一起，但当代模型未能真正深入探讨这些哲学概念的内涵。

为了弥补这一不足，我们需要为意识的数学模型奠定坚实的基础。这一基础需要分析意识体验的各种特征对模型数学结构的影响，并精确描述心灵哲学中发展出的概念与意识模型数学结构之间的关系。本文的目标是为不可言喻性、私密性以及认知、语言和交流的不可及性提供这样的基础。

1.4 意识模型的表述框架

本研究的成果是一个一般性的数学框架，用于表述意识模型。类似于理论物理学中的拉格朗日力学，它并不提供任何构成意识模型的具体定律或方程，而是提供一种一般性的形式化工具。这种工具的作用是正确地考虑意识体验具有不可言喻性、私密性或不可达性，并且表现出认识论不对称性。这一框架为意识模型提供了第一个数学基础，并需要在未来的研究中进一步扩展，以考虑其他关键特征。

至关重要的是，这一框架与这些特征是本体论上的起源，还是仅仅由于系统的特定设计或认知功能无关。从该框架的视角来看，重要的是这些意识体验特征所产生的认识论限制，即在任何类型的实验情境中，对意识体验的某些部分的访问受到意识的主观性以及不可言喻性、私密性和不可达性的限制。

因此，这一框架可以被称为操作性的。类似于量子理论在其传统表述中，它以理论（意识理论）被测试、使用或推断的典型实验情境为起点，然后加入意识的特定认识论背景，从而得出一般性的操作性描述。在构建这一形式主义的数学结构时，特别注意保持其尽可能的普适性，并为所有基本定义提供操作性论证，以确保该框架与所有可能用于意识建模的数学结构兼容，包括范畴论、信息论或复杂系统方法，以及其他许多方法。

1.5 公理化的概念基础

为了将任何概念转化为形式化表述，概念本身需要被严格定义。迄今为止，“感受质”这一术语以及不可言喻性、私密性和不可达性等概念尚未被定义到足以支持彻底形式化的严格程度。因此，为了实现我们的目标，有必要以适合形式化的公理化形式来呈现这些哲学概念。由于整个项目本质上是操作性的，实际上只需提供这些意识特征的操作性后果的公理化定义即可。

对于不可言喻性、私密性和不可达性的情况，可以通过引入“非可约性”概念来实现。如果在实验试验中，无法通过合理手段识别出多个体验主体所共有的意识体验的某个部分、属性或特征，那么这个部分、属性或特征就是非可约的。非可约性是由不可言喻性、私密性和不可达性所蕴含的，或许也与意识的主观本质有关。正如本文详细阐述的，正是非可约性导致了在研究意识体验时所面临的诸多认识论困难，并对任何经验上充分的意识模型产生了重大影响。

我们为了构建意识模型的数学结构而推导出的概念定义，为意识科学研究提供了一个公理化的基础，这可以视为对大卫·查默斯（David Chalmers）工作所衍生的基础的替代和进一步发展。尽管我们的基础主要是为了构建一个连接哲学概念和数学形式主义的中间结构，但它本身或许也具有一定的概念价值，能够从更形式化的角度为意识科学研究的任务和方法提供一种临时的构想方式。

1.6 意识科学的新途径

总结来说，本文可以被视为认真探索一种新的意识科学研究方法的尝试，这种方法在诸如 [7, 20] 或 [29] 等杰出工作中已经被开创。其核心思想是用数学空间来表征现象意识，并利用这些空间构建关于意识体验如何与物理领域相关的理论。这种方法使得我们能够以一种更丰富、更精细的方式处理意识体验，并为解决当前意识研究中的一些关键问题提供了有前景的工具。

本文对这一新方法的贡献在于，要求在构建数学表征时，考虑心灵哲学详细研究过的意识体验的基本特征。要做到这一点，就需要解释数学空间如何能够基于体验的现象学，以及意识的基本认识论背景对数学结构产生了何种影响。本文提出了对这些问题的回答，希望这些考虑能够为意识的形式化模型的进一步发展提供一个有用的基础。

1.7 本文的结构

本文的结构如下。为了使没有形式化背景的读者也能理解，我们在第2节中总结了主要结果，尽量减少数学细节。在这一节中，我们还详细解释了这项工作的理由和动机。

所有后续章节都力求简洁地呈现定义、解释和示例。在第3节中，我们给出了我们框架所依赖的概念定义，尽量减少必要的假设。这为意识的科学研究提供了一个公理化的基础。在第4节中，我们展示了根据本文定义的感受质与自然科学之间存在解释鸿沟。第5节致力于推导出一个用于意识形式化模型的一般数学框架，利用任何形式化理论和意识认识论不对称性的最小要素。在第6节中，我们最终展示了如何考虑意识的特征属性。本文在第7节中简要讨论了一个形而上学问题，并在第8节中通过各种例子进行总结。

在附录A中，我们回顾了源自大卫·查默斯在 [30, 31] 中工作的意识科学研究基础，强调其各部分之间的逻辑关系。在附录B中，我们讨论了如果尝试在模型构建过程中应用这一基础时可能出现的问题。

2. 研究结果总结

任何针对意识体验的研究活动都预设了一个关于待研究现象的概念，以及一种适合进行此类研究的方法论概念。我们称此为意识科学研究的基础。¹

定义 1 ：意识科学研究的基础至少包含以下内容：

- 对研究对象的明确定义。

- 对方法论的明确概述。

在过去二十年中，大量关于意识的研究都是基于大卫·查默斯（David Chalmers）的工作 [30] 所衍生的基础进行的。这一基础在该领域的创建和巩固中发挥了关键作用。然而，在应用过程中，它也暴露出一些严重的问题（见附录 B）。在本文的第一部分，我们引入了对查默斯的意识科学研究基础的替代方案。这一替代方案建立在一种彻底的操作性视角之上，这意味着我们所有概念的定义都与典型的实验研究相关联。

任何致力于研究意识体验的实验情境都预设了一个初步选择，即被认为是有意识的生物体，它们的意识体验和物理状态在实验中被探测，以便获取关于意识如何与物理领域相关的相关信息。我们将这类生物体记为 C，并称它们为体验主体。

认真对待操作性视角，我们认为 C 是一个原始概念。尽管它可能受到理论见解的指导，并且随着时间的推移而改变，但在任何特定时刻，一个类 C 都为关于意识的理论推断和检验提供了基础。

确定了我们的原始概念后，我们可以相对它来定义体验。一个有前景的选择是使用一些现象学的术语来定义“意识体验”一词，指的是体验向体验主体“展现自身”的整体方式、体验主体发现自己所经历的方式，或者“世界”向它呈现的方式。尽管这是我们所指的内容，但我们选择了一个更易于理解的术语，并定义“意识体验”一词，用以指代体验主体在某一特定瞬间所经历的印象、感受、思想、感知等的总体（定义 2）。如此定义的体验具有各种不同的方面，我们定义“方面”一词作为“部分”“属性”或“元素”的任何概念的占位符（定义 3）。

我们基础的核心概念是非可约性。如果在实验中没有合理的方法来识别两个或多个体验主体是否经历了这一特定的体验方面，即如果无法确定这一方面在 C 中多个不同的体验主体之间的同一性，那么体验的一个方面就是非可约的（定义 5）。

可约性和非可约性体验方面的区分取代了 [30] 中现象学和心理学概念的区分。后者的区分是根据因果角色和时空结构来定义的（参见附录 A），而我们的区分是根据现象学或操作性概念公理化地定义的。

至关重要的是，非可约性是由意识体验的各种基本特征所蕴含的，例如，任何表现为不可言喻的方面（即被体验为不可言喻的）在上述意义上也是非可约的。对于那些被体验为私密的，或者无法进行认知或语言处理的体验方面，也是如此。所有这些特征都破坏了在多个体验主体之间识别所考虑的方面的可能性。非可约性是这些特征的必然操作性后果。

如果认为意识的主观性支持了“存在一些事实，它们并不由人类语言可表达的命题的真实性构成”[22]（第 441 页）这一说法，那么主观性可能也是如此。事实上，[22] 中的一个主要观点是，目前没有任何概念能够让我们确定体验的“某种感受性”方面与物理状态的同一性。

我们的起点——非可约性，与这一说法密切相关，并且在合理的情况下可能被它所蕴含。

基于非可约性，我们如下定义感受质（参见定义 6）。

定义 6 ：我们定义“感受质”一词，用以指代类 C 中体验主体的所有非可约性体验方面。

这一定义是合理的，因为它既包括了感受质（qualia）所声称的典型例子（例4），也涵盖了纳格尔（Nagel）的“某种感受性”概念所涉及的体验方面（例5）。此外，这一定义是公理化的，并取代了查默斯（Chalmers）基础中所定义的现象意识概念。我们指出，对于这一定义以及其他所有定义，非可约性或任何蕴含它的特征是否被视为根本性的，或者仅仅是系统架构的结果，并不重要。重要的是体验呈现出这样的特征。

满足定义6的体验方面具有特殊意义，因为非可约性给任何科学研究方法带来了根本性困难：它意味着这些方面无法在主体间被引用，进而意味着它们无法在科学模型或实证分析中被引用。存在一个根本性的解释鸿沟（第4节）。本文的目标，用这些术语来说，是开发一个数学框架，使我们能够处理可约和非可约的体验方面，提供一种适合解决这一解释鸿沟的形式化方法。

接下来，我们利用许多当代意识数学模型的核心思想：将现象意识表示为一个数学空间。为了提供一种准确的方法来实现这一点，我们利用了两个现象学公理。

首先，我们利用了可约和非可约的体验方面在一定程度上都可以被识别的事实（现象学公理2）。换句话说，体验的方面可能被体验为相同的。根据我们的操作性视角，这证明了为感受质和可约体验方面引入标签的合理性，即相对于体验主体的名称。

其次，我们利用了体验的方面之间存在可约关系的事实（现象学公理3）。在可约体验方面的情况下，这可能被认为是显而易见的。对于非可约体验方面，这对应于“感知的结构特征可能更容易用客观描述来表达，尽管某些内容会被遗漏”，或者“即使体验在某种意义上是‘不可言喻的’，体验之间的关系并非如此；我们讨论这些关系毫无困难，无论是相似性和差异性、几何关系、强度关系等。正如施利克（Schlick）指出的，体验的形式似乎可以直接传达，即使内容（内在品质）不能。

这两个现象学观察结果共同使我们能够定义一个代表意识体验的数学空间，我们称之为体验空间 E。这个空间的元素并不是体验本身，而是体验主体可能为其体验方面所赋予的标签，而这些标签集合上的数学结构是由体验方面之间的可约关系诱导的。将 E 视为标签空间，而不是体验空间，具有优势，因为它从一开始就避免了对体验方面有明确定义的隐含假设。相比之下，使用元素旨在表达体验本身的数学空间，则需要引入一个映射来描述这些体验如何从报告（标签）中推断出来。

关于体验空间 E 的引入细节在第3.2节中解释，并在第3.5节中给出了各种示例。

我们指出，尽管我们的构建是基于将标签视为体验主体可以表达的内容，这要求 C 包括人类，但这并非必要。这是因为到目前为止在实验中用于推断某个主体意识状态的各种原则（例如，按键操作或行为指标）实际上是我们所说的推断体验方面标签的手段。无论一个标签是记录下来的词语还是其他类型的报告（例如，某种特定的动作），对于我们来说并不重要。关于标签术语的关键在于，从一开始就避免任何隐含的假设，即存在一种经验上明确定义的方法来指代体验主体的感受质。

非可约性意味着在理论或实证研究中引用体验方面的限制。虽然可约体验方面的标签可以在类 C 中的所有体验主体之间同步（因为可约性成立当且仅当存在识别手段），但感受质的标签不能。由于非可约性，感受质的定义意味着一个体验主体用来指代某个感受质的标签可能在另一个体验主体中指代另一个感受质。任何旨在研究感受质的科学研究都需要考虑由此产生的歧义。忽视它将导致错误，例如研究错误的“信息通路”，或者将外部信号的神经相关性与感受质的神经相关性混淆。

在我们构建的下一步中，我们精确量化了这种歧义。为此，我们利用了之前构建的体验的数学表示 E。正如我们在第3.3节中详细解释的，概念和数学定义意味着，任何对体验方面的引用的歧义可以用 E 的自同构群 Aut(E) 来简洁表述，即所有改变标签的E 的变换群，同时保持 E 的数学结构不变。

我们发现，任何使用个别标签 e 来描述意识体验的陈述，考虑到非可约性，同样可以使用属于标签子集 [e] 的任何标签 e' 来表述。这个子集 [e] 被称为标签 e 关于自同构群 Aut(E) 的等价类。

这里的关键洞见是，这些等价类描述了什么是可以主体间被引用的，或者用我们的术语来说，是经验上明确定义的。综合起来，这些等价类描述了什么是可以被常规科学方法处理的。根据 E 的数学结构，这可能包括一些非可约的体验方面。

对于我们构建的第二步，一旦实验工具足够先进以推进到对个别体验方面的研究，这可能足以满足许多研究需求。它使实验者能够利用 E 中代表的现象体验的结构特征，将不可言喻性和其他导致非可约性的特征的边界稍微推后。然而，只要存在包含多个标签的等价类 [e]，就有一些问题超出了标准科学方法的范围：为什么主体会有相应的体验之一而不是另一种。尽管这不能通过主体间的方式表达，但对于体验主体来说，这是一个事实问题，因此从先验上看，这是一个开放的科学问题。本文剩余部分的目标是开发能够解决这一开放问题的工具。

为了开发这些工具，我们必须超越体验的数学表示，实际上需要考虑关于意识体验如何与物理领域相关的形式化假设，即意识的形式化模型。为了尽可能保持一般性，作为回答这个问题的第一步，我们问：意识模型需要处理的最一般的数学结构是什么？

为了回答这个问题，我们首先描述了任何科学理论的最小必要形式结构（第8节）。一个理论需要指定一些动态变量 d，用以描述理论所关注的内容；可能包含一些形式化的背景结构；需要有一个参数（如时间）来便于描述动态变量的变化；最后，需要包含一些定律，从所有可能的变化中选择某些动态变量 d 的变化。

为了进一步确定动态变量 d，我们利用了意识体验的认识论不对称性（第5.2节）。认识论不对称性表明，关于意识体验的知识有两种根本不同的获取方式：第一人称视角和第三人称视角。因此，在任何实验情境中，存在两种认识论上不同的状态，一种对应于第一人称的访问，另一种对应于第三人称的访问。虽然任何关于意识的形而上学理论可以忽略其中一种状态，但意识的科学模型不能。科学意识模型与一致观念之间的区别在于，后者处理两种类型的状态，而前者则不必。

由于在第三人称视角中可访问的状态实际上是物理状态（神经状态、大脑状态或类似状态），而在第一人称视角中可访问的状态是体验的方面（“方面”已如上定义），这意味着意识的形式化模型的动态变量实际上是一个子集：

其中，E 表示我们之前引入的意识体验的数学表示，而 P 表示某个物理理论 TP的状态空间。

将上述内容结合起来，形成了一个一般性框架，意识模型（定义10）可以在其中被表述。它提供了一个参考，意识模型需要根据意识的认识论背景来引用，无论它们最初是如何定义的，也无论它们表达了何种本体论观点。

这一一般性框架最终使我们能够在第6节中研究非可约性的含义。首先，在第6.1节中，我们证明了在非可约性的背景下，意识模型只有具备特定的对称性时才是严格定义的。这与物理理论类似。就像广义相对论具有特定的对称性以确保理论在坐标变换下是严格定义的一样，我们的结果表明，意识模型需要具有特定的对称性，以确保它们在标签变换下是严格定义的。这里所说的标签变换正是那些保持上述等价类 [e]不变，但变换这些等价类中个别成员的变换。相应的对称群正是之前引入的自同构群 Aut(E)。

我们在第6.1节的结果中指出，所需的对称性并非唯一确定。它的形式取决于意识模型的规律，存在一定的自由度。这种自由度描述了标签的变换与物理状态的变换之间的关系。

第6.2节和第6.3节致力于证明，这种剩余的自由度正是形式化意识模型能够超越标准方法论的原因所在。简而言之，这是因为标准方法论只能利用主体间明确定义的引用。从数学上讲，这意味着标准方法论只能在施加群 Aut(E)以构建等价类 [e] 之后，才能引用体验的方面。而形式化的意识模型则允许颠倒这一顺序。它们允许在施加确保严格定义的对称性之前，将 E 和 P 中的个别元素联系起来。

由于我们所有的论证、证明和推导在所有体验方面要么是可约的，要么是非可约的极限情况下仍然成立，我们将所有这些洞见总结在一个关于意识模型的简洁定义中（定义12）。这是本项目的主要成果。

“几个世纪以来，许多科学发现因为缺乏一种能够放大思想并让科学家交流成果的数学语言而被推迟。” (第427页)

3. 基本定义

在本节中，我们提供支持我们构建的基本定义。在第3.1节中，我们明确了我们所考虑的体验概念，引入了一些基本术语，并用这些术语定义了感受质。随后，在第3.2节中，我们讨论了体验的数学表示。在第3.3节中，我们解释了感受质的定义特征对实验或理论中意识引用的含义。如上所述，总体而言，这可以被视为意识科学研究的基础，第3.4节专门用于总结由此产生的整体框架。最后，在第3.5节中，我们为第3.2节和第3.3节中引入的数学结构提供了几个例子。

3.1 意识体验与感受质

与意识相关的每一项科学活动的起点是对一个体验主体类 C 的初步选择，这些主体可供实验研究，并且是理论模型的目标。任何实证研究的对象，以及任何模型构建过程的依据，是这些体验主体的体验，具体而言：

定义 2： 我们用“意识体验”（简称“体验”）来指代体验主体在某一特定瞬间所经历的印象、感受、思想、感知等的总体。

任何关于意识科学研究的概念背后的基本思想是，通过科学手段研究体验及其与物理领域的关系。通常，考虑的是体验的某个部分或特征。为了强调这一部分或特征可能无法与其他部分或特征严格分离，我们使用“体验的方面”这一术语：

定义 3 ：体验的方面指特定体验或一组体验的具体或一般特征、部分、属性或元素。

根据这一定义，“方面”仅仅是“特征”“部分”“属性”或“元素”的占位符。这些概念中哪一个是相关的，是意识模型规范的一部分。

例 1 ：体验的方面从个体的视觉、听觉或触觉体验到一般特征，如第一人称视角的体验、意识场景的统一性 [2] 或体验的结构和组成 [7]，范围广泛。

先验地，每个体验主体只能接触到他/她自己的体验。然而，对体验的哪些方面在大量体验主体中保持不变的系统研究是可能的，并且作为现象学哲学学科的一部分已经被开展。

定义 4 ：现象学公理是关于类 C 中所有体验主体的体验方面的陈述。

现象学公理是意识科学研究中任何调查的起点。在实证研究中，它们是可以与物理状态相关联的内容，例如用于构建意识的神经相关性。在构建意识模型时，它们是决定数学结构选择的依据。简单来说，现象学公理是关于体验主体发现自己如何体验，或者“世界”对他们呈现为何种方式的陈述。也可以认为，它们表达了“体验是什么样的”或体验“如何展现自身”的不变事实。

接下来，我们利用三个基本的现象学公理，以更详细地考察可以用来研究体验的方面及其与物理领域关系的方法论。为此，我们定义了非可约性的概念。

定义 5 ：体验的一个方面是非可约的，当且仅当在类 C 中，不存在一种合理的方法来确定其在不同体验主体之间的同一性。

体验方面的非可约性可以在任何实验情境中通过操作性方法确定。每当实验中不存在合理的方法来识别两个体验主体是否经历了相同的体验方面时，所讨论的方面就是非可约的。然而，这一概念也可以应用于更基础的背景中，作为关于主体如何体验世界的现象学公理的一部分。以下是几个例子。

现象学公理 1 ：体验的方面可以分为两类：

(a) 非可约的体验方面。

(b) 可约的体验方面。

前者包括那些被体验为不可言喻的 [23]、私密的，或者被发现是无法通过认知、语言和交流来接触的体验方面 [24]。然而，它们也包括那些被认为具有主观特征 [22]（第437页）或与特定视角相关的体验方面 [22]（第441页）。非可约性是由这些体验特征所蕴含的，因此是这些特征的必要条件。后者包括那些被体验为可以从其他视角被接触的 [22]（第443页）或被认为具有客观性质的体验方面 [22]（第443页）。

例 2 ：以敬畏体验为例。主体可能会报告他们有敬畏体验，并且甚至可以为各种不同的敬畏体验赋予标签，但目前没有方法可以确定两个不同主体的敬畏体验是否相同。一些人 [5, 35] 可能认为，先进的神经科学理论最终可能会提供一种手段来对敬畏体验进行对齐。然而，正如我们下面将要看到的，可约性是任何针对意识体验特定方面的理论的前提条件。如果一个体验方面是非可约的，那么就无法构建一个能够经验性地推断或检验的理论来处理这一方面的体验。

例 3 ：同样，目前也没有任何方法可以有意义地询问两个体验主体的色彩体验是否相同或不同。这一简单但重要的事实可以通过一个简单的问题来指出：两个体验主体如何得出结论，他们看到的（例如，晴朗天空的）颜色体验是相同的？他们可能会确保他们使用相同的参照（“蓝色”）来描述这种体验，确认他们看到的是相同的波长，甚至可能得出结论，他们在体验这种颜色时大脑中激活了类似的神经元集合。然而，所有这些都与他们体验的色彩方面（“看到蓝色是什么样的”）无关。

换句话说，没有合理的方法为“我的色彩体验 等于你的色彩体验 ”这样的陈述赋予真值；在引用两个不同体验主体的体验时，“相等”不是一个明确定义的概念。因此，根据现象学公理 1，色彩体验是非可约的体验方面。

这种非可约性对任何关于色彩体验的科学解释都有影响，例如，任何关于“当主体体验到‘绿色’时，特定的神经活动会发生”的假设都是不明确的，仅仅因为“绿色”没有一个主体间有意义的引用。一个主体在面对 510nm 光源时的色彩体验可能与另一个主体面对相同光源时的色彩体验非常不同。换句话说，任何对色彩体验的主体间引用都带有一定的歧义，这种歧义在构建模型或设计与色彩体验相关的实验时必须被考虑进去。

本文的主要观点，将在下面详细论证，是非可约的体验方面无法通过通常的科学方法来处理。由于“感受质”（qualia）一词通常用来指代在特定体验分析中被认为是本质的内容，我们引入以下定义。

定义 6 ：我们定义“感受质”（qualia）一词，用以指代类 C 中体验主体的所有非可约的体验方面。

例 4 ：根据例 3，色彩体验满足定义 6 的条件。因此，色彩体验是感受质。

例 5 ：例 4 是托马斯·纳格尔（Thomas Nagel）在 [22] 中引入其著名概念“成为……是什么样的”时所引用的体验方面的特例：

“从根本上说，一个生物体具有意识心理状态，当且仅当存在某种‘成为该生物体是什么样的’——某种对那个生物体来说是什么样的东西。我们可以称这为体验的主观特征。”（第436页）

纳格尔还使用了“主体自身的感觉是什么样的”（第440页）这一术语来指代这些体验方面。尽管 [22] 并未将现象学公理 1 的区分作为其论证的核心，但可以在 [22] 中找到指向这一区分的暗示，例如，他声称“我们没有足够的词汇来充分描述[成为我们自己是什么样的]”（第440页），存在“不依赖于人类语言可表达的命题的真实性”的事实。（第441页）

3.2 体验的形式化表示

为了定义体验的形式化表示，我们利用了另外两个基本的现象学公理。这些公理具有非常普遍的性质，它们很可能独立于特定的类 C 的选择而成立。然而，由于上述提到的现象学分析的有限性，我们通常假设 C 包括成年成年人。第一个现象学公理表达了某些感受质被体验为相同，而另一些则不，换句话说，有时一个人会体验到一个非可约的方面与他在另一时间体验到的非可约方面相同。

现象学公理 2 ：感受质可以在一定程度上被识别：体验主体可以识别他们之前体验过的感觉质。

例 6 ：现象学公理 2 表明，体验主体可能会感知到他们在不同时间体验到的某些方面是相同的。例如，一个人可能会觉得尝试人造草莓风味时的味觉方面与吃真正的草莓时的味觉方面相同。这种对之前体验过的方面的识别仅仅是一种“主观印象”上的相同。

现象学公理 2 是重要的，因为它是体验主体为其感受质引入标签的基础，即为他/她体验的非可约方面赋予一个名称或指代。可约性概念预设了可识别性，因此可约体验方面的标签可以通过定义引入。

在接下来的讨论中，我们假设标签的选择使得不同的体验方面与不同的标签相关联，并且根据现象学公理 2，相同的标签被用来指代同一方面的不同出现。此外，我们假设所有体验主体使用相同的标签集，我们用 E 来表示这个集合。对于我们的目的来说，E 可以是任何集合；它由哪些标签组成在接下来的讨论中并不重要。

第二个现象学公理表达了关于非可约方面如何出现在体验中，或者构成体验，可以被描述的观察。在 [22] 中，这对应于“感知的结构特征可能更容易被客观描述，即使某些内容会被遗漏”的观察 [22]（第 449 页）。在 [30] 中，这对应于“即使体验在某种意义上是‘不可言喻的’，体验之间的关系并非如此；我们讨论这些关系毫无困难，无论是相似性和差异性、几何关系、强度关系等。正如施利克 [32] 指出的，体验的形式似乎是可以直接传达的，即使内容（内在品质）不能” [30]（第 224 页）。

现象学公理 3 ：感受质具有可以在类 C 中被对齐的关系。

根据定义 4，这是一个关于类 C 中所有体验主体的体验的主张。简单来说，它表达了关于非可约体验方面可以被描述的事实，关于它们在体验中如何出现的事实。这些关系的可约性意味着我们可以在标签集 E 上表示这些关系，并假设（即，要求，参见注释 7）标签被选择的方式能够反映感受质之间体验到的关系。我们假设现象学公理 3 也适用于可约的体验方面，因此它们也具有可以在标签集上表示的关系。

例 7 ：对于“成为……是什么样的”类型的感受质（在例 5 中引入），这些关系包括：

*相似性：两个感受质可以或多或少相似；

*强度：一个感受质可以以不同程度的强度出现；

以及其他。

例 8： 体验主体通常会体验到某些颜色对彼此相似，而另一些颜色则不相似，例如，色调的微小变化通常会导致被感知为相似的颜色，而色调的大幅变化则会导致不被体验为相似的颜色。

对我们来说至关重要的是，人们可以（并且在实践中，通常会）在颜色标签集上表示颜色相似性的体验。相应地，人们可以（并且在实践中，通常会）要求体验主体以一种方式为他们的颜色体验选择标签，使得在颜色空间的表示中，被体验为相似的颜色也是相似的。我们将在下面的例 9 中详细研究这一点。

现象学公理 2 提供了为非可约和可约体验方面引入标签的可能性。现象学公理 3 在此基础上增加了在标签集上表示体验方面之间关系的可能性。由于在集合上对关系的任何表示本质上都是数学化的，因此这些表示也是数学化的。它们要么在数学意义上给出了 E 上的关系（即，E × E 的一个子集 R），要么给出了某种更复杂的数学结构，从而将 E 转化为一个数学空间。

因此，这两个现象学公理共同为以数学结构表示体验奠定了基础。我们将带有表示感受质之间关系的数学结构的标签集 E 称为：

尽管需要牢记的是，这个空间并不描述体验本身，而只是标签以及它们所代表的体验方面之间的结构关系。这个空间 E 就是上述提到的体验的数学表示。每一个元素 e ∈ E 要么指代一个可约的体验方面，要么指代一个感受质。更多详细的例子将在下面的第3.5节中给出。

为了使接下来的数学推导正确，我们需要引入一个关于可约体验方面的重要数学约定。根据定义5，如果一个体验方面在类 C 中所有体验主体之间的同一性可以被确定，那么这个方面就是可约的。这意味着，特别是，这个体验方面是可以被引用的：由于它的可约性，它可以被赋予一个由 C 中所有体验主体使用的唯一标签。我们接下来的约定是，这将体现在 E 的数学结构中。

约定 1 ：我们假设对于每一个可约的体验方面，E 的数学结构包含一个一元可约关系 χ，允许人们唯一地选择这个体验方面。

在实践中，这意味着对于任何可约的 e ∈ E，存在一个子集 χₑ ⊂ E，其中只包含 e。

这一约定确保了接下来讨论的标签变化可以方便地通过自同构群来表示。它确保所有可约的信息都体现在方面之间的关系中，从而使得在随后的技术定义中，所有方面都可以被同等对待。

总结来说，到目前为止，我们构建了一个空间 E，其元素表示体验的方面（包括可约和非可约的），例如现象学属性或体验的元素。此外，这个空间还带有关系或更高级的数学结构，这些结构表达了体验的结构特征，以及哪些体验方面是可约的（根据约定1）。这使我们能够简洁地描述对体验方面的引用，同时考虑非可约性，我们接下来将对此进行解释。

3.3 对感受质的引用

由于非可约性，对感受质的任何引用都是模糊的。在本节中，我们详细解释了原因，并在此过程中开发了形式化工具，使我们能够精确量化这种模糊性。

我们分两步进行。首先，我们讨论体验主体在报告他/她的体验时，不考虑任何可约关系的情况。这是一个准备性步骤，其目的是详细解释随后的构建。由于它忽略了 E 上的关系，即体验的结构特征，因此是人为的，并将得出病态的结果。随后，在第二步中，我们讨论适当的情况，即考虑 E 的数学结构。

3.3.1 准备：忽略关系的引用

假设一个体验主体在报告他的体验时，不考虑任何可约关系。在这种情况下，体验主体可以自由选择任何标签来指代任何体验方面，唯一的要求是不同的方面使用不同的标签，并且相同的标签用于重复出现的方面。我们将一个体验主体选择标签来指代他所体验的方面称为“标记”，并用“重新标记”来表示标记的变化。在当前情况下，重新标记仅仅是一个映射：

该映射决定了哪个标签 s(e) 替换了之前的标签 e。由于不同的方面需要带有不同的标签，因此这个映射是单射的。此外，由于它的定义域和值域都是 E，它也是双射的。由于任意两个形式为（2）的重新标记的组合会产生另一个重新标记，并且由于双射性，每个映射（2）都是可逆的，因此所有可能的重新标记构成了一个群：从 E 到自身的所有双射映射的群。这个群被称为集合 **E** 的对称群。

这里的关键洞见是，重新标记的群允许我们量化任何涉及体验方面引用的陈述的模糊性。考虑一个只涉及一个标签 e₁ ∈ E 的陈述。由于我们目前忽略了可约关系，这个陈述同样可以用任何其他标签 e₂ ∈ E 来表述，仅仅是因为一个体验主体可以选择任何标签来指代任何感受质。从数学上讲，这反映在至少存在一个重新标记 s，使得 s(e₁) = e₂。同样的推理也适用于标签序列（e₁, ..., eₙ），例如通过在连续时间点上的口头报告获得的序列。标签序列（e₁, ..., eₙ）的模糊性是由所有可以通过重新标记 s 从原序列得到的序列（e₁', ..., eₙ'）组成的集合，即所有存在重新标记 s 使得（e₁', ..., eₙ'）=（s(e₁), ..., s(eₙ)）的序列集合。

这些陈述实际上是关于等价类的陈述。要理解这一点，定义两个标签 e₁ 和 e₂ 是等价的，记作 e₁ ∼ e₂，当且仅当存在一个重新标记 s，使得 s(e₁) = e₂。一个标签 e ∈ E 的模糊性正是由这个标签的等价类给出的。

这完成了对忽略体验结构特征情况的描述。其人为性质体现在对称群允许人们将任何一组标签（e₁, ..., eₙ）映射到另一组（e₁', ..., eₙ'），只要每个选择中每个标签最多出现一次。因此，等价类非常少（如果 n = 1，则只有一个）。我们现在转向对适当情况的讨论。

3.3.2 考虑关系的情况

接下来，我们考虑根据现象学公理3所建立的体验方面之间的可约关系。为此，我们使用上述引入的体验空间 E：也就是说，我们假设感受质之间的关系已经在标签集上得到了表示，并要求体验主体根据这一表示来选择他们所体验的感受质的标签。如上所述，我们将任何这样的选择称为标记。

这种对标签选择方式的约束意味着，与上述情况相比，每个体验主体选择标签的自由度变小了：函数（2）只有在保持集合 E 上表示的可约关系时，即保持空间 E 的结构时，才构成重新标记。从一个空间到自身的双射函数，如果保持该空间的结构，则称为该空间的自同构。如上所述，自同构构成一个群。因此，在考虑可约关系的情况下，重新标记是以下群的元素：

我们总结说，自同构群 Aut(E) 描述了每个体验主体重新标记的自由度。

正是在这里，约定1变得重要。由于对于每一个可约的体验方面，都有一个一元关系需要自同构群保持不变，这一约定确保自同构不会改变可约体验方面的标签。因此，自同构群使我们能够精确量化任何对感受质的引用所固有的模糊性。

为了确定任何使用标签序列（e₁, ..., eₙ）的陈述的模糊性，我们可以像在上述简化描述中那样进行论证，将变换（2）替换为自同构。结果是，模糊性正是由等价类给出的：

注释 1 ：在实践中，我们通常通过引用特定的“外部”事件来建立标签，例如在色彩体验的情况下，通过引用光源发出的特定波长。这种社会约定的标签当然在各种情境中都非常有用，正是因为它们与外部事件相关联。然而，从先验的角度来看，并没有理由假设由相同标签所指代的不同体验主体的感受质是相同的，即使这些标签与相同的外部事件相关联。实际上，这类假设没有任何经验意义，因为感受质的定义意味着，既无法经验性地检验不同体验主体的感受质与外部事件的同一性，也无法检验不同体验主体的感受质之间的相等性。这类陈述只有在基于一种与所考虑的体验方面的非可约性相兼容的科学方法论时才有意义。

3.4 意识科学研究的现象学基础

在前面的章节中，我们固定了基本术语，例如我们所认为的“体验”一词的含义，以及感受质在这些术语中的定义。我们还利用现象学公理为引入标签提供合理性，这反过来又使我们能够为体验奠定数学表征的基础。最后，我们以这种形式化表征为框架，分析了非可约性（以及由此产生的不可言喻性、私密性和不可达性）的含义。总体而言，这为意识的科学研究提供了一个基础，即允许我们明确研究对象和研究方法。

首先，关于意识科学研究的任务，研究对象仅仅是根据定义2所定义的体验及其与物理领域的关系。根据现象学公理1，这包括可约的体验方面以及感受质。为此所必需的是将通常的科学方法与一些新工具（在本文其余部分中开发）结合起来。这些方法如何结合，由体验空间 E 中意识体验的形式化表征来描述。

通常的科学方法，例如目前在意识神经科学中使用的方法，可以应用于所有主体间明确定义的体验引用，即等价类（6）。它们共同构成了商空间（8），为所有主体间有意义的体验方面提供了一个全面的描述。这个商空间特别包含了对可约体验方面的所有引用。

然而，如果一个等价类有多个元素，通常的科学方法不能用于研究等价类（6）中的个别元素，因为这些元素所标记的体验无法以一种主体间有意义的方式被引用。这些元素实际上产生了一个解释鸿沟（第4节）。尽管如此，这些体验方面的研究仍然是意识科学研究的任务的一部分。等价类中哪个成员被体验是一个事实，而这个事实不能先验地被排除在科学解释的对象之外。

本文在接下来的章节中的主要成就是展示可以定义形式化工具，使我们能够超越对商空间（8）的科学分析。参考这些结果，我们可以将由此前定义产生的基础具体化如下。由于现象学公理在奠定形式结构中的重要性，我们称这种基础为现象学基础。

定义 7： 根据现象学基础，意识科学研究的对象是根据定义2所定义的体验及其与物理领域的关系。这包括使用商空间（8）和标准科学方法研究主体间明确定义的体验方面，以及使用体验空间（1）和在第6节中推导出的形式化数学方法研究感受质本身。

3.5 例子

我们以几个例子结束本节。首先，在例9中，我们继续讨论色彩体验，并展示在商业应用中广泛使用的色彩空间构成了上述定义的色彩感受质的体验空间。在例10至13中，我们考虑了体验空间 E 的各种可能的数学结构，其中一些已在文献中被提出。

例9：为了说明体验空间 E 和群 Aut(E) 的含义，以及注释1，我们再次考虑色彩体验。正如我们在例3中解释的，这些体验满足感受质的定义属性。为了本例的目的，我们将忽略色彩体验对场景光照几何形状和物体表面预期材质属性的高度敏感性。我们将用符号 λ̄ 表示不同波长光的混合。

我们首先固定一个特定的人类观察者——“标准观察者”[36]，并选择一个集合 Ecl，它与这个人类能够体验的所有颜色一一对应。正如色彩科学中通常所做的那样，我们假设存在一个大的人类群体 C，他们的可能色彩体验与标准观察者相同。这一假设意味着 C 中的每个个体都可以在集合 Ecl 和他/她的色彩体验之间指定一个一一映射。色彩体验作为感受质的定义体现在不存在唯一的一一映射这一事实上。因此，集合 Ecl 是在现象学公理2之后引入的色彩感受质的标签集合，也是色彩空间定义的基础（参见下文）。

集合 Ecl 可以进行校准：由于色彩体验被认为是对入射到视网膜上的光混合 λ̄ 的响应，我们可以将集合 Ecl 中的每个元素 e 与一种特定的光混合 λ̄ 识别为相同。反过来，人类眼睛可见的光混合集合可以表示为 R³ 的一个子集 S，大致通过取向量 v ∈ S的三个分量来表示三种参考波长的相对强度。将这两个步骤结合起来，我们实际上可以选择集合 Ecl 作为子集 S ⊂ R³。在这种情况下，每个标签 e ∈ Ecl 是一个三元组，指定了需要向特定人类展示哪种光混合 λ̄，以唤起他/她用该标签 e 表示的感受质。

这种校准可能会让人误以为存在一种独特的方式来指代色彩感受质。然而，事实并非如此。为了看清这一点，假设我们固定某个标签/向量 e ∈ S = Ecl，以及两个体验主体 A 和 B。我们将对应于这个向量的光混合表示为 λ̄v。当我们向这两个体验主体展示这种光混合 λ̄v 时，主体 A 会有他/她标记为 e 的色彩体验，主体 B 也有。然而，这并不能说明他们的色彩体验是否相同：例如，主体 B 可能在展示一种完全不同的光混合 λ̄w ≠ λ̄v 时，体验到主体 A 正在体验的色彩。

这说明了根据定义6定义的感受质所面临的基本困难：如果我们“知道”（例如，作为某种科学研究的结果）向不同主体展示相同的色彩刺激 λ̄v 会导致他们有相同的色彩体验，那么我们就可以有意义地讨论或指代不同主体的色彩体验，以刺激为基础。更一般地，如果像以下类型的陈述：

如果像（9）这样的陈述是已知的，那么这些陈述将允许我们直接引用 A 的色彩体验，从而使我们能够像往常一样进行科学研究。然而，这一主题的根本困难在于，像（9）这样的陈述根本不具有任何主体间的意义：由于色彩体验无法对齐，陈述（9）无法被（除了主体 A 之外的任何人）与以下陈述区分开来：

其中 X₂ 是 A 的任何一种具有相同一元可约关系（例如强度）的色彩体验。这个问题的存在与我们是否将陈述（9）视为一种假设，还是视为某种所谓科学研究的结果无关。这种类型的陈述没有明确的主体间意义。

如上所述，具有主体间意义的是等价类（6）。它们表达了关于色彩体验的事实，这些事实与体验主体所选择的标签无关。我们现在详细说明色彩感受质的情况。

首先，我们需要找到现象学公理3中提到的色彩体验之间的可约关系。幸运的是，色彩科学几十年来一直在研究这个问题，因此我们可以直接借鉴其成果。简单来说，似乎存在三种类型的可约关系 [36]：色彩变化的连续性（是否将某段时间连续的色彩体验序列感知为连续的），色彩混合下的行为（两种色彩体验的混合是否被感知为另一种色彩体验），以及（不太为人所知的）一种关于色彩距离的概念（两组色彩体验是否被感知为比另一对色彩体验更不相似）。

接下来，我们需要将这些可约关系转化为集合 Ecl 上的数学结构。这产生了色彩感受质的体验空间（1）。同样，色彩科学家已经为我们完成了这项工作：他们定义了色彩空间，以形式化这些可约关系 [36]。色彩空间是 R³ 的一个闭子集 S，它与人类可能体验的所有颜色一一对应，并且被选择为连续性由 R³ 的诱导拓扑表示（如果色彩体验的标签在色彩空间中形成连续路径，则色彩体验路径是连续的），混合由直线表示（两种色彩体验 e₁ 和 e₂ 的等量混合产生携带连接 e₁ 和 e₂ 的直线中点标签的色彩体验），最后，色彩感受质的体验距离由 S 上的度量表示。

因此，色彩空间是色彩感受质的体验空间（1）。有许多 R³ 的子集满足这些要求：对于任何子集 S 的选择，都存在大量 R³ 的变换，以及相应的度量变换，产生另一个 R³ 的子集 S'，同样能够代表色彩体验及其可约关系。色彩科学使用上述校准来固定特定的子集 S 的选择，以便将 S 的元素坐标转换为光混合 λ̄。然而，如上所述，对于色彩体验的研究，校准在先验上没有任何相关性，因此无法单独选择任何特定的子集。

为了指定这个例子中的重新标记群，我们注意到，从更抽象的角度来看，色彩空间是一个光滑的三维黎曼流形。其拓扑结构表示色彩体验的连续变化，其度量 g 既指定了测地线（广义的“直线”），描述了色彩体验的混合，也指定了一个距离函数，描述了色彩感受质之间的体验距离。R³ 的各种子集 S 的选择，正好对应于这个流形的坐标选择。我们总结如下：

这是色彩感受质的体验空间（1）的实际形式。它的元素标记了色彩体验的集合，而它的结构则代表了它们之间的可约关系。一个体验主体可以通过指定这个流形上的点（在个体色彩体验的情况下）或曲线（在时间连续的色彩体验的情况下）来具体说明他/她的色彩体验。选择标签的自由度由 E 的自同构群描述。在黎曼流形的情况下（10），这是等距群，即保持度量不变的微分同胚：

这被定义为（6）中的形式，两个序列等价当且仅当存在一个等距变换 s ∈ Iso(E)，将第一个序列的每个元素转化为第二个序列的对应元素。等价类的实际形式取决于度量 g，而度量 g 可以通过实验确定。当前国际上使用的距离函数的最新版本在 [39] 中进行了回顾，然而对其的讨论超出了本例的范围。

综合以上内容，我们得出结论：任何针对色彩体验严格意义上的陈述，无论是科学的还是其他方面的，即涉及体验色彩是什么样的，只有在对 Iso(E) 变换保持不变时才有意义。这是由于感受质是非可约的，以及每个体验主体为他/她所体验的感受质选择名称的自由性所导致的。

色彩体验的标签与色彩体验本身（可以说是“关于色彩体验的陈述”与“色彩体验本身”）之间的区别对于科学研究至关重要。例如，如果一项研究将受试者报告的经过校准的标签 e 与神经活动进行比较，那么它并不是研究神经活动与色彩体验之间的关系，而是研究神经活动与视网膜上呈现的光波长 λ̄ 之间的关系。这两种研究对象涉及完全不同的科学议程。

例 10（E 上的预拓扑结构） 。 在前面的例子中，我们依赖于色彩科学的结果来提供代表体验色彩方面的体验空间 E 的数学结构。本例的目标是更详细地说明如何直接根据感受质之间的关系定义 E 的数学结构。为此，我们考虑例 7 中解释的两个感受质之间的相似性关系，但在此处以二元方式理解，即为了本例的目的，我们简化假设任何两个非可约的体验方面（来自同一个体验主体）要么被体验为“相似”，要么被体验为“不相似”，并忽略对不同程度相似性的体验。尽管这种限制在实践中可能并不合理，但出于教学目的，我们认为它是合理的。在这种理解下，相似性关系可以用来定义 E 上的预拓扑结构，如 [40] 中所述（尽管其目标略有不同），我们现在遵循其表述。

例 11（E 上的部分序）。 我们的下一个例子参考了 [29]。首先，我们注意到，除了现象学公理 3 中提到的两种关系外，感受质实际上还可能具有可以对齐的组合关系：一个体验主体可能会发现，他在某一特定时刻所体验到的不可言喻的方面包含了他在另一时刻所体验到的不可言喻的方面。在这种情况下，我们可以认为前者包含后者。如果 e₁ 是体验主体为前者选择的标签，而 e₂是他/她为后者选择的标签，我们将这两个感受质之间的关系表示为 e₂ ≤ e₁。

例 12（E 上的对合半群结构） 。 这个例子也参考了 [29]。为了说明这一点，需要注意，在定义 2 中，我们是针对时间的瞬间来定义“体验”这一术语的。这意味着感受质（作为体验的方面）也与时间的瞬间相关联，从而排除了两个连续瞬间出现的两个感受质构成另一个感受质的可能性。然而，我们可以放弃这种对瞬间的限制，并将感受质定义为体验的一般方面。按照这种思路，可以认为对于任意两个感受质 e₁ 和 e₂，存在另一个感受质 e₃，它是这两个感受质的连续体验。我们可以将 e₃ 表示为：

其中，“&” 表示“接着”。如果进一步要求结合性，这似乎是合理的，这就定义了一个半群（E，&）。

接下来，可以考虑一个操作，它反转感受质的时间顺序。这可能或可能没有深刻的概念意义：一方面，它可能只是将任何形式为 e₁ & e₂ 的感受质映射到形式为 e₂ & e₁ 的感受质，而这两者都必须存在，因为上述引入的半群结构。另一方面，它可能表达了关于心理时间反转的一个深刻事实。在这两种情况下，跳过一些技术细节，这就产生了一个对合，即一个映射：

总结来说，感受质的时间组合关系可以通过对合半群结构在标签空间上得以表示。

例 13（E 上的希尔伯特空间结构 ）。最后一个例子旨在评估希尔伯特空间的公理能够在多大程度上基于现象学公理 3 中引入的关系得到奠基。结果表明，虽然某些公理可以根据现象学公理 3 得到合理解释，但其他一些则不能。尽管如此，这个例子对于构建意识的玩具模型可能具有价值，这也是我们在此将其包含在内的原因。

在接下来的讨论中，我们对一个体验主体可能拥有的所有体验集合做出几项假设。这些假设具有现象学的色彩，但其中一些最终可能无法得到合理证明。

(A1)我们假设，对于一个体验主体的任意两个感受质，该体验主体可能会有一种体验，其不可言喻的方面恰好就是这两种感受质。

对于“成为……是什么样的”类型的感受质（例 5），这一假设可以表述如下：如果一个体验主体曾有一种体验，其中包含他/她标记为 e₁ 的不可言喻的“成为……是什么样的”方面（感受质），还有另一种体验，其中包含他/她标记为 e₂ 的不可言喻的“成为……是什么样的”方面（感受质），那么他/她可能会有一种体验，其不可言喻的方面恰好是 e₁ 和 e₂。我们将“e₁ 和 e₂ 的同时体验”作为对以下陈述的简写：相关体验主体有一种体验，其中包含 e₁ 和 e₂ 这两个方面。例如，假设 e₁ 指代品尝奶酪的体验是什么样的，e₂ 指代闻葡萄酒的体验是什么样的。在这种情况下，假设 (A1) 相当于承认相关体验主体有可能同时体验到品尝奶酪的体验是什么样的以及闻葡萄酒的体验是什么样的。至于这种体验是否真的会在主体吃奶酪和喝葡萄酒时出现，与假设 (A1) 无关。我们将相同体验 e 与自身的组合视为感受质 e 的体验，但强度加倍（参见下文）。为了合理化关于同时体验的群结构，以下假设是必要的：

(A2) 我们假设存在一个独特的中性感受质，用“0”表示。此外，我们假设对于每一个感受质 e，都存在一个感受质 −e，使得包含 e 和 −e 的体验与（因此等同于）中性感受质的体验无法区分。

似乎这一假设完全超出了经验性证明的范围，因为它涉及“取消”体验的“成为……是什么样的”方面，因此我们或许只能合理化关于组合（“同时体验”）的感受质的半群结构。然而，为了本例的目的，我们仍然继续。我们用 ⊕ 表示两个感受质 e₁ 和 e₂ 的同时体验，因此根据假设 (A1)，包含标记为 e₁ 和 e₂ 的两种感受质的体验的不可言喻方面被标记为 e₁ ⊕ e₂。结合律和交换律成立，因此我们有：

公理（11）表明，e 和 e' 的 c 倍强度的同时体验是由 e 和 e' 的各自 c 倍强度体验的组合产生的，我们在本例的背景下将其视为一个合理的假设。公理（12）陈述了体验强度的加法与体验组合之间的兼容性，例如，它表明一个与另一个体验 e 相同但强度加倍的体验 e' = 2e，可以作为 e 与自身的组合的同时体验产生。我们通过定义一个体验与自身的组合为强度加倍的相同体验，使这一公理至少在某种程度上显得合理。最后，我们注意到结合律公理 (c c₀)e = c (c₀ e) 与我们对 ⊕ 和 · 的解释是一致的。因此，我们有：

确定性 表明，唯一不与自身相似的感受质是中性感受质。如果选择在（A2）中引入的零的解释，这似乎相当有问题。线性的第一个公理说，一个感受质 e 与另一个感受质 e' 的 c 倍强度版本之间的相似性是由 e 与 e' 之间的相似性的 c 倍给出的。正如前面提到的，为了有一个清晰且明确的例子，我们将暂时接受这些假设，因此，总结来说，我们有：

*(E, ⊕, ·, ⟨·, ·⟩) 满足内积空间或前希尔伯特空间的公理。

内积 ⟨·, ·⟩ 如通常那样在 E 上引入一个范数，定义为 ‖e‖ = √⟨e, e⟩。这个范数可以被解释为感受质 e 的强度。

内积空间 (E, ⊕, ·, ⟨·, ·⟩) 可能不关于这个范数完备，这意味着在 E 中存在柯西序列不收敛到 E 中的元素。用感受质的语言来说，这意味着存在感受质的序列，其元素彼此越来越相似，但却不收敛到由相似性关系所确定的拓扑中的任何感受质。为了排除这样的情况，我们考虑关于范数 ‖·‖ 的完备化 E，它是唯一的，直到等距同构。或者，我们可以假设存在有限个非相似感受质的类别，这样完备性就自动成立。一个完备的内积空间是一个希尔伯特空间。按照通常的记法，用横线表示完备化，我们有：

- 体验空间 E 携带一个实希尔伯特空间的结构 (E, ⊕, ·, ⟨·, ·⟩)，我们用HE表示它。

注意，这是一个抽象的希尔伯特空间：由于感受质的不可言喻性，希尔伯特空间的元素本身并不具有内在的可对齐性质（例如，当考虑函数空间时的情况）。自同构群 Aut(E) 是希尔伯特空间 HE 的酉算子群 。

4. 解释鸿沟

如果一个现象具有使其与自然科学中使用的任何解释概念不兼容的属性，那么就会出现该现象与自然科学之间的“解释鸿沟”。特别是，如果该现象违反了应用这些解释概念中任何一个的必要条件，情况尤其如此。

一些人认为解释鸿沟表明或意味着本体论上的鸿沟（参见 [31] 第5章，第3.4节）。这里是否合法是一个问题，但我们在本文中无需探讨。对我们来说重要的是，如果存在解释鸿沟，那么如果要通过科学手段来处理该现象，就需要改变方法论。这种改变可能与本体论考虑有关，也可能无关。

是否存在解释鸿沟在很大程度上取决于一个人对科学解释的理解。例如，在 [30] 中，假设自然科学中的解释“只能涉及结构和功能，其中相关的结构是时空结构，相关功能是系统行为产生的因果角色”（第105页及以下），这意味着现象体验（在 [30] 中被定义为那些没有结构和功能的体验方面）无法通过自然科学来解释（详细内容参见附录 A）。尽管这种对解释鸿沟的公理化推导无疑很重要，但其背后的解释概念过于狭隘（附录 B.3）。这使得解释鸿沟以及建立在其上的基础都受到质疑。

根据定义 6 定义的感受质的情况则不同。由于演绎-名义论解释模型、演绎-统计解释模型、统计相关性解释模型和因果机械解释模型都隐含地假设对被解释对象的描述可以对齐，因此在任何科学解释与本文定义的感受质之间存在一个彻底的解释鸿沟。到目前为止应用的所有科学方法都无法处理体验的非可约方面。

简单来说，这一问题源于自然科学中使用的所有解释都需要假定被研究的现象是主体间可访问的。由于我们对感受质的定义包括了那些非主体间可访问的体验方面，因此它们无法通过标准方法来处理。自然科学目前无法解释为什么一个体验主体会体验到某个特定的感受质，而不仅仅是对感受质之间可约关系的解释。

因此，我们得出结论：如果要科学地处理感受质，就需要改变方法论。本文的其余部分致力于开发这种方法论的改变。我们的结果表明，可以设计出数学工具来解决这一问题。由此产生的方法论扩展了查默斯的策略（附录 A 中概述），并构成了意识模型的形式化框架。

5. 意识模型的数学结构

意识模型是关于意识体验与物理领域之间关系的假设。在本节中，我们描述这些模型可能采取的数学结构，利用任何形式化科学理论的最小必要数学结构（第5.1节）以及意识体验的认识论不对称性（第5.2节）。最后，我们引入将在下面进一步使用的符号（第5.3节）。

5.1 科学理论的数学结构

在科学哲学中，关于什么是科学理论存在各种不同的观点。大致可以区分为语法账户、语义账户和实用账户 [45]，它们主要区别在于对数学形式化的角色归因。哪种科学理论的账户最适合意识的科学研究还有待观察。

以下列出的形式化成分足够一般，可以涵盖上述提到的任何科学理论的账户。作为准备，我们指出，一个族（dt）ₜ∈I 是一个函数 f: t → dt，我们将称之为“轨迹”。它描述了动态变量相对于参数 t 的变化。不言而喻，以下列表并不旨在是充分的。

定义 8 ：科学理论T的数学结构至少包括以下内容：

- 一组动态变量 d（这些量的变化在某种程度上由理论 T 确定。）

- 一些背景结构 b（变量或一般数学结构，其变化不由理论 T 确定。背景结构需要被固定，以便在特定应用中确定动态变量 d 的变化。）动态变量的变化可以用某个参数 t 来表达，t 在某个集合 I 中取值。通常，参数被假设为连续的，并被解释为时间。然而，这并非必要：集合 I 可能携带或不携带某些数学结构（例如拓扑），也可能被解释为时间或不被解释为时间。

- 一组可能的动力学轨迹 K。有时，这包括所有可能的轨迹，K = {(dt)ₜ∈I}，但在许多情况下，轨迹需要满足某些数学要求，例如相对于参数 t 的可微性。

- 一些定律 L（通常是方程或变分原理，但 L 也可以包括不同的形式化成分（例如范畴论提供的成分），甚至根据科学理论的实用主义观点，也可以包括非形式化的成分。）

- 一组动态可能的轨迹 D，我们也称其为理论 T 的解。这些是理论的定律在特定应用中选择的那些动力学上可能的轨迹（D ⊂ K），给定某种背景结构的选择，并且可能考虑到理论中的一些“非形式化模式” [46]（第55页）。

在下一节中，我们将把科学理论的这些成分与第3.1节中引入的定义联系起来。在此过程中，我们需要区分一般性理论 T 和当代自然科学已经提出（或预期提出）的理论。类似于查默斯对“物理领域”一词的使用（附录A），我们将后者称为物理理论。我们将用符号 TP 表示这些理论之一，并用 dP、bP、KP和 DP分别表示其动态变量、背景结构、动力学上可能的轨迹和解。最后，我们假设物理理论是用一个状态空间 P 来表述的，这个空间被选择得使得根据 TP 的定律，每一个 p ∈ P确定 DP 中的一条唯一轨迹，即解 (pt)ₜ∈I ∈ DP 与状态 p ∈ P之间存在一一对应关系。

我们用“模型”一词来表示一个被提出的理论。这既包括尚未获得科学通常所需的实证支持的完整理论，也包括“玩具模型”，这些模型并不旨在对某一类现象进行全面描述，而是用于研究其某个特定方面，或者测试对现象进行建模的总体思路。

最后，为了在第6节中使用，我们回顾对称群的一般定义。注意，K 表示上述引入的动力学上可能的轨迹。

定义 9 ：如果一个群G满足以下条件，那么它就是理论T的一个对称群 [47]（第43页）：

(a) 存在 G 在K上的有效作用G × K → K。

(b) 这个作用保持理论T的解 D不变。

如果 φ 是 G 在 K 上的一个作用，并且满足要求（a）和（b），那么对 (G, φ) 就是 T 的一个对称性。

5.2 意识模型

我们现在应用定义8来对意识模型给出一个一般性的描述。为此，我们利用意识体验的认识论不对称性。

认识论不对称性是与意识体验相关的最基本的认识论问题，即存在“两种根本不同的方法论，使我们能够获取有关意识的知识：我们可以从内部和外部来研究它；从第一人称视角和第三人称视角。意识似乎因其承载者对它的特权性访问而与众不同”[21]。认识论不对称性意味着存在两种认识论上不同的状态概念，一种与第三人称视角相关，另一种与第一人称视角相关。

尽管心灵的形而上学理论可能只处理其中一种，并且对另一种的关系保持某种隐含性，但意识模型不能这样。作为关于体验如何与物理领域相关的科学假设，这两种认识论上不同的状态之间的关系正是意识模型需要处理的内容。即使它们将第三人称状态视为基础（如物理主义本体论），它们也需要描述第一人称状态如何随时间演变，即为什么意识体验呈现出它所呈现的样子。即使它们将第一人称状态视为基础（如唯心主义本体论），它们也需要描述第三人称状态如何演变，即为什么外部世界呈现出它所呈现的样子。这些描述的存在正是形式化观念与科学模型之间的区别所在。

在第3节中开发的现象意识的数学表征正是以形式化的方式描述第一人称视角，其中第一人称状态是体验空间 E 的元素 e。另一方面，自然科学对第三人称状态的形式化描述是致力于从第三人称视角研究现象的。将自然科学的理论统称为“物理理论”，那么第三人称状态就是物理理论中使用的状态，例如神经网络的状态或其他对人脑的描述。使用上一节中引入的符号，我们用 TP 表示物理理论，用 P 表示其状态空间。

总结来说，上述内容表明，由于意识的认识论不对称性，意识模型需要规定体验状态与物理状态之间的关系，无论它试图表达何种本体论。从形式化的角度来看，这意味着它需要规定体验空间 E 与物理理论 TP 的状态空间 P 之间的关系。应用定义8中识别的科学理论的最小形式化成分，这意味着意识模型的动态变量由 E × P 给出，或者在意识模型可以为给定物理状态规定多个体验主体的情况下（例如，整合信息论在使用排除公设时的情况 [7]），由 Eⁿ × P 给出，其中 n ≥ 1。

这在以下定义中被总结。

定义 10 ：设 TP表示一个物理理论。意识的预模型 M 是定义8中的一个理论，其中：

(i) 动态变量是物理理论 TP的物理状态空间 P 与每个体验主体的一个体验空间 E的笛卡尔积，

我们将这种结构称为“意识的预模型”，因为它尚未考虑意识体验的任何特征属性，因此上述数学结构同样可以描述任何处理认识论上不同的两个变量的其他科学理论。一个考虑了某些特征属性的改进定义将在下面的第6.2节中给出。

需要注意的是，通过引用物理理论 TP，这一定义考虑到了意识模型是基于并扩展物理理论的，或者允许我们从物理理论中推导出来。前者的例子是整合信息论（第8.1节），后者的例子是意识主体网络理论（第8.3节）。更多例子在第8节中给出。

由上述定义可以推知，意识模型 M 附带有一组定律 L，这些定律从所有动力学上可能的轨迹 K 中选择出一组解 D。每个解 (e₁ₜ, e₂ₜ, ..., eₙₜ, pₜ)ₜ∈I ∈ D 包含描述每个体验主体 i ∈ {1, ..., n} 的标签变化的族 (eᵢₜ)ₜ∈I，以及描述物理状态变化的族 (pₜ)ₜ∈I。因此，解实现了意识体验和物理状态之间的相互影响，这种影响由模型 M 的定律所描述。

5.3 符号

我们以提供一些缩写来结束本节，这些缩写将在下面的内容中使用。

我们将通常使用以下简写：

6. 考虑意识体验的特征属性

在前一节中，我们推导了任何意识模型的一般数学结构。我们展示了意识的基本认识论特征对任何试图处理它的科学理论的形式结构有一些影响。然而，我们尚未考虑意识体验的任何特征属性。

本节的目标是做到这一点。为此，我们使用在第3节中引入的非可约性概念。由于非可约性是由不可言喻性、私密性以及认知、语言和交流的不可达性所蕴含的，因此这里识别的数学结构实际上是所有这些特征属性的结果。

在第6.1节中，我们推导出意识模型的形式数学结构，这些结构是处理非可约性所必需的。在第6.2节中，我们利用这一结果给出一个改进的意识模型的定义，并通过一个例子表明，这些结构也足以处理体验的非可约方面。最后，在第6.3节中，我们将改进的意识模型定义与可能使用的感受质的直接描述进行比较，并展示在处理体验的非可约方面时，数学模型能够比直接描述做得更多。

这些结果共同表明，这里开发的形式化数学工具实际上可以解决第4节中识别的感受质与自然科学之间的解释鸿沟。因此，本节为第3.4节中概述的意识科学研究的基础提供了处理体验非可约方面的方法论。

6.1 非可约性蕴含对称性

在第3.1节中，我们讨论了对感受质的主体间有意义的引用。我们发现标签序列（e₁, ..., eₙ）在经验上并未明确定义，并且表明对感受质的经验上明确定义的引用正是等价类（8）。我们现在对意识的预模型进行类似的分析。我们首先引入必要的数学工具。

设 s ∈ Aut(E)是自同构群（5）的一个元素，它描述了体验主体为他/她所体验的感受质选择标签的自由度。给定一个解（e̅ₜ, pₜ）ₜ∈D，我们可以将 s 应用于与第 i 个体验主体相关的体验空间（13）。这给出了另一个轨迹：

如果 σ̃ 是平凡的，这个作用 σ 就简化为作用（21）。如果 σ̃ 是非平凡的，σ 指定物理状态会随着感受质一起被重新标记。我们将在下面看到（详细内容参见第6.3节）,非平凡的 σ̃ 的可能性正是使我们能够超越第3.3节中解释的标准方法论的原因。

接下来，我们利用 k 和 σ̄ₛ(k) 描述了关于两种不同标签选择的相同轨迹这一事实。由于不同的标签选择不应产生差异，因此可以推断，如果 k 是模型 M 的一个解，那么对于任意的 σ̄ₛ ∈ Aut(E)ⁿ，σ̄ₛ(k) 也必须是一个解。这引导我们得出以下定义：

定义 11：意识预模型 M 经验上明确定义的必要条件是存在一个 Aut(E)ⁿ 作用（22），它将解映射到解，即满足：

如果只有可约的体验方面，那么自同构群 Aut(E) 是平凡的，因此（24）得以满足。在这种情况下，所有意识的预模型都是经验上明确定义的。然而，如果存在非可约的体验方面，那么 Aut(E) 是非平凡的，因此（24）提出了一个需要满足的条件，而引理1表明，这个条件实际上就是存在一个 Aut(E)ⁿ 对称性。

因此，引理1确立了非可约性的数学后果：意识模型需要有一个 Aut(E)ⁿ 对称性。由于对称性的存在取决于意识模型的动力学轨迹，而这些轨迹又是由其定律 L 决定的，引理所提出的条件实际上是对模型定律的要求。

6.2 重新审视意识模型的数学结构

在前一节中，我们发现构成对称性的动作(22)的存在是意识的前模型被经验地很好地定义的必要条件。因此，当我们详细说明什么构成了意识的一般模型时，我们需要包括这个要求。结果在下面的定义中给出。它规定了任何意识模型的必要结构，以解决经验的任何不可整理的方面，例如，不可言喻的，私人的，或不可及的方面。特别是，任何旨在解决内格利安“它是什么样子”概念(备注5)所引用的经验的任何方面的模型都必须携带这种数学结构。

定义 12：意识模型是一个如定义10中所定义的意识预模型 M，它额外具备形式为（22）的 Aut(E)ⁿ 对称性。

我们再次指出，这一额外要求与意识预模型 M 的定律 L 有关；这些定律必须是这样的，存在一个作用 σ̃，使得（22）成为一个对称性 。

在第6.3节中，我们将展示这一框架确实使我们能够超越第3.3节中解释的标准方法的局限性。为了进一步说明这是一个足以用于意识科学研究的数学框架（即足以研究感受质本身，参见定义7），我们在以下例子中展示了在意识神经科学中提出的一类典型观点确实可以在这一框架中形式化：感受质由物理状态决定的观点。

例 14：我们考虑感受质由物理状态决定的假设，例如由大脑中的神经活动决定。具体构成这种决定关系的内容在接下来的讨论中并不重要。例子包括类型同一性理论，其中感受质是物理状态的类型，或者功能主义，其中感受质是由物理状态决定的功能角色。另一个例子是非还原性功能主义 [48]，其中物理状态决定功能角色，而这些功能角色又通过非还原性的自然法则决定感受质。

这种观点的天真形式化将是考虑一个（在数学意义上）函数，它指定了体验主体对每个物理状态 p ∈ P 体验到的感受质。正如我们在第3.1节中看到的，这种天真形式化的问题在于感受质无法在主体间引用，因此这种类型的函数的指定只在等价关系（7）的意义上是有效的。为了正确形式化这一观点，我们按以下步骤进行。

为简便起见，我们考虑只有一个体验主体的情况（n = 1）。我们假设体验主体已经固定了一个特定的标记，并且假设关于这个标记，一个函数：

因此，物理状态决定感受质的观点确实可以被形式化，尽管感受质被定义为体验的非可约方面。这种方法的局限性在于，函数 f 是针对体验主体的特定标记选择定义的，因此不能被解释为指定了体验主体与特定物理状态 p 一起体验到的感受质。然而，这种形式化允许我们处理这样一个情况：在等价类 [f(q)] 中的某个感受质（无论它是哪一个）是由物理状态 p 决定的。这里所说的等价类是在（7）中定义的那个。关于与直接描述的差异的进一步分析将在第6.3节中给出。

我们通过指定意识模型 M 的轨迹的经验上明确定义的部分来结束本节。这一指定类似于在（6）中对经验上明确定义的序列的指定。

与第3.1节一样，我们定义两个轨迹 (e̅ₜ, pₜ)ₜ 和 (e̅'ₜ, p'ₜ)ₜ ∈ K 是等价的，如果其中一个可以通过重新标记体验主体的感受质从另一个中获得。与第3.1节不同的是，重新标记是根据作用（22）定义的，对于非平凡的 σ̃，它包括物理状态的重新标记。我们用 ∼σ 表示这种等价关系。

6.3 与直接引用的比较

在前面的章节中，我们展示了非可约性意味着意识模型需要携带一个特定的对称群，以确保其定义良好，并且这使我们能够处理感受质本身，即体验的个别非可约方面。在本节中，我们将所介绍的方法论与所谓的“感受质的直接引用”进行比较：即直接用感受质的标签来描述实验数据或理论观点，而不涉及定义10和定义12中引入的任何数学细节。

从数学上讲，对 n 个体验主体的感受质的直接引用仅仅是一个家族：

其中 I 是某个参数空间，如上所述。例如，这可以是一个关于体验主体报告的时间序列。尽管直接描述可能忽略定义10和定义12中的数学细节，但它不能忽略由标签的非可约性所引起的歧义，这种歧义是根本性的，且独立于第5节和第6节中引入的任何数学工具。

在第3.3节中，我们详细研究了这种歧义及其对引用感受质的含义，并发现相应的明确定义的陈述由（6）给出。在当前的符号下，这可以表示为：

为了将其与意识模型进行比较，我们假设人们希望将感受质的直接引用（例如，通过统计分析）与某个物理系统的某些属性联系起来，例如神经激活模式。我们假设这些属性由物理系统的状态决定，并用上述符号 P 表示状态空间。因此，所考虑的数据形式为：

这个引理表明，在非可约性的背景下，对感受质的直接描述可以引用什么。它表达了不可言喻性、私密性、不可达性以及其他蕴含非可约性的特征属性对任何关于意识的理论或实证描述所施加的认识论限制。

（34）和（35）之间的区别在于，在（34）中，商是相对于一个通常对物理轨迹 (pt)t 非平凡作用的动作取的，而在（35）中，商是相对于一个对后者平凡作用的动作取的。我们将在证明之后进一步讨论。

引理 2 的证明：用符号（33）表示，等价关系（31）由以下给出：

商空间（35）包含了在非可约性的背景下，通过感受质的直接描述可以引用的经验上明确定义的轨迹。另一方面，商空间（34）给出了意识模型的经验上明确定义的轨迹。两者的区别由在（23）中定义的作用 σ̃ 决定，它描述了如果重新标记体验主体的感受质（被动意义，参见注释2），物理状态如何变换，以及如果体验主体的感受质发生变化（注释2中的主动意义），物理状态如何改变。正是非平凡的 σ̃ 的可能性，使得意识模型所假设的定律能够在一定程度上处理个别感受质。这种可能性的程度受到（22）构成模型 M 的对称性的要求的限制。

从数学上讲，这反映在（35）的元素形式为：

其中每个等价类 的形式如（31）和（32）所示。这与我们在第2节中关于感受质引用的结果一致（参见商空间（8））。另一方面，（34）的元素并非这种形式：非平凡的 σ̃ 会导致等价类中物理状态与各个体验主体的标签混杂在一起。经验上明确定义的轨迹无法像（37）中那样分离。

这意味着，如果选择对感受质进行直接描述并研究其与物理领域的关系，首先需要考虑等价类（32）（因为只有它们是经验上明确定义的），然后才能提出或分析与物理领域的关系。使用意识模型时，可以调换这一顺序：可以先假设感受质与物理领域的关系，然后通过考虑等价类（28）来消除选择标签的任意性。存在对称性 **σ** 的要求只是确保这种关系（意识模型的定律 L）被选择得使得第二步（获得经验上明确定义的理论）成为可能。非平凡的 σ̃ 意味着在第二步之后，结果不会与直接使用第一种方法立即获得的结果相同。这个细微的差别可能会产生重大的经验后果。

因此，我们展示了意识模型在处理体验的非可约方面时比直接引用更强大。由于可约方面总是作为特例（平凡的 Aut(E)）包含在我们的形式化中，我们看到意识的数学模型为意识的科学研究提供了一种合适的方法论，它使我们能够考虑不可言喻性、私密性以及认知、语言和交流的不可达性等关键特征。

我们以注释结束本节：引理2表明，如果在定义12中选择平凡的 σ̃，结果就是这里引用的感受质的直接描述。因此，直接引用构成了意识模型的一种特殊类型，而意识模型实际上是直接引用的真正推广。

7. 物理的封闭性

在前面的章节中，我们非常谨慎地以操作性、认识论或现象学的方式为所有构建提供动机，确保它们独立于任何形而上学的承诺。形而上学的选择只应在构建具体的意识模型时做出。在本节中，我们简要讨论一个特别重要的形而上学选择：物理的封闭性。

物理的封闭性通常被称为“物理的因果封闭性”[49]。它表示“物理定律已经构成了一个封闭的系统”[31]（第17页），这一假设是许多关于意识的哲学和科学研究的基础。我们在此提及它，是因为如附录A中解释的，查默斯对意识科学研究的基础在其定义中需要利用物理的封闭性，这极大地限制了这一基础的适用性（参见附录B）。

对于第3节中提出的基础来说，情况则不同。由于基本定义或形式化构建中没有任何内容涉及物理的封闭性，因此这实际上是一个独立的假设，人们在构建意识模型时可以选择接受或不接受。因此，这里开发的概念和形式框架也适用于构建表达形而上学观点（如双重属性一元论或属性二元论）的意识模型，这些观点并不将物理描述为封闭的。

用第5节和第6节中开发的形式主义来表述，物理封闭性的假设可以以一种特别简洁的方式表达。

其中 D|P 在（16）中定义，而 DP 在第5.1节中被引入，用来表示模型 M 所基于的物理理论 TP 的解。

这个定义表明，意识模型 M 描述物理为封闭的，当且仅当由 M 的定律（作为解 D 的一部分）所确定的物理轨迹，作为一个集合，等于 M 所基于的物理理论 TP 的解。是否满足（38）取决于特定模型所假设的定律 L。

这结束了我们对形而上学的简短探讨。在下一节中，我们将回顾几个例子以及它们与这里介绍的形式主义的关系。关于物理封闭性的一个概念性观点在附录B.1中进行了讨论。

8. 例子

在本节中，我们回顾了一些在文献中提出的意识模型，并解释它们与第5节和第6节中介绍的形式主义以及第3节中介绍的概念的关系。

8.1 整合信息论

我们的第一个例子是整合信息论（IIT），该理论由朱利奥·托诺尼（Giulio Tononi）于2004年提出 [27]，并在此后得到了相当的发展。该理论的当前版本 [7] 包含一个算法，其输入是一个物理系统的模型（包括该系统的状态及其动力学定律），其输出是一些形式化的量，用于回答以下三个问题：1. 系统的哪些部分是有意识的？2. 它们对什么有意识？3. 它们的意识程度如何？

为了回答第一个问题，该理论的算法识别出系统的某些（相互不相交的）子系统。为了回答第二个问题，对于每个这样的子系统 S，算法指定了一个所谓的“最大不可约概念结构”（MICS）。这是一个数学对象，定义如下：设 PS 是子系统 S 的状态上的概率分布（或概率测度）空间。一个“概念”是以下空间的元素：

整合信息论（IIT）的“核心等式”如下：由一个[子系统S]生成的最大不可约概念结构（MICS）与其体验是同一的。MICS的概念星座完全指定了体验的质量（……）。其不可约性 Φmax 指定了体验的数量。[7]（第3页）

该理论的主要文献在“意识”或“体验的质量和数量”[7] 的具体含义上保持了一定的沉默。首先可以观察到，在理论的早期发展中，意识体验的不可言喻性似乎至少起到了一定的作用。例如，在 [27]（第229页）中，托诺尼指出：“刚刚概述的概念旨在为将现象学中看似不可言喻的定性属性转化为数学语言提供一个框架”（我们的强调）。正如我们在第3.1节中详细解释的，体验的不可言喻性无法与数学对象建立一一对应关系，仅仅是因为两个或多个体验主体无法确保他们将相同的不可言喻的体验方面与相同的数学对象联系起来。这正是我们在第3.1节中通过标签引入体验空间 E 的原因，并且导致了描述重新标记的对称性要求。沿着这一路径，我们可以将IIT的“感受质空间” ES 视为定义6中所定义的感受质的体验空间。